2024高考数学二轮复习：焦点弦和焦半径公式在高考中的应用

专题12焦点弦和焦半径公式在高考中的应用

每当谈到高中数学的学习，我们总是避不开这样一个话题，教材上没有、高考要考，而且是有效的解题利

器，那就是——二级结论。

比如说2022年全国一卷第16题，硬做当然可以做出来，但是不仅容易翻车而且很耗时间，就算真算对了，

4

在考场上又有几人有魄力相信a=—的答案呢？

13

不过，必须指出的是二级结论要想在考场上玩的转，必须熟练掌握，注意是必须，光知道是不够的。

有人认为只要知道它在那里，可以考场上推一次再用，然而以某人某段时间的悲惨经历可以告诉大家：“你，

想多了

因为现推耗时耗力不说，在考场上大部分人是推不出的。

其实以上想依靠现推来解题的想法不过是在偷懒，很多非常实用的二级结论的推导需要极其巧妙的手法，

在高度紧张的环境中，着实很难想到，不如就先记住并熟练掌握。

再者，高考题越来越新、越来越活，很多题放在那里你都不一定知道该用什么结论，更何况你如果不熟练

呢？

怎么会用？

从实际操作的角度来讲，我们必须记忆。

记得我们高中数学老师第一节课就曾说过：“数学好的第一个必要条件就是记忆力好”。

当然，不是指死记硬背，更不是指不要死记硬背。

某些同学曾经陷入过一个误区，认为只要理解就可以记住或者只要在刷题中巩固就可以熟练掌握。

这其实是矫枉过正，我们过度重视了理解与实践，而在最基本的层面上一些机械性的成分其实必不可少，

因为机械记忆是所谓一切种种的根基所在。

真的，各位千万不要忽略记忆的重要性，某些同学深受其害，到高三才意识到事情的严重性。

因为，如果你不先记住，怎么在刷题中想到去应用去实践？

而且理解了也不代表掌握，功利地讲，在考场上如果不能直接运用结论，理解其实也没什么用。

不过话说回来，我并不是说记忆就够了，也并不是在抹黑理解与应用，我只想说死记硬背其实是第一步，

千万不要忽视。

目录

题因o椭圆焦半径最值....................................................................6

2023•深圳市一模........................................................................6

2023届•温州市第一次适应性考试（11月）................................................6

ms抛物线焦点弦与焦半径公式..........................................................7

2023届•湖南中学高三上学期第一次月考......................................7

2023届•佛山二模第11题一无坐标系，焦半径公式与交点弦公式............................8

型且椭圆焦点弦公式与焦半径公式.......................................................11

2023浙江绍兴二模T16——椭圆的中的对称..............................................11

2023•浙江嘉兴二模.....................................................................12

m0双曲线焦点弦与焦半径公式.........................................................14

2023届•湖南雅礼中学高三月考T16............................................................................................................14

2023届•山东省新高考3月联合质量测评..................................................15

2023届•青岛三模T8——2个二级结论...................................................16

睡嗝焦点弦被焦点分成定比.............................................................17

2024届•浙江省Z20名校联盟高三上学期第一次联考T16.....................................................17

2024届•长郡中学月考（三）T15........................................................................................................18

|知识点•梳理］

椭圆焦半径与焦点弦夹角公式

焦半径长公式：I产媚=---（长），|0用=---（短），\PQ\=_2a万一

111

a-ccos0a+ccos02cos2a

证明：在6中，由余弦定理得|鸟尸『=|公尸『+闺乙『―2闺尸卜闺心|cos8,

将叵尸|=2"闺尸|代入得：闺尸『―4口闺尸"4/=|片尸/+八2—4c闺P|.cos8,

f一**

移项合并得：㈤尸|（4c•cos。—4a）=4c2-4a2=IFPI=——--=-------------,

1lv'11a-c-cosOa-c-cos0

同理，在△片。匕中，由余弦定理得■片+闺闾2—2闺9.闺阊cos（兀—d）,

将\F2Q\=2a—闺P|代入化简得：山°|==--——

a+c・cos6Q+C・COS6

则I尸周+|。周=—

a-ccosa

2-1

焦点弦被焦点分成定比：若|尸片|=%。周，则e-cosS=-------（注：抛物线默认e=l）

2+1

2b21212

简证：ISUHQKR广;高-------=----------------=>---------=----------

CL—CCOSC7Q+CCOS。-a-ccos3Q+CCOS。l—ecos。1+ecos。

2-1

交叉相乘得：1+ecos0=A-AecosOnecos8(2+1)=2—l=e・cos0------

4+1

双曲线焦半径与焦点弦夹角公式

22

己知双曲线0一4=1（。>b>0）,求出2种情况下的焦半径4F；,8片以及焦点弦AB

ab

情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为a

【答案】情况1:

