四川省成都市高中数学 第一章 计数原理 1.1 计数原理习题课教案 新人教A版选修2-3

四川省成都市高中数学第一章计数原理1.1计数原理习题课教案新人教A版选修2-3主备人备课成员教材分析《四川省成都市高中数学》教材中第一章“计数原理”的1.1节，以新人教A版选修2-3为基准，旨在帮助学生掌握基本的计数原理及其应用。本节习题课围绕排列组合的基础知识，通过典型例题和练习，深化学生对计数原理的理解，特别是加强排列、组合的区分与应用，强化学生的逻辑思维和问题解决能力，紧密联系课本内容，注重培养学生的实际应用能力。通过本节课的学习，学生将能熟练运用计数原理解决生活中的实际问题，为后续学习概率论等数学知识打下坚实基础。核心素养目标二、核心素养目标：本节课通过深入探讨计数原理，旨在培养学生以下核心素养：增强逻辑推理能力，让学生能够准确理解和运用排列组合知识，解决实际问题；提高数学建模素养，使学生能够将现实问题抽象为数学模型，运用计数原理进行有效分析；培养数据分析能力，让学生在处理复杂数据时，能够运用计数原理简化问题，作出合理判断。通过本节课的学习，学生将能更好地运用数学语言表达世界，形成严谨的数学思维，为未来学习和生活打下坚实基础。学习者分析1.学生已经掌握了整数的基本运算、函数的概念以及简单的几何知识，特别是在初中阶段已经接触过简单的排列组合概念，为学习计数原理打下了基础。

2.高中生在逻辑思维和抽象思维能力上有了显著提升，对数学问题的探究兴趣浓厚，具备一定的自主学习能力和合作学习习惯。他们喜欢通过解决实际问题来深化对知识的理解，对数学的应用性有较高的学习动机。

3.学生在理解计数原理时可能遇到的困难和挑战包括：对排列组合中排列与组合的区别理解不深刻，容易混淆；在解决含有重复元素或限制条件的排列组合问题时，可能难以准确把握问题实质，导致解题错误；此外，对于将现实问题转化为数学模型的能力仍需加强，这对于部分学生来说可能是一个挑战。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法：

(1)讲授法：通过生动的语言和具体实例，对计数原理进行深入讲解，帮助学生建立清晰的知识框架。

(2)讨论法：鼓励学生分组讨论典型例题，促进学生主动思考，加深对排列组合概念的理解。

(3)问题驱动法：设计具有挑战性的问题，激发学生探究兴趣，引导学生通过解决问题来掌握知识。

2.教学手段：

(1)多媒体教学：利用PPT等展示丰富的教学资源和动态图解，直观呈现抽象的计数原理。

(2)教学软件：运用数学软件辅助教学，让学生通过模拟实验深入理解排列组合的计算过程。

(3)网络资源：整合线上教育资源，提供丰富的习题和案例，方便学生课后自学和拓展。教学过程第一环节：导入新课

（1）复习回顾

同学们，我们在之前的学习中已经接触过排列组合的概念，谁能来回忆一下，什么是排列？什么是组合呢？它们有什么区别和联系？

（2）导入新课

很好，通过之前的讨论，我们知道了排列组合在解决实际问题中的重要性。今天我们将进一步学习计数原理，探究如何运用计数原理解决更多实际问题。

第二环节：新课内容讲解

1.计数原理的基本概念

首先，我们来看一下计数原理的基本概念。计数原理主要包括加法原理和乘法原理。加法原理指的是，如果完成一个任务有m种方法，另一个任务有n种方法，那么这两个任务一起完成就有m+n种方法。乘法原理指的是，如果完成一个任务需要分成k个步骤，每个步骤有n_i种方法，那么完成整个任务就有n_1×n_2×…×n_k种方法。

2.排列组合的计数原理

（1）排列的计数原理

排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。排列的计数原理是根据乘法原理得出的，即从n个不同元素中取出m个元素的所有排列数为n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)。

（2）组合的计数原理

组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，但不考虑元素的顺序。组合的计数原理是根据组合数的定义和加法原理得出的，即从n个不同元素中取出m个元素的所有组合数为C(n,m)。

3.实例分析

现在，让我们通过一些实例来加深对计数原理的理解。

（1）例1：从甲、乙、丙、丁四个同学中选出2个人进行乒乓球比赛，问共有多少种不同的比赛组合？

解答：这是一个组合问题，我们可以使用组合的计数原理来解决。根据组合数公式C(4,2)=4!/[2!×(4-2)!]=6，所以共有6种不同的比赛组合。

（2）例2：一个密码锁由4位数字组成，每位数字可以是0到9中的任意一个，且数字可以重复。问共有多少种不同的密码组合？

解答：这是一个排列问题，因为密码的每一位数字都有不同的选择，且顺序很重要。根据排列的计数原理，共有10×10×10×10=10000种不同的密码组合。

第三环节：巩固练习

1.从A、B、C、D、E五个字母中任选3个字母组成一个单词，问共有多少种不同的组合？

2.一个班级有30名学生，其中有18名女生和12名男生。现在要从班级中选出5名学生组成一个学习小组，问共有多少种不同的选法？

第四环节：课堂小结

第五环节：课后作业

1.课本第15页练习题1、2、3。

2.思考题：在实际生活中，还有哪些问题可以用计数原理来解决？试举例说明。

同学们，今天的课就到这里。希望大家能够认真完成课后作业，巩固所学知识。下节课我们将继续探讨计数原理在实际问题中的应用。知识点梳理1.计数原理的基本概念

-加法原理：完成一个任务有m种方法，另一个任务有n种方法，两个任务一起完成有m+n种方法。

-乘法原理：完成一个任务需要k个步骤，每个步骤分别有n_1,n_2,...,n_k种方法，整个任务有n_1×n_2×...×n_k种方法。

2.排列与组合的计数原理

-排列的计数原理：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列数为n×(n-1)×...×(n-m+1)，记作A(n,m)。

