高三数学步步高（理）第十三编 算法初步、推理与证明、复数

第十三编算法初步、推理与证明、复数§13.1算法与流程图基础自测基础自测1.以下对算法的描述正确的有 （）①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③计算可以一步步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案D2.任何一个算法都必须有的基本结构是 ()A.顺序结构 B.条件结构C.循环结构 D.三个都有答案A3.下列问题的算法适宜用条件结构表示的是 （）A.求点P（-1，3）到直线l:3x-2y+1=0的距离B.由直角三角形的两条直角边求斜边C.解不等式ax+b＞0(a≠0)D.计算100个数的平均数答案C4.下列关于选择结构的说法中正确的是 （）A.选择结构的流程图有一个入口和两个出口B.无论选择结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一C.选择结构中的两条路径可同时执行D.对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的答案B5.（·广东理，9）阅读下面的流程图，若输入m=4，n=3，则输出a=，i=.（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）答案123例1已知点P（x0，y0）和直线l:Ax+By+C=0，求点P（x0，y0）到直线l的距离d，写出其算法并画出程序框图.解算法如下：第一步，输入x0,y0及直线方程的系数A，B，C.流程图为：第二步，计算Z1=Ax0+By0+C.第三步，计算Z2=A2+B2.第四步，计算d=.第五步，输出d.例2“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式，某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f=其中f(单位：元)为托运费,为托运物品的重量（单位：千克）.试设计计算费用f的算法，并画出程序框图.解算法如下：S1输入;S2如果≤50,那么f=0.53;否则f=50×0.53+(-50)×0.85;S3输出f.程序框图为：例3（12分）画出计算12-22+32-42+…+992-1002的值的流程图.解流程图如下图. 12分1.写出求解一个任意二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值的算法.解算法设计如下：第一步，计算m=;第二步，若a＞0,输出最小值m;第三步，若a＜0，输出最大值m.2.到银行办理个人异地汇款（不超过100万元），银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费，超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取，超过5000元，一律收取50元手续费，试用条件语句描述汇款额为x元时，银行收取手续费y元的过程，画出流程图.解这是一个实际问题，故应先建立数学模型，y=由此看出，求手续费时，需先判断x的范围，故应用条件结构描述.流程图如图所示：3.利用循环结构写出1+2+3+…+100的算法，并画出各自的流程图.解流程图如下：算法如下：S1令i=1,S=0S2若i≤100成立，则执行S3；否则，输出S，结束算法S3S=S+iS4i=i+1，返回S2一、选择题1.算法：S1输入n；S2判断n是否是2,若n=2,则n满足条件，若n＞2,则执行S3；S3依次从2到n-1检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是 （）A.质数 B.奇数 C.偶数 D.约数答案A2.在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构 （）A.顺序结构 B.选择结构和循环结构C.顺序结构和选择结构 D.没有任何结构答案B3.阅读下面的流程图，若输入的a、b、c分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是 （）A.75、21、32 B.21、32、75C.32、21、75 D.75、32、21答案A4.如果执行下面的流程图，那么输出的S等于 （）A.2450 B.2500 C.2550 D.2652答案C5.（·枣庄模拟）右边的流程图表示的算法的功能是 （）A.计算小于100的奇数的连乘积B.计算从1开始的连续奇数的连乘积C.从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数D.计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n值答案D6.如图所示，流程图所进行的求和运算是 （）A.1++…+ B.1++…+C.+…+ D.