专题1 利用递推公式求通项公式2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计 (人教B版2019)

专题1利用递推公式求通项公式2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计(人教B版2019)主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容为“专题1利用递推公式求通项公式”，选自2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）相关章节。内容涵盖了递推公式的定义、性质以及如何利用递推公式求解数列的通项公式。具体包括：线性递推公式、非线性递推公式及其解法，并结合实际例题进行分析。

教学内容与学生已有知识的联系：学生在之前的学习中，已经掌握了数列的基本概念、等差数列和等比数列的通项公式及性质。在此基础上，本节课将进一步引导学生利用递推公式求解数列的通项公式，使学生对数列的认识上升到一个新的高度。通过本节课的学习，学生可以将已有的数列知识与新学到的递推公式求解方法相结合，更好地解决实际问题。核心素养目标分析本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：一是逻辑推理能力，通过分析递推公式及其求解过程，让学生理解数列通项公式的逻辑推导，提高其逻辑思维水平；二是数学建模能力，使学生能够运用递推公式解决实际数列问题，将现实问题转化为数学模型；三是问题解决能力，培养学生面对复杂数学问题时，能够运用所学知识进行有效分析、求解的策略和方法。这三个方面紧密联系新教程要求，有助于提升学生在数学领域的核心素养。学习者分析1.学生已掌握了数列的基本概念、等差数列和等比数列的通项公式及其性质，了解数列求和的基本方法，这些知识为学习递推公式求通项公式奠定了基础。

2.学生在数学学习中，表现出一定的逻辑推理能力和数学建模兴趣，具备一定的自主学习能力和合作学习能力。在学习风格上，部分学生喜欢通过具体实例理解抽象概念，而另一部分学生则更善于从理论推导入手。

3.学生在递推公式求通项公式的学习中可能遇到的困难和挑战包括：非线性递推公式的求解方法较为复杂，学生可能难以理解；在将现实问题转化为数学模型时，学生可能难以找到合适的递推关系；此外，学生在逻辑推理过程中可能存在思维跳跃，难以形成严密的推导过程。针对这些困难和挑战，教学过程中应给予针对性指导和支持。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有人教B版2019高中数学选择性必修第三册教材，以便学生能够跟随课堂进度查阅相关内容。

2.辅助材料：准备与递推公式相关的数列图表、动画视频等多媒体资源，帮助学生直观理解递推关系及其求解过程。

3.实验器材：本节课不涉及实验，无需准备实验器材。

4.教室布置：将教室分为讲解区、讨论区两部分，讨论区用于学生分组讨论和实践操作，便于开展合作学习。同时，确保教室内的多媒体设备正常运行，以便展示辅助教学材料。教学过程1.导入新课

上课之初，我会首先引导学生复习等差数列和等比数列的通项公式及其性质，为新课的学习做好铺垫。然后我会提出问题：“我们已经掌握了等差数列和等比数列的通项公式，那么对于任意的数列，我们是否也能找到它的通项公式呢？今天我们将学习一种新的方法——利用递推公式求解数列的通项公式。”

2.探究递推公式的概念

（1）定义递推公式

我会给出递推公式的定义：“递推公式是指一个数列的某一项（或几项）与它前面的项之间存在一定的关系，通过这个关系可以逐步推出数列的其他项。”然后我会请学生思考并举例说明递推公式的应用。

