综合题（原卷）-2024年中考数学二模试题分类汇编（江苏专用）

专题11综合题

1.（2024•江苏无锡•二模）如图，正六边形ABCD防外作正方形DEGW,连接AH、BE交

于点。，求P黑C）的值（）

BC

3-73

2.（2024•江苏徐州•二模）如图，J3C和VADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角

An1

形，且黑=£，分别作射线8。、CE,它们交于点以点A为旋转中心，将VADE

AD2

按顺时针方向旋转，若AE的长为2,则AffiC面积的最小值是（）

15A/3

C.272+2

3.（2024•江苏宿迁•二模）四个村庄坐落在矩形A3C。的四个顶点上，43=6公里，

BC=10公里，在新农村建设中，要设立两个车站E,F,则£4+E3+EF+bC+阳的最

小值为一公里.

4.（2024•江苏常州•二模）如图，在平面直角坐标系xQv中，二次函数y=d+bx+4的

图像与X轴正半轴交于点A2,与y轴交于点c,OC=4OA,点尸是线段8C上一点（不

与点民C重合），过点尸作尤轴，交抛物线于点。，连接3,四边形OCPQ是平行

四边形.

⑴填空：b=.

⑵求四边形OCPQ的面积；

⑶若点。是0C的中点，连接M，AC.点E（5,4）是抛物线上一点，尸是直线。E上一

点，连接尾,3尸，若跖与△ADC相似，求点F的坐标.

5.（2024•江苏宿迁•二模）在平面直角坐标系xOy中对于已知的点C和图形W,给出如

下定义：若存在过点C的直线/,使之与图形W有两个公共点P,Q,且C,P,。三

点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点

⑴已知点A（0,3）,3（6,0）,线段以与线段组成的图形记为W；

①点G（1,1），G（3，DG（-3,2）中，图形W的"相合点”是；

②点M在直线V=f+3上，且点M为图形W的“相合点”，求点〃的横坐标机的取值

范围；

⑵。的半径为「，直线y=-^x+3T与％轴，V轴分别交于点E，F,若在线段跳'上

存在。外的一点P,使得点P为。的相合点，直接写出厂的取值范围.

6.（2024•江苏无锡•二模）【教材呈现】如图，在中，点。、E分别是与AC的

中点.则OE与8c的关系是OE〃BC,DE=^BC.

【感知】如图1,在矩形ABCD中，点。为AC的中点，点般为A3边上一动点，点N

为8C的中点，连结脑V、OM、ON.MN//AC,/OMV与NOMW的数量关系是

【应用】如图2,在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC=4,AD,CE是Rt^ABC的中

线，M、N分别是A£＞和CE的中点，求MN的长；

【拓展】如图3,在平行四边形ABC。中，点E为边上一点，连接CE,点尸在CE

上，BE=EP=CP=2,点G是中的中点，连接AG交8C于点R若点R为3c的中

AP

点，ZFGP=60°,连接转，求后的值.

nC

7.(2024•江苏宿迁•二模)［基础巩固］

(1)如图1,在JRC中，D、E、R分别为AB,AC,BC上的点，

ZADE=ZB,BF=CF,”交DE于点G,求证：DG=EG-

［尝试应用］

DF

(2)如图2,在(1)的条件下，连接CD,CG.若CGLDECD=6,AE=3,求二

£)C

的值：

［拓展提高］

(3)如图3,在YA3CD中，/4XM5。，AC与3D交于点。，E为AO上一点，

EG8。交AD于点G,EFLEG交BC于点、F.若NEGF=40。,FG平分NEFC,FG=8,

求郎的长.

FC

图3

8.(2024•江苏徐州•二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞=-曰了2+2氐的

图象与x轴分别交于点。、A,顶点为B,连接。8、AB.点。在线段OA上，作射线

BD,过点A作AE1射线3D,垂足为点E,以点A为旋转中心把AE按逆时针方向旋转

60。到AF,连接£F.

⑴求点A、B的坐标.

⑵随着点。在线段OA上运动.

①连接缈，NOFE的大小是否发生变化？请说明理由；

②延长FE交于点尸，线段PF的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不

存在，请说明理由.

⑶连接。歹，当点尸在该抛物线的对称轴上时，山即的面积为.