+…+答案C二、填空题7.（·山东理，13）执行下边的流程图，若p=0.8，则输出的n=.答案48.若框图所给的程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是.答案k≤8三、解答题9.已知函数f(x)=,写出该函数的函数值的算法并画出流程图.解算法如下：第一步，输入x.第二步，如果x＜0,那么使f(x)=3x-1;否则f(x)=2-5x.第三步，输出函数值f(x).流程图如下：10.写出求过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率的算法，并画出流程图.解由于当x1=x2时，过两点P1、P2的直线的斜率不存在，只有当x1≠x2时，根据斜率公式k=求出，故可设计如下的算法和流程图.算法如下：第一步：输入x1,y1,x2,y2;第二步：如果x1=x2,输出“斜率不存在”，否则，k=;第三步：输出k.相应的流程图如图所示:11.某企业年的生产总值为200万元，技术创新后预计以后的每年的生产总值将比上一年增加5%，问最早哪一年的年生产总值将超过300万元？试写出解决该问题的一个算法，并画出相应的流程图.解算法设计如下：第一步，n=0,a=200,r=0.05.第二步，T=ar(计算年增量).第三步，a=a+T（计算年产量）.第四步，如果a≤300，那么n=n+1，重复执行第二步.如果a＞300,则执行第五步.第五步，N=+n.第六步，输出N.流程图如下：方法一方法二§13.2基本算法语句、算法案例基础自测基础自测1.给出以下四个问题：①输入一个数x，输出它的算术平方根；②求函数f（x）=的函数值；③求周长为6的正方形的面积；④求三个数a，b，c中的最小数.其中不需要用条件语句来描述其算法的个数是 （）A.1 B.2 C.3 D.4答案A2.If语句的基本作用是 ()A.顺序执行下一个程序 B.不执行下一个程序C.若表达式结果为真,则执行下一个程序 D.循环执行下一个程序答案C3.根据下面程序判断输出结果为 （）ii=0S=0DoS=S+ii=i+1LoopWhileS≤20输出iA.6 B.7 C.8 D.9答案B输入x；输入x；If x≤5ThenP=x*3ElseP=10*7.5+（x-2）*6.5EndIf输出P则当x=5时，输出结果为 （）A.15 B.95.5 C.94.5 D.以上答案均错答案A5.下面程序语句输出的S值是.ii=1S=0Fori=1To5S=S+ii=i+1Next输出S答案15例1输入两个实数，由小到大输出这两个数，画出流程图，并用语句描述.解流程图如图所示.用语句描述如下：输入a,bIfa＞bThent=aa=bb=tEndIf输出a，b例2编写程序,根据输入的x的值,计算y的值,并输出y的值.y=解算法步骤:(1)输入x;(2)如果x＞2,则y=x2-1;(3)如果x≤2,则y=x2+1.(4)输出y.用语句描述如下:输入输入x;Ifx>2Theny=x*x-1Elsey=x*x+1EndIf输出y例3某次考试规定：共考三门课，凡考试符合下列条件之一的，发给优秀证书.（1）三门成绩之和大于280分；（2）其中两门成绩大于95分，另一门大于80分.试用语句来描述这个算法.解用语句描述如下：输入学生的考试成绩a,b,cIfa+b+c＞280Then输出“请发给优秀证书！”ElseIfa＞95ANDb＞95ANDc＞80Then输出“请发给优秀证书！”ElseIfb＞95ANDc＞95ANDa＞80Then输出“请发给优秀证书！”ElseIfa＞95ANDc＞95ANDb＞80Then输出“请发给优秀证书！”Else输出“不发给优秀证书！”EndIfEndIfEndIfEndIf例4画出求…+的值的流程图,并用语句描述.解流程图为：用语句描述为：SS=0k=1Fork=1To99S=S+1/（k*（k+1））k=k+1Next输出S例5（12分）设计求满足条件1++…+＞106的最小自然数的算法.并画出流程图，写出程序.解根据以上的分析，可得该问题的算法如下：（1）S=0;（2）i=1;（3）S=S+，i=i+1.（4）如果S≤106，则执行（3），否则输出i-1. 4分对应的流程图如图所示，相应的程序用语句描述如下：8分用语句描述为：S=0S=0i=1DoS=S+i=i+1LoopWhileS≤106输出i-112分1.以下是一个流程图，请写出相应的基本语句编写的程序，流程图如图.解用语句描述为：输入x,y;x=x/2y=3*y输出x,yx=x-yy=y-1输出x,y2.已知y=编写一个算法语句，对每输入的一个x值都得到相应的函数值.解方法一用If—Then—Else语句描述如下：输入x;Ifx≥0Theny=x2-1Elsey=2x2-5EndIf输出y方法二用If—Then语句描述如下：输入x;Ifx≥0Theny=x2-1EndIfIfx＜0Theny=2x2-5EndIf输出y3.试写出一个算法语句，每输入一个x值，求y=的函数值.