人教版七年级数学下册相交线与平行线《平行线的性质（第6课时）》示范教学设计

平行线的性质（第6课时）教学目标1．在理解相关概念和定理的基础上，综合运用所学知识，解决有关几何问题．2．掌握构造辅助线的方法，提高分析问题、解决问题的能力．教学重点构造辅助线的方法．教学难点合理的构造辅助线解决问题．教学过程新课导入辅助线在平行线中的应用：在一些几何问题中，如果单靠图形中现有的条件无法解决问题，那么可结合已知条件和图形的特点添加辅助线，使题目中的已知条件和所求结论能很好地联系起来，从而使问题得到解决．【设计意图】引出辅助线存在的意义，引导学生在后面的解题过程中可以有意识地去构造辅助线解决问题新知探究【例1】如图，已知∠B＝120°，∠E＝80°，∠C＝20°，试说明AB与CD的位置关系．【师生活动】教师引导学生对题目进行分析，找到解决问题的关键点：本题要判断AB与CD的位置关系，由图可判断是平行关系，关键是通过作辅助线“搭桥”来严格说明．【答案】解：在∠BEC内部作∠CEF＝∠C＝20°，如图，则CD∥EF．∵∠B＝120°，∠BEC＝80°，∴∠BEF＝∠BEC－∠CEF＝60°．∴∠BEF＋∠B＝180°．∴AB∥EF．∴AB∥CD．【归纳】添加辅助线(直线、射线或线段)是解决几何论证和计算问题的重要手段，它是连接已知与未知的“桥梁”．当题目中已有的图形不能够或不容易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形解决问题．【例2】如图，若∠B＋∠D＋∠E＝360°，则AB与CD平行吗？为什么？【师生活动】学生独立对题目进行分析，找到构造辅助线的方法：过点E构造AB的平行线是解决此题的关键．可以先过点E作AB的平行线，再利用“两直线平行，同旁内角互补”以及已知条件判断所作直线与CD平行，最后利用平行公理的推论得到AB∥CD．【答案】解：平行．理由如下：如图，过点E作ME∥AB．根据“两直线平行，同旁内角互补”，可知∠1＋∠B＝180°，∵∠B＋∠D＋∠BED＝360°，∴∠2＋∠D＝180°．∴ME∥CD．∴AB∥CD．【归纳】当无法直接说明角或线段之间的数量关系或两直线的位置关系时，通常作辅助线来帮助解答．如何作辅助线需根据已知条件和所证结论确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起．【例3】如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝34°，∠2＝26°，求∠BPC的度数．【师生活动】教师引导学生从图形特征上进行分析：此图不是我们所学过的“三线八角”的基本图形，需添加辅助线，把它转化成我们所熟悉的基本图形．你能用多种方法添加辅助线解决此题吗？【答案】解：方法1：过点P作射线PN∥AB，如图．∵PN∥AB，∴∠3＝∠1＝34°．∵AB∥CD，∴PN∥CD．∴∠4＝∠2＝26°．∴∠BPC＝∠3＋∠4＝60°．方法2：过点P作射线PM∥AB，如图．∵AB∥PM，∴∠5＝180°－∠1＝180°－34°＝146°．∵AB∥CD，∴PM∥CD．∴∠6＝180°－∠2＝180°－26°＝154°．∴∠BPC＝360°－∠5－∠6＝360°－146°－154°＝60°．方法3：过点C作CE∥BP交AB的延长线于点E，如图．∵CE∥BP，∴∠1＝∠E，∠BPC＝180°－∠7．∵AB∥CD，∴∠E＋∠2＋∠7＝180°．∴∠7＝180°－∠1－∠2＝120°．∴∠BPC＝180°－∠7＝60°．【归纳】在有关图形的计算和推理问题中，常见到“折线拐角”型问题，解决这类问题的方法是经过拐点作平行线，联系已知角和未知角，从而化“未知”为“已知”，这种方法应熟练掌握．常见到的“折线拐角”图形如下：【例4】如图，已知AB∥EF，∠BCD＝90°，求∠B＋∠D－∠E的度数．【师生活动】学生组内交流得出构造平行线的思路：分别过点C，D作AB与EF的平行线，将∠B，∠D，∠E化归为平行线的相关角来求解．【答案】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF．∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF．∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠E＝∠4．∵∠CDE＝∠3＋∠4，∠BCD＝∠1＋∠2＝90°，∴∠B＋∠CDE－∠E＝∠1＋∠3＋∠4－∠4＝∠1＋∠2＝90°．【归纳】通过添加辅助线可将较复杂的几何图形转化为由平行线构成的基本图形，从而得到相关角之间的数量关系．【例5】如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．【师生活动】由∠ABC与∠CDE的度数不能直接求出∠BCD的度数，虽然AB∥DE，但它们没构成基本的“三线八角”，需要找一中间量作为桥梁沟通AB和DE，于是过拐点C作辅助线．【答案】解：如图，过点C作GH∥DE．则∠DCH＋∠CDE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠CDE＝140°，∴∠DCH＝180°－∠CDE＝40°．∵AB∥DE，∴AB∥GH(平行于同一条直线的两条直线平行)．∴∠ABC＝∠BCH(两直线平行，内错角相等)．∵∠ABC＝80°，∴∠BCH＝80°．∴∠BCD＝∠BCH－∠DCH＝40°．【归纳】辅助线的添加是数学问题中的难点．添加时不能乱添，要结合图形和相关性质添加．在与平行线有关的“折线拐角”型问题中，经过拐点作已知直线的平行线，串联起原有的两条平行线是常用的解题方法．【设计意图】所给出的5道例题涉及到在平行线中构造辅助线的不同情况，让学生充分体会到添加辅助线