9.（2024•江苏宿迁•二模）如图1,在RtABC中，ABAC=9Q°,AB=AC=6点,点、D

为BC的中点；动点尸以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿线段BC运动，点。同时

在线段AD上运动，运动过程中始终保持。。=尸刀，当点P到达点C时运动就停止，设

运动的时间为f秒，连接人尸、BQ.

⑴当点P在线段3。上时，求证：ZPAD=ZQBD.

⑵当射线BQ将Rt_ABC分成面积相等的两部分时，求点尸运动的时间心

⑶如图2,设射线与线段A尸的交点为G,求点尸在从8向C运动的过程中，点G所

走过的路径长.

10.（2024•江苏常州•二模）给出如下定义：点尸（士,%）,点Q（%,%）是平面直角坐标系

X，中不同的两点，且无产马，若存在一个正数上，使点尸、。的坐标满足

昆-刈=*2-力，贝1J称尸、。为一对“斜关点"，左叫点尸、。的“斜关比"，记作

k(P,Q).由定义可知，MP,Q)=MQ,P).例如：若尸(1,0),43』，＜|-0=||3-1|,

所以点八Q为一对“斜关点"，且"斜关比"为!.

4

如图，已知平面直角坐标系X/中，点A(l,o)、3(3,1)、C(3,0)、D(3,-3).

⑴在点A、B、C、。中，写出一对“斜关点"是,此两点的“斜关比”是

(只需写出一对即可).

⑵若存在点E,使得点A、E是一对“斜关点"，点C、E也是一对“斜关点”，且

k(A,E)=k(C,E)=2,求点E的坐标.

⑶若，。的半径是4,M是。上一点，满足MT=1的所有点T,都与点。是一对“斜关

点”，且可7,021.请直接写出点”横坐标加的取值范围.

11.(2024•江苏连云港•二模)【问题情境】如图，在,ABC中ZACB=90。，ZABC=30°,

AC=2,点。是A3的中点，点。，E分别是边CB,AO上的动点，且DE=AC,以DE

为直角边，在3C上方作Rt_DEF,使得NEDF=90。,ZDFE=30°,DF与AB交于点、H,

连接

【问题提出】

(1)当EF〃BC时，ZDEB=°

(2)当/。7£=75。时，求此时AE的长;

【问题探究】

（3）在点D,E的运动过程中.

①NE班'的大小是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；

②四边形DBFE的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值；若不存在，说明

理由.

12.（2023•江苏宿迁•二模）已知3D是四边形ABCD的对角线，

AB=BC=CD=DA=DB=6.点、E沿AfBfC运动,到达点。时停止运动.点R在线段

运动，且始终保持斯=座.射线AF交线段QE于点P.

（1）如图1,当点E在线段AB上时；

①求证：ZBAF=ZBDE.

②若AE=AP,求ZE4P的度数.

⑵如图2,若点E在线段8C上；G是线段。中点，在图2中，仅用无刻度直尺在线

段DE上作出点P.

⑶请求出点尸运动的路径长.

13.（2023•江苏镇江•二模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的

点，则称该点为这个函数图像的“平衡点”.例如，点（-M）是函数>=无+2的图像的"平

衡点

⑴在函数①>=-尤+3,②>=：，③y=-Y+2x+l,④y=f+%+7的图象上，存在“平

衡点”的函数是;（填序号）

4

⑵设函数y=G（x>0）与y=2x+6的图象的“平衡点”分别为点4B,过点A作ACLy

轴，垂足为C当ABC为等腰三角形时，求6的值；

⑶若将函数y=/+2x的图像绕y轴上一点〃旋转180。，M在（0,-1）下方，旋转后的图

象上恰有1个“平衡点”时，求知的坐标.

14.（2024•江苏南通•二模）问题情境：如图，对折矩形纸片ABCD,使AD与3c重

合，折痕为防；再一次对折纸片，使E尸与BC重合，折痕为G”；把纸片展平，MN

也为折痕；点尸为线段AD上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在

平面的点。处.

⑴如图1,若点。在线段所上，延长PQ交3C于点W,求证：△3PW为等边三角形；

(2)如图2,若点。在线段G”上，求tanZABP的值；

⑶矩形ABCD中，AB=3,AD=4,直线「2交DC的延长线于点K.若CK=：CD,求线

段PD的长.