在△片28中，由余弦定理得幺用2=幺片2+月用2一2幺片•片片cosa,

2

将/耳=AF[-2a代入得：AF^-4a-AFX+4]=AF^+4c-4c-AFX-costz,

2_2?2

移项合并得：AF(4c-COS6Z-4^)=4c2-4a2=^>AF=-----=-------------,

XXc-msa-ac・cosa-a

2_2129b2

ca

同理可得：BFX=~—=--------------,则4g=|/周—忸媪=2a；——.

c-cosa+ac・cosa+aa-ccosa

情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为少

【答案】情况2:

在△片中，由余弦定理得47^2=4片2+片82一24片•片geos(兀一/),

2

将力B-AR+2a代入得:AF^+4a-AF{+4/=AF^+4c+4c-AF{-cosa,

2_2?2

移项合并得：AF(4a-4c-coscif)=4c2-4a2=>AF=--——--=-------------,

XXa-c-cosaa-c-cosa

2_272D12

同理可得：BF=C~A—=-----------,则43=以耳|+|瓦—r—

Xa+c-cosaa+c-cosaa-ccosa

抛物线焦半径公式：抛物线焦半径与焦点弦公式相信同学们都比较熟悉，这里就不证明了

记抛物线/=2川(P>°)，过焦点方的直线交抛物线于A,B两点，直线AB与x轴夹角为，

焦半径（短）：AF=-2—；焦半径（长）：BF=—2—；4B=W—,—+—

1+cos，1—cos，sin26>AFBFp

高考真题•回顾

2022年新高考I卷第16题

22

已知椭圆C:0+£=l(a>b>O),C的上顶点为/,两个焦点为片，F2,离心率为;.过片且垂直于幺鸟

的直线与。交于。，E两点，I1=6,则△NOE的周长是

【答案】13

【解析】易知不名为等边三角形,

/\ADF的周长^为6+AD+AE=6+DF?+EF?—6+2。—DF1+2a—EF、=4a

【法一】：焦点弦公式

2“为

2a-b2

\DE\==6=>4

a-c2cos230°2324

a---ci

16

【法二】：通性通法

x2y,2

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为豆+备=1,gp3x2+4/-12c2=0,根据离心率得到直线

4%的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线。£的方程：x=4iy-c

1Q

代入椭圆方程犷+4/-12/=0,整理化简得到：13/-6V3CJ-9C2=0,利用弦长公式求得C=?

8

17

得°=2c=?,根据对称性将AADE的周长转化为△月的周长，利用椭圆的定义得到周长为

4a=13.

1

【详解】•.•椭圆的离心率为e=£、a=2c,b1=a2-c1=3c2,椭圆的方程为

a2

x2y,2

4?+3?-=1,即3X2+4/-12C2=0,不妨设左焦点为片，右焦点为国，如图所示，•,

JT

AF[=a,OF[=c,a=2c,：.ZAF2O=~,月名为正三角形，二•过片且垂直于/月的直线与C

交于。，£两点，为线段/工的垂直平分线，，直线DE的斜率为理，斜率倒数为行，直

线。£的方程：x=4iy-c,代入椭圆方程3*+4/-I2cJo,整理化简得到：13/-6V3cy-9c2=0,

判别式A=(6A『+4x13x%?=6?x16xC?,

.•.|皿=/+(可回一为=2x巫=2X6X4X£

=6,

1313

"，得a=2c=U

8J4

为线段/8的垂直平分线，根据对称性，AD=D%AE=EF],，的周长等于△月〃£

的周长，利用椭圆的定义得到△月周长为

\DF2\+\EF21+lD^I=|DF21+|EF21+|。用+|如HZ>用+|Z>&+|E用+|Eq=2a+2a=4“=13.

|重点题型•归类精

题四0椭圆焦半径最值

2023•深圳市一模

1,若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为.

【答案】|

【详解】依题意，由图象的性质可知，

点到焦点距离的最大值为a+c,最小值为"C,

所以£±£=2,化简得£=；,即离心率e=J

a-ca33

2023届•温州市第一次适应性考试（11月）

2.已知耳，工是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆

的离心率为.

