2024年中考数学压轴题专项训练：隐圆问题(学生版)

隐圆问题3种模型

压轴画密押

通用的解题思路：

隐圆一般有如下呈现方式：⑴定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线

段长为半径构造辅助圆；⑵定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆

周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶

点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。

压轴愿预测

类型1:定点定长

（20233f城区校级三模）圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

⑴已知：如图l,0A=OB=OC，请利用圆规画出过A、B.C三点的圆.若40B=70°,则4cB=

如图，RtMBC中，4BC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

（2）已知，如图2.点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为

点D、E、F,求四边形BDFC的面积和NBEA的大小.

⑶如图3,将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a,使得直线DF上有一点Q,满足

ZBQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a,

若不存在，说明理由.

题”（2024口生州模拟）综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问

题，如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=90。,点D为平面内一点（点A,B,D三点不共线），AE为

AABD的中线.

【初步尝试】⑴如图1,小林同学发现:延长AE至点M，使得ME=AE，连接DM.始终存在以下两个结

论，请你在①，②中挑选一个进行证明：

①DM=AC:②功八+zDAB=180°；

【类比探究】（2）如图2,将AD绕点A顺时针旋转90。得到AF，连接CF.小斌同学沿着小林同学的思考进

一步探究后发现：AE=yCF，请你帮他证明；

【拓展延伸】⑶如图3,在⑵的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，AD为半径的圆

上运动（AD>AB），直线AE与直线CF相交于点G，连接BG，在点D的运动过程中BG存在最大值.若

AB=4,请直接写出BG的最大值.

图1图2图3

9

3（2022口番禺区二模）已知抛物线y=ax2+bx-g（a〉0）与x轴交于点A,B两点，OA<OB,AB

=4.其顶点C的横坐标为-1.

⑴求该抛物线的解析式；

⑵设点D在抛物线第一象限的图象上，DE±AC垂足为E,DFDy轴交直线AC于点F,当&IEF面积

等于4时，求点D的坐标；

⑶在⑵的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C,FMXFN交直线BD于点N,延

长MF与线段DE的延长线交于点H,点P为N,F,H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长.

题目|4(2021BI谷滩区校级模拟)⑴学习心得:小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何

问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在MBC中，AB=AC,ZBAC=80。,D是MBC外一点，且AD=AC，求NBDC的度数.

若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆。A,则点C、D必在。A上，4AC是。A的圆心角，而zBDC是

圆周角，从而可容易得到NBDC=_40°_.

(2)问题解决：

如图，在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求ZBAC的度数.

⑶问题拓展：

抛物线y=_:(x-1)2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线

PQDBC交x轴于点Q,连接BQ.

①若含45。角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在

PQ上，求Q的坐标；

②若含30。角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点

B,点Q不重合，求点P的坐标.

类型2：定弦定角

〕题目|5(2022口I塔区校级三模)问题提出

⑴如图①，已知MBC为边长为2的等边三角形，则MBC的面积为_，3_；

问题探究

(2)如图②，在MBC中，已知NBAC=120。,BC=6J3■，求MBC的最大面积；

问题解决

⑶如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD，其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼

堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙

面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角4MB=45°,请你通过所学知识进

行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度;若不存在,请说明理由.

题*6（2023口霸桥区校级模拟）问题提出：⑴如图①，MBC为等腰三角形，zC=120°,AC=BC=8,D

是AB上一点，且CD平分MBC的面积，则线段CD的长度为.

问题探究：⑵如图②，MBC中，4=120°,AB=10,试分析和判断AABC的面积是否存在最大值，若存

在，求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场

旁规划一个四边形花圃ABCD，满足BC=600米，CD=300米，4=60°,ZA=60°,主办方打算过BC

的中点M点（入口）修建一条径直的通道ME（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形ABCD边上一点，

通道ME把四边形ABCD分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休

闲观赏.问是否存在满足上述条件的通道ME?若存在，请求出点A距出口的距离AE的长；若不存在，请

说明理由.

国・7(2023口＜城区校级一模)如图，点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一

个动点.

⑴使4PB=30°的点P有个；

⑵若点P在y轴上，且4PB=30。,求满足条件的点P的坐标；

(3)当点P在y轴上移动时，4PB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时4PB最大的理由;

若没有，也请说明理由.

%

5

4

3

2

1AB、

i；3；54

-4-3-2-10

-1

类型3：四点共圆

-（2022中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务.

西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点

作三边或其延长线的垂线,则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.

某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理.

如图⑴，已知MBC内接于。0，点P在上（不与点A,B,C重合），过点P分别作AB,

BC,AC的垂线，垂足分别为点D,E,F.求证:点D,E,F在同一条直线上.

如下是他们的证明过程（不完整）：

如图⑴，连接PB,PC,DE,EF,取PC的中点Q，连接QE.QF,

则EQ=FQ=yPC=PQ=CQ，（依据1）

:点E,F,P,C四点共圆，

.,.ZFCP+ZFEP=180°.（依据2）

又「ZACP+ZABP=180°,

/.ZFEP=ZABP.

同上可得点B,D,P,E四点共圆，

□□

任务：

⑴填空：

①依据1指的是中点的定义及___________________

②依据2指的是______.

（2）请将证明过程补充完整.

⑶善于思考的小虎发现当点P是时的中点时，BD二CF,请你利用图（2）证明该结论的正确性.

PP

图⑴图⑵

题・9（2021强尔滨模拟）⑴【学习心得】

于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使

问题变得非常容易.

例如：如图1,在AABC中，AB=AC,zBAC=90°,D是AABC外一点，且AD=AC，求NBDC的度数.

若以点A为圆心，AB为半径作辅助OA,则点C、D必在。A上，4AC是。A的圆心角，而与DC是圆

周角，从而可容易得到zBDC=

（2）【问题解决】

如图2,在四边形ABCD中，/BAD=ZBCD=90",ZBDC=25°,求NBAC的度数.

（3）【问题拓展】

如图3,如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接