15.(2024•江苏宿迁•二模)对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量x与函数

值y满足:当(X—㈤时,(y-,w)(y-附)<0(机，"为实数，且“<〃)，我们称这个函数

在根一〃上是“同步函数比如：函数y=-x+i在-I-2上是“同步函数理由：由

[x-(-l)](x-2)40,得-1WXV2,x=l—y,.1.—1<1,—y<2,解得-lVy<2,

・•・[y-(T)](y-2)wo,.•.是“同步函数

Q

⑴反比例函数y=9在2-4上是“同步函数”吗?请判断并说明理由；

⑵若一次函数>=乙+》在"7〃上是"同步函数"，求此函数的解析式(可用含m,〃的代

数式表示)；

(3)若抛物线y=ax2+6x+c(a>0,a+b>0)在1—3上是“同步函数"，且在上的最小

值为4a,设抛物线与直线y=3交于A,8点，与>轴相交于C点，若一ABC的内心为

G,求点G的坐标.

16.(2024•江苏苏州•二模)某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下

研究：

图①图②图③

⑴如图①，在等边三角形A3C中，点〃是3c边上任意一点，连接417,以4W为边

作等边三角形AW,连接CN,试探究8M和CN的数量关系，并说明理由；

⑵如图②，在等腰三角形ABC中，AB=3C,点〃是3C边上任意一点（不含端点3,

C）,连接蜀1,以油为边作等腰三角形，N,使ZAAW=ZABC,AM=MN,连接

CN,试探究/ABC与ZACN的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，在等腰直角三角形A3C中，/BAC=90。，点E为线段A3上一点，点。为

斜边3c上一点，满足ZADE=45。，过C作CF〃钙交延长线于R若4c=2,

DF=1,则ED=.

17.（2024•江苏南京•二模）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似

三角形的比例关系去关联…….

【模型认识】

（1）如图①，在四边形ABCD中，点E在边8上，连接ACAE,AASC-AAED.

（工）求证：ACAE=ABAD；

（口）/BCD与NC4D满足的数量关系为；

【初步理解】

（2）如图②，在—ABC中，ZSAC=90°,AB^AC,点。在一ABC外，AD=AB,连接

加并延长到点E,=点N在AC上，DN交AB千点、M,NDNE=NBAD=45。,

求证：S,AMN=WSABC,

图②

【问题解决】

（3）如图③，在；ASC中，ZA=90。，点。在,ABC外，。到A的距离等于AB,过点

。作直线/，使/分别交相,AC于点M,N,且平分一ABC的面积.（要求：用直尺和圆规

作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.）

18.（2024•江苏徐州•二模）［阅读理解］如图1,在学习三角形的中位线时，我们发现三

角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比

是..

［探究思考］如图2,已知。，E,尸分别是幺三边的三等分点，且

当=黑=耳=］依次连接小、EF、FD,则qEF与.ABC的面积比是定值吗？如

ABBCCA3

果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由.

［发现结论］如图3,已知。，E,尸分别是一ABC三边的〃等分点，且

41=11=耳,，依次连接。石、EF、FD,则q即与—ABC的面积比是.

ABBCCAn

19.（2024•江苏泰州•二模）如图1,在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形,

AC〃y轴.

①若点A（l，3）,反比例函数尸。的图像经过点氏求该反比例函数的表达式，并判断

点A是否在这个反比例函数图像上；

②是否存在点A（a,b）,使得反比例函数y的图像同时经过点A、B?若存在，求

服人满足的关系式；若不存在，说明理由.

（2）如图2,菱形的顶点A,3和边AD的中点E在反比例函数/>0）图像上，顶点

C、。在反比例函数%=,他（。#。）图像上，边与y轴的交点为

①求AH3P的值；

②若勺.&=-15,则菱形ABCD的面积为.

20.（2024•江苏泰州•二模）问题背景：苏科版八年级下册数学教材第95页“探索研究”

图2

（1）如图］，正方形A8C。的对角线AC、相交于点正方形AB'C'D'的顶点A与

点。重合.将正方形AECD绕点A旋转，在这个过程中,这两个正方形重合部分的面

积是正方形A3CD面积的.

问题迁移:

（2）等边三角形A3c的中线AD,C"相交于点。，先将一。钻绕点。逆时针旋转

（0°<«°<120°）,再沿线段。4方向平移，得到△0幺的,点。、A、3的对应点分别为

O\4、B,,且心OA,在这个过程中，△ONE的边。A,OE所在射线分别交

AB,3C于点M,N.