【答案】正

2

【分析】先结合椭圆的定义表示出|班「|"|=|町]（2.-|融/用，化简后结合1Ml的范围可求出

|融用•|"|的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率.

【详解】因为|町|+|感|=2°,

所以|孙"峥|=|町]（2"|孙|）=-|孙「+2力孙|=-（|町|一4）一+a2,

所以当|MFj=a时，|融7讣|摩|取得最大值储，

因为|期|=[a-c,a+c],所以|肛H融可的最小值为4+/=/,

因为|孙的最大值是它的最小值的2倍，

所以。2=2b2,

所以02=a1-b2=b2,所以a=y[lb,c=b,

所以椭圆的离心率为e=9=3=42

a42b2

题包工抛物线焦点弦与焦半径公式

3.已知抛物线y=16x的焦点为户，过点户作直线，交抛物线于例N两点，则+

\MF\\NF\

\NF\4

的最小值为.

9\MF\

1111

[答案]+i——r=--

MF4，3

[1l+cosdl-cosd2

【解析】（1）----------+-----------=—

\MF\\NF\PPP4

111

⑵由而+网干

则IS4\NF\♦1

9\MF\93

2023届•湖南中学高三上学期第一次月考

4.（多选）已知48是抛物线C：=4x上两动点，尸为抛物线C的焦点，则（）

A.直线48过焦点厂时，最小值为4

B.直线过焦点厂且倾斜角为60。时（点4在第一象限），|，耳=2忸尸|

C.若48中点M的横坐标为3,则%可最大值为8

口.点幺坐标（4,4）,且直线斜率之和为0,4/与抛物线的另一交点为。，则直线，AD方程为：

4x+87+7=0

提示：C选项用卜3区|〃1+|昉|

D选项可不联立，设D点坐标，用AD斜率求D点坐标（斜率公式中消x）

【答案】ACD

【解析】直线48过焦点尸，当48垂直于x轴时，取最小值4,A正确；对于B选项，由

题可知：\AF\------....=4,忸用=-----....=—,故5错误；由于为两动点，所以

l-cos60°l+cos6003

区|4F|+忸同=盯+/+2=8,当且仅当直线过焦点尸时等号成立，故C正确；对于D

选项，依题意，心=,=---,故为=T,即0化-1],同理可得8（号,-71

3xA-xDyA+yDU）I4）

故直线AD方程为4x+8y+7=0,。正确.

2023届•佛山二模第11题一无坐标系，焦半径公式与交点弦公式

5.（多选）如图抛物线口的顶点为A,焦点为少，准线为小焦准距为4；抛物线匕的顶点为8,焦点也

为F,准线为，2,焦准距为6.11和匕交于尸、。两点，分别过尸、。作直线与两准线垂直，垂足

分别为“、N、S、T,过尸的直线与封闭曲线4P80交于。、。两点，则（）

B.四边形跖VST的面积为100

C.FSFT-OD.的取值范围为5,—

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据抛物线的定义可得|48|=5判断A,以A为原点建立平面直角坐标系，根据条件

可得抛物线「1的方程为/=8x,可得|河7|=|g|=4而，进而判断B,利用抛物线的定义结合

7T

条件可得N7FS=,可判断C,利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断D.

【详解】设直线18与直线分别交于G,府,由题可知|GZ|=|4F|=2,|尸同=忸冏=3,

所以|GM=|ACV|=10,以同=5,故A正确;