-组合的计数原理：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合数为C(n,m)=n!/[m!×(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。

3.排列组合的应用

-排列的应用：排队、编号、排序等问题。

-组合的应用：选取、分组、组合问题。

4.计数原理在实际问题中的应用

-针对具体问题，判断是使用排列还是组合的计数原理。

-分析问题中的限制条件和重复元素，确保计数结果的准确性。

5.典型例题分析

-例1：从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

-例2：从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

-例3：含有重复元素的排列组合问题。

-例4：实际问题中的应用，如密码组合、抽奖问题等。

6.常见错误分析

-忽视重复元素的处理，导致计数结果偏大。

-混淆排列与组合的概念，误用计数原理。

-在解决实际问题中，未能正确识别问题类型，导致方法选择错误。

7.解题技巧与方法

-确定问题类型：根据问题要求选择排列或组合的计数原理。

-画图辅助分析：通过画图直观展示问题，有助于发现规律和解决问题。

-逐步求解：对于复杂问题，可以分步骤求解，逐步得到最终结果。

-实践应用：将所学知识应用于实际问题，加深对计数原理的理解。重点题型整理1.题型一：排列问题

问题：从甲、乙、丙、丁四个同学中选出3个人进行篮球比赛，问共有多少种不同的比赛组合？

解答：这是一个排列问题，因为比赛组合的顺序是重要的。根据排列的计数原理，共有P(4,3)=4×3×2=24种不同的比赛组合。

2.题型二：组合问题

问题：从5本不同的书中选出3本来阅读，问共有多少种不同的选法？

解答：这是一个组合问题，因为选书的顺序并不重要。根据组合的计数原理，共有C(5,3)=5!/[3!×(5-3)!]=10种不同的选法。

3.题型三：含有重复元素的排列问题

问题：一个密码锁由3位数字组成，每位数字可以是0到9中的任意一个，数字可以重复。问共有多少种不同的密码组合？

解答：这是一个含有重复元素的排列问题。由于数字可以重复，每位数字都有10种选择，共有P(10,3)=10×10×10=1000种不同的密码组合。

4.题型四：含有限制条件的组合问题

问题：在一个班级中，有10名男生和8名女生，现要从中选出4名学生组成一个团队，要求至少有1名女生。问共有多少种不同的选法？

解答：这是一个含有限制条件的组合问题。可以先计算没有限制条件的情况，即从18名学生中选出4名，共有C(18,4)种选法。然后计算没有女生的情况，即从10名男生中选出4名，共有C(10,4)种选法。所以，至少有1名女生的选法数为C(18,4)-C(10,4)=3060-210=2850种。

5.题型五：实际问题中的计数原理应用

问题：一家餐厅提供6种不同的汤、8种不同的主菜和4种不同的甜点。如果每位顾客可以任选一种汤、一种主菜和一种甜点，问共有多少种不同的餐饮组合？

解答：这是一个实际问题中的计数原理应用。由于顾客的选择是独立的，所以总组合数为6×8×4=192种不同的餐饮组合。作业布置与反馈作业布置：

1.请同学们完成课本第23页的练习题1、2、3，巩固计数原理的基本概念。

-练习题1：从7个不同的小球中取出3个，有多少种不同的取法？

-练习题2：一个密码锁有4个转盘，每个转盘上有数字0到9，共有多少种不同的密码组合？

-练习题3：一个足球队有11名球员，教练需要从这11人中选出7人首发，有多少种不同的选法？

2.请同学们思考以下问题，并尝试解决：

-如果一个密码锁的每个转盘上有数字1到6，共6个数字，那么有多少种不同的密码组合？

-一个班级有20名学生，其中有8名男生和12名女生。如果要从班级中选出3名学生代表班级参加数学竞赛，有多少种不同的选法？

作业反馈：

1.对于练习题1、2、3，同学们在完成时需要注意以下几点：

-确认问题类型，是排列问题还是组合问题。

-注意处理重复元素和限制条件。

-检查计算过程，确保乘法和除法的正确性。

2.对于思考题，同学们在解决时应该：

-分析问题的实际意义，确定适用的计数原理。

-尝试画出问题的示意图，帮助理解和解决问题。

-对于复杂的实际问题，可以分步骤解决，逐步简化问题。

批改作业时，教师应关注以下方面：

-学生是否正确理解了排列与组合的区别。

-学生在处理问题时是否考虑了所有可能的重复元素和限制条件。

-学生的计算过程是否准确，是否存在基本的数学运算错误。

反馈时，教师应：

-指出学生在解决问题时存在的误区和错误。

-提供具体的改进建议，如如何更好地识别问题类型，如何避免常见的计算错误。

-鼓励学生在解决实际问题时尝试不同的方法，培养他们的创新思维和解决问题的能力。板书设计①计数原理：加法原理和乘法原理

②排列：从n个不同元素中取出m个元素，考虑顺序

③组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序

2.公式与计算方法

①排列数公式：P(n,m)=n×(n-1)×...×(n-m+1)

②组合数公式：C(n,m)=n!/[m!×(n-m)!]

3.实际问题中的应用

①排队、编号、排序等排列问题

②选取、分组、组合问题

板书设计：

1.计数原理

-加法原理

-乘法原理

2.排列

-排列数公式：P(n,m)=n×(n-1)×...