①如图2,当。与。'重合时，求证：O'M=O'N；

②如图3,当A=g时，判断。“和O'N之间的数量关系，并说明理由；

问题拓展：

③如图4,连接MN,记一ABC周长为乙在。、左的变化过程中，存在。、上的值，使

MN

得MN平分ABC的周长，此时，——的结果是否会发生变化？如不变，请求出其值；

P

MN

如变化，求出——的最小值.

P

21.（2024•江苏盐城•二模）【问题情境】如图，在ABC中，ZACB=90°,AC=kBC,

。是AB边上的高，点E是08上一点，连接CE,过点A作AFLCE于歹，交。于点

G.

【特例猜想】如图1,当％=1时，直接写出。G与DE之间的数量关系为；

【问题探究】如图2,当人二1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过

程，若不成立，请指出此时OG与叱的数量关系，并说明理由；

22.（2024•江苏宿迁•二模）四边形ABC。是正方形，3D是对角线，点M，N分别在边

CD,AD上，且不与端点重合，ZMBN=45°,MN与BD交于点、E.

（D如图①，若BD平分ZMBN,直接写出线段MMCM,4V之间的等量关系;

（2）如图②，若8。不平分乙VffiN,探究发现中线MMCM,WV之间的等量关系还成立

吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

⑶如图③，在矩形ABCD中，AB=4,3c=8,点E、尸分别在边CD、AD上，

BF=5,ZEBF=45°,直接写出所的长度.

23.（2024•江苏扬州•二模）定义：若直角三角形的两直角边的比值为血:1（左为正整

数），这样的直角三角形称为“五型三角形

（2）如图2,已知Rt^ABC是“0型三角形”，其中ACV3C,NC=90。，点D在斜边A3

上，且班>=BC,过点。作DE1AC于点E,连接BE,证明3CE是"g型三角形”；

⑶如图3,已知RtA4BC是“血型三角形”（七为正整数），其中4CVBC,"=90。，利

用尺规作图在RCABC中作出一个,3CE,使得3CE是“g型三角形"（其中

1C=90。，CE<BC）.

24.（2024•江苏扬州•二模）如图，点E是边长为2的正方形ABCD边AD上一动点，连

接班，将射线的绕点3顺时针旋转45。交边C。于点R过点E作几垂足为点

H,连接A”交BE于G,在点E从点A运动到点。运动过程中.

(2)连接S,

①笠的比值是否为定值，是定值求出该比值，不是定值请说明理由；

C/i

②当。〃〃鹿时，直接写出DE的长；

⑶在点E运动过程中，MG的面积记为'，一EG"的面积记为力,求出S「Sz的最大

值.

25.(2024•江苏宿迁•二模)【基础巩固】

(1)如图1,在J1BC中，。为8C上一点，连结AD,E为AD上一点，连结CE,若

ZABD=ZCAE,CD=CE,求证：AABD^ACAE.

【尝试应用】

(2)如图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC、交于点0,片为OC上一点，连结

BE,NBCE=NCDO,BE=DO,若16,OE=12,求AC的长.

【拓展提升】

(3)如图3,在菱形ABCD中，对角线AC、即交于点。,石为BC中点，尸为DC上一

点，连结。以AF,ZAEO=ZCAF,若警=。，AC=8,求菱形ABCD的边长.

FC2

26.(2024•江苏无锡•二模)如图1,矩形A8CD中，AB=4,BC=8,点尸为线段BC上

一点，点E为线段AP一点，取线段DE的中点F,以PE,PF为邻边向上作YPEG尸，

PF

EG、GF所在直线分别交AD于M、N.设七=根.

⑴当点G落在AD上时(如图2),机的值为.

⑵若尸为BC的中点，且点G到直线AD的距离为1时，求加的值.

⑶设，GM2V的面积为5,求$与机的函数表达式.

27.（2024•江苏宿迁•二模）（1）观察猜想：如图1,已知C、D、G三点在一条直线上

（CD＞DG）,正方形ABC。和正方形。所G在线段CG同侧，H是CG中点，线段0/与

AE的数量关系是,位置关系是;

（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形。EFG绕点。旋转a度（0。＜。＜360。），

试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理

由.

（3）拓展延伸：如图3,矩形ABCD和矩形DEFG中，