如图以A为原点建立平面直角坐标系，则尸（2,0）,4：x=-2,

连接尸7"由抛物线的定义可知|产制=|"P|,|PE|=|NP|,又|MV|=10,

所以马=3,代入j?=8x,可得力=2遥，

所以阿7|=|语|=4a，X|ACV|=IO,故四边形跖VST的面积为406，故B错误；

连接。尸，因为|。制=|。7|=|3|,所以NQFT=NQTF,NQFS=NQSF,

所以NTFS=ZQFT+ZQFS=7y+/℃；+,附=|,

故屈•丹=0,故C正确；

根据抛物线的对称性不妨设点。在封闭曲线APBQ的上部分，设C,。在直线l［，k上的射影分别

为G，2,

当点。在抛物线HP,点。在抛物线NQ上时，|CQ|=|cq|+|DDj,

当C,。与48重合时，|CD|最小，最小值为|8|=5,

当。与尸重合，点。在抛物线上时，因为尸（3,2指）,尸（2,0）,直线C0:y=2后（x—2）,

与抛物线「1的方程为歹2="联立,可得3/-13x+12=0,设。（西,必

则再+工2=§,

\CD\=XI+X2+4=—,

「25一

所以|CD|e5,y；

当点。在抛物线P4,点。在抛物线上时，设CZ>:x=O+2,

与抛物线「1的方程为/=8x联立，可得y2_8少—16=0,设。（9,%）,。（》4，%）,

则%+为=8,|。。|=&+》4+4=/（%+74）+8=8r+828,当/=0,

25

即CQL4B时取等号，故此时|CD|e8,y；

「

当点。在抛物线P4,点。在抛物线。8上时，根据抛物线的对称性可知，|CQ|e5,2y5

「一

综上，|CD|e5,2y5,故D正确.

6.已知尸为抛物线C：/=4x的焦点，过/作两条互相垂直的直线44,直线4与C交/,8两点，直线4

与C交于D,£两点，则|/8|+|。£|的最小值为.

【答案】16

【详解】

思路一：设眼上房,则siY怎-q荷。

4444

则|朋+1。£|=砧+嬴蓊,而两+西=］，乘"1"即可

思路二：由题意抛物线焦点为尸（1,0）,

显然直线44的斜率都存在且都不为0,设直线4方程为〉=左（工-1）,/（国,必）,8（＞2，歹2）,

由1'4”,得后2/一2/2+2）x+后2=0,所以再+%2=2（%：2）,再、2=1,

［）=左（％_1）k

\AB\=Jl+rxJ（XI+X2）2-4X］X2=40¥），

k

故答案为：16.

题园呈椭圆焦点弦公式与焦半径公式

2023浙江绍兴二模T16——椭圆的中的对称

22

7.己知椭圆C:'+彳=1（。＞3＞0）的左、右焦点分别为大，心.若A关于直线j=2x的对称点P恰好在

a"b"

。上，且直线尸片与。的另一个交点为。，贝Ucos/片06=.

【详解】

思路一:

故陷|=孚。匹I=咨375

设耳，尸的中点为M,易知0M_L々P,故与尸_L片尸,

r

b

cos,=cosNgGP=.2V5，。07片/_M+ccos厂_3丁52下_"三47°?'

----CH----------C

55

财。・"号=嚏,尸。=管，故3/片善=用4

思路二：

设片（一。,0）关于直线N=2X的对称点尸（国,必）,

-^-2=-1

x,+c3c4c|尸制=孚°,|丑闻=竿°,又知上@=2c,

由＜1,得尸（丁，-三），可知

”2C33

、2—2

所以户片『+|尸闾2=|片闻2,则夕尸片为直角,

由题意，点尸恰好在C上，根据椭圆定义忸周+|尸引=2°,得。=¥。

675

|。片|+|。闾=2。，设|。£|=加，则[0匕|=2。—m=-----c—m,

5

在直角三角形△。「片中，（加+¥°y+（平2Z6A/52

-c)=(c-m),

24^/5

解得m=；；c,从而|。巴|=26%c,\QP\—-------c,

25

所以c°s"图"局\QP\=狂12

2023•浙江嘉兴二模

22

8,已知椭圆C:「+A=l（a>6>0）的左、右焦点分别为片，工，离心率为e,点尸在椭圆上，连接咫并延

ab

长交C于点。，连接。鸟，若存在点p使|尸。|=|。阊成立，则e2的取值范围为.

【答案】[872-11,1）

【分析】设|的=见附|=〃，所以存在点P使闿|=|同等价于（|「。|-|。用）1nmV。由：+可

求同四=2",+"2”的最小值，求得脸勺范围，从而得到次的取值范围.

a

设|。片|=a|尸耳|=〃,则|。町=2"加.显然当户靠近右顶点时，|尸0|>|0段,

所以存在点尸使|尸。|=|。8|等价于（\PQ\-\QF2|）min<0,\PQ\-\QF2\=2m+n-2a,

在耳耳中由余弦定理得尸川=PF；+F、F；-2尸片韦8・cos。，

2

2cch

即（2a-〃）=n2+4c2-2H-2c-cos0,解得篦=--------,

a-ccosd

同理可得加=--------,所以^■+'=当

所以（2加+〃-2。）*=（后+D0一2a,当且仅当n=时等号成立.