解用语句描述如下：输入x;Ifx＜0Theny=-x+1ElseIfx=0Theny=0Elsey=x+1EndIfEndIf输出y4.小球从100m的高度落下，每次落地后又反跳回原高度的一半，再落下，写出一个求第10次落地时，小球共经过多少路程的算法语句，并画出流程图.解流程图如图所示.用语句描述如下：S=0h=100Fori=1To10S=S+2*hh=h/2NextS=S-100输出S5.某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，试写出一个算法语句，求从第一年起，大约几年后可使总销售量达到30000台，并画出流程图.解流程图如图所示.用语句描述如下：m=5000S=0i=0DoS=S+mm=m*(1+10%)i=i+1LoopWhileS＜30000输出i一、选择题1.下列关于条件语句的叙述正确的是 （）A.条件语句中必须有Else和EndIfB.条件语句中可以没有EndIfC.条件语句中可以没有Else，但必须有EndIf结束D.条件语句中可以没有EndIf，但必须有Else答案C2.有下列算法语句，输出结果是 （）s=1i=1Doi=i+2s=s*iLoopWhiles≤2005输出iA.1+3+5+…+2005 B.1×3×5×…×2005C.求方程1×3×5×…×n=2005中n的值 D.求满足1×3×5×…×n＞2005的最小整数n答案D3.tt=1i=2Fori=2To5 t=t*ii=i+1Next输出t以上程序运行结果为 （）A.80 B.120 C.100 D.95答案B4.阅读下面的算法语句，若最后输出的y为9，则输入的x应该是 （）输入xIfx＜0Theny=(x+1)*(x+1)Elsey=(x-1)*(x-1)EndIf输出yA.-4 B.-2 C.4或-4 D.2或-2答案C5.S=1S=1i=1Fori=1To10S=3*Si=i+1Next输出S以上程序用来 ()A.计算3×10的值 B.计算39的值C.计算310的值 D.计算1×2×3×…×10的值答案C6.下面程序输出的结果为 （）ii=1Doi=i+2S=2*i+3LoopWhilei<8输出SA.17 B.19 C.21 D.23答案C二、填空题7.（·广州模拟）下面程序表达的是输入x;Ifx＞0Theny=1ElseIfx=0Theny=0Elsey=-1EndIfEndIf输出y求函数的值.答案y=8.下面是一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为.S=0i=1Do输入xS=S+xi=i+1LoopWhilea=S/20输出a答案i≤20三、解答题9.已知某商店对顾客购买货款数满500元，减价3%，不足500元不予优惠，输入一顾客购物的货款数，计算出这个顾客实交的货款，画出流程图，写出程序.解设购买货款数为x元，则顾客实际应交的货款y元为y=即y=输入x;If输入x;Ifx≥500Theny=0.97*xElsey=xEndIf输出y10.输出1~100（包括1和100）中能被7整除的所有整数.解方法一用语句描述如下：i=1DoIfiMOD7=0Then输出iEndIfi=i+1LoopWhilei≤100方法二用语句描述如下：Fori=1To100IfiMOD7=0Then输出iEndIfNext11.已知分段函数y=编写程序，输入自变量x的值，输出其相应的函数值,并画出相应的流程图.解方法一由于函数是一个分段函数，所以输入x的值后应根据x的值所在的范围，选择相应的解析式代入求出其函数值，故应用条件语句;又因为实数x的值共分为三个范围，所以还应用到条件语句的嵌套.流程图如图所示：用语句描述为:输入x输入x；Ifx＜0Theny=-x+1ElseIf x=0Theny=0Elsey=x+1EndIfEndIf输出y方法二也可以不用条件语句的嵌套，用如下的三个If—Then语句编写程序.流程图如图所示： 用语句描述为：输入输入x;Ifx＜0Theny=-x+1EndIfIfx=0Theny=0EndIfIfx＞0Theny=x+1EndIf输出y;§13.3合情推理与演绎推理基础自测基础自测某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 （）A.白色 B.黑色C.白色可能性大 D.黑色可能性大答案A2.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是 （）A.an=2n-1 B.an=2n-1C.an=2n D.an=2n+1答案B3.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a33为 （）A.3 B.-3 C.6 D.-6答案A4.下面使用类比推理恰当的是 （）A.“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“=+”C.“(a+b）c=ac+bc”类推出“=+(c≠0)”D.