（2）探讨递推公式的性质

接着，我会引导学生分析递推公式的性质，如线性递推公式和非线性递推公式。在此过程中，我会让学生思考以下问题：

-线性递推公式和非线性递推公式有何区别？

-如何判断一个递推公式是否具有唯一解？

3.实例分析

我会给出几个具体的数列实例，让学生尝试利用递推公式求解通项公式。例如：

-已知数列{an}，a1=1，an+1=2an+1，求通项公式。

-已知数列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an，求通项公式。

在这个过程中，我会引导学生按照以下步骤进行求解：

-根据已知条件，列出递推公式；

-分析递推公式的性质，判断是否存在唯一解；

-利用递推公式，逐步求解数列的通项公式。

4.方法总结

在学生掌握了递推公式的求解方法后，我会引导学生总结求解通项公式的一般步骤：

-确定递推公式；

-分析递推公式的性质；

-利用递推公式求解通项公式。

5.应用与实践

为了巩固所学知识，我会给出以下练习题，让学生独立完成：

-已知数列{an}，a1=1，an+1=3an-2，求通项公式。

-已知数列{an}，a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an，求通项公式。

在学生完成练习题的过程中，我会关注学生的解题思路和方法，及时给予指导和反馈。

6.课堂小结

在课程接近尾声时，我会对本节课的知识点进行总结，强调递推公式求解数列通项公式的重要性。同时，我会鼓励学生在课后继续深入研究递推公式，探索更多有趣的数列问题。

7.布置作业

为了让学生更好地巩固所学知识，我会布置以下作业：

-复习本节课所学的递推公式及其求解方法；

-完成本节课的练习题，并尝试用不同的方法求解；

-预习下一节课的内容，提前了解数列的其他求解方法。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-数列的递推关系及其应用，选自《数学通讯》；

-利用递推公式求解斐波那契数列通项公式，选自《中学数学教学参考》；

-递推公式在数学建模中的应用，选自《数学建模教学研究》。

2.课后自主学习和探究：

（1）研究线性递推公式和非线性递推公式的求解方法，了解它们在现实生活中的应用。

（2）探讨以下问题：

-对于一个已知的数列，如何判断它是否存在递推关系？

-如何利用递推公式求解斐波那契数列的通项公式？

-递推公式在数学建模中具体有哪些应用？

（3）尝试利用递推公式解决以下实际问题：

-人口增长问题：假设一个地区的人口数列满足递推关系，如何求解该地区的人口通项公式？

-经济增长问题：假设一个国家的国内生产总值（GDP）满足递推关系，如何求解该国家GDP的通项公式？

（4）结合教材中的例题和练习题，总结递推公式求解数列通项公式的常用技巧和方法。

（5）与同学分享你在学习递推公式过程中的心得体会，以及解决实际问题时遇到的困难和挑战。板书设计1.标题：利用递推公式求通项公式

2.板书内容：

-递推公式定义

-线性递推公式

-非线性递推公式

-求解通项公式步骤

1.确定递推公式

2.分析递推公式性质

3.求解通项公式

-实例分析

1.数列{an}，a1=1，an+1=2an+1

2.数列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an

-方法总结

-课堂练习

1.数列{an}，a1=1，an+1=3an-2

2.数列{an}，a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an

3.设计特点：

-结构清晰：板书内容按照递推公式的定义、分类、求解步骤、实例分析、方法总结和课堂练习的顺序展开，条理分明。

-突出重点：用不同颜色的粉笔标出关键词和重要步骤，如“递推公式定义”、“求解通项公式步骤”等，增强视觉效果。

-简洁明了：板书内容简洁明了，避免冗长的解释，便于学生快速理解和记忆。

-艺术性和趣味性：运用图形、箭头等元素，使板书更具动态感和趣味性，激发学生学习兴趣。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在本节课中，我尝试将递推公式与实际生活案例相结合，让学生在理解抽象概念的同时，感受到数学在现实生活中的应用，提高了学生的学习兴趣。

2.我采用了分组合作的教学方法，鼓励学生互相讨论、分享解题思路，这种教学方式有助于培养学生的团队协作能力和沟通能力。

（二）存在主要问题

1.在教学过程中，我发现部分学生对递推公式的理解不够深入，导致在求解通项公式时出现困难。

2.教学评价方面，我对学生的评价可能过于关注解题结果，而忽视了他们在解题过程中的努力和思考。

（三）改进措施

1.针对学生对递推公式理解不深入的问题，我将在今后的教学中加强对递推公式基础知识的讲解，通过更多实例分析，帮助学生更好地理解递推公式的内涵。

2.在教学评价方面，我将更加关注学生的解题过程，鼓励他们积极参与课堂讨论，关注他们在合作学习中的表现，从而全面评价学生的学习成果。课后作业1.已知数列{an}，a1=1，an+1=2an+1，求通项公式。

解答：由递推公式可得：

a2=2a1+1=3，

a3=2a2+1=7，

a4=2a3+1=15，

观察发现，an=2^n-1。

2.已知数列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1+2an，求通项公式。

解答：由递推公式可得：

a3=a2+2a1=5，

a4=a3+2a2=11，

a5=a4+2a3=21，

观察发现，an=2^(n-1)+(-1)^(n-1)。

3.已知数列{an}，a1=1，an+1=3an-2，求通项公式。

解答：由递推公式可得：

a2=3a1-2=1，

a3=3a2-2=1，

a4=3a3-2=1，

观察发现，an=1。

4.已知数列{an}，a1=1，a2=2，an+2