2a

由（行+1）%2—2aW0得J«12—8近,所以8行—11工/<1

2aa

故答案为：［872-11,1）

关键点：求离心率范围关键是建立。,仇。的不等式，此时将问题转化为（忸。|-|。国射/。，从而

只需求|尸。|-|。8|=2加+力-2a的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质士+方，=3使用基

本不等式求解.

22

9.如图尸是椭圆土+匕=1的右焦点，过点尸作条与坐标轴不垂直的直线,交椭圆于点4B,

43

线段力夕的中垂线，交X轴于点瓶证明：W^=4

|FM|

【答案】

露行/设ZAFO=0,贝（］NBFO=n-a

则由椭圆的焦半径公式可知

叫=--——=1—；

\AB\=\AF\+|F5|=---+―--=一

2-cosa2+cosa4-cosa

设43的中点为N,则

23_6cosa

2\FN\=\AF\-\FB\=

2-cos«2+cosa4-cos2a

3cosa

即冲|=

4-cos2a

在RSMNF中,

于是凶=4

于7H\FM\

题四因双曲线焦点弦与焦半径公式

2023届•湖南雅礼中学高三月考T16

f2

10.过双曲线二-4V=1（。>0,6>0）的右焦点厂作其中一条渐近线的垂线，垂足为。，直线与双曲线

ab

的左、右两支分别交于点M,N,若|MQ|=3|QN|,则双曲线的离心率是.

【答案】V5

【分析】设双曲线的左焦点为大，连接MF["QFO=e,分别求得=---=«—,同理

ccosO-ab-a

|7W|=—-—=2一，结合|MQ|=3|QN],求得进而求得离心率.

cos8+ab+a2

【详解】如图所示，根据点到直线的距离公式可得点E到直线y=2%的距离为6,

a

设双曲线的左焦点为《，连接上明，贝"叫|=|EA/|—2a,

设/QFO=e,贝Ucos8=2,|四|=_U——=-^—,\FN\=--——=-^~

cccos0-ab-accos8+。b+a

因为=3\QN\^\FM\-b=3（|2F|-Z））,

则有£4=3m£]=4b=回学把n2（/-2）=（2j）bnb=2a,

b—aI6+QJb-a

所以a=gb,故离心率为6.

2023届•山东省新高考3月联合质量测评

11.过双曲线必一/=1的左、右焦点作两条相互平行的弦CD,其中43在双曲线的左

支上，A,C在x轴上方，则|"]卜|。闾的最小值为.当48的倾斜角为三时，四边

形/片&C的面积为.（提示：参考焦半径公式与焦点弦公式）

【答案】1,2庭

解析：方法1:设45：x=ky-41,联立得（左之_l）j?_20@+1=0.所以必%=”―-,

k—1

所以|第H%|=|皿卜地|=（产+1）（_%%）=^^=-1+帚21,

当且仅当人=0时等号成立.5=。（|2周+|魏1闺7讣sing=T48|M/讣sing=2指.

方法2:|^|-|C^|=|^|-|^|=1>1,（提示：以周=eP4是焦准距）

l-zcos01-ecosg

S=；（|Z4|+|。阊）.闺阊.Sin"^|^=2«.

2023届•青岛三模T8------2个二级结论

22

12.已知。为坐标原点，双曲线。：彳-勺=1（。＞0力＞0）的左，右焦点分别为片，与，过。的右焦点心

ab

且倾斜角为（的直线交，于4夕两点，中点为%\F^V\=^a2+b2,则离心率6=；

短48的周长等于12,则且=.

(1)易知区叼=J/+/=十万与沙=以0"左。==tan3()o=/,又七B=tan60°=百，

2

则kow-kAB=e-1=>e=s/2

(2)易知片幺=与2+2。，FXB=F2B+2a,则的周长为245+4a

“「2ab2

AR—______________=____2__a_3____-Ari

由焦点弦长公式可知，，,7i-,c，1",故248+4。=12。=12=>。=1

-c-cos—a-2a——

34

题园©焦点弦被焦点分成定比

2-1

若AB是过焦点的弦，且力尸=几8尸（2〉1）,则e・cos6=------

2+1

2024届•浙江省Z20名校联盟高三上学期第一次联考T16

22

13.已知椭圆C：^+方=1（。>6>0）的右焦点为尸，过点尸作倾斜角为z的直线交椭圆C于A、B两点,

PF1

弦的垂直平分线交x轴于点尸，若-了=：，则椭圆C的离心率0=