“（ab）n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”答案C5.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为.答案一切奇数都不能被2整除， 大前提2100+1是奇数， 小前提所以2100+1不能被2整除. 结论例1在数列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N+,猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由.解在{an}中,a1=1,a2==,a3===,a4==,…,所以猜想{an}的通项公式an=.这个猜想是正确的.证明如下:因为a1=1,an+1=,所以==+,即-=,所以数列是以=1为首项,为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=n+,所以通项公式an=.已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A′,B′,C′,则++=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.++=++==1，请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.证明在四面体V—BCD中，任取一点O，连结VO、DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点.则+++=1.在四面体O—BCD与V—BCD中：===.同理有：=；=；=，∴+++===1.例3（12分）已知函数f（x）=-（a＞0且a≠1），（1）证明：函数y=f(x)的图像关于点对称；（2）求f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）的值.（1）证明函数f（x）的定义域为R，任取一点（x，y），它关于点对称的点的坐标为（1-x，-1-y）. 2分由已知得y=-,则-1-y=-1+=-， 3分f（1-x）=-=-=-=-， 4分∴-1-y=f（1-x）.即函数y=f(x)的图像关于点对称. 6分（2）解由（1）有-1-f（x）=f（1-x），即f（x）+f（1-x）=-1.∴f（-2）+f（3）=-1，f（-1）+f（2）=-1，f（0）+f（1）=-1，则f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=-3. 12分1.已知f(x)=(x≠-,a＞0),且f(1)=log162,f(-2)=1.（1）求函数f(x)的表达式；（2）已知数列{xn}的项满足xn=［1-f(1)］［1-f(2)］…［1-f(n)］，试求x1,x2,x3,x4;（3）猜想{xn}的通项.解（1）把f(1)=log162=,f(-2)=1,代入函数表达式得,整理得，解得,于是f(x)=(x≠-1).（2）x1=1-f(1)=1-=,x2=×=,x3=×=,x4=×=.（3）这里因为偶数项的分子、分母作了约分，所以规律不明显，若变形为，，，，…，便可猜想xn=.2.如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则=·；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由.解类似的结论为：=··.这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2，连OM2.过R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1，则R1M1⊥平面P2OQ2.由=·R1M1=·OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1=OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1，同理，=OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2.所以=.由平面几何知识可得=.所以=.所以结论正确.3.已知函数f（x）=（x∈R），（1）判定函数f（x）的奇偶性；（2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明.解（1）对x∈R有-x∈R，并且f（-x）===-=-f（x），所以f（x）是奇函数.（2）f(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1,x2∈R，并且x1＞x2,f(x1)-f(x2)=-==.∵x1＞x2,∴＞＞0,∴-＞0,+1＞0,+1＞0.∴＞0.∴f(x1)＞f(x2).∴f(x)在R上为单调递增函数.一、选择题1.由＞,＞,＞,…若a＞b＞0,m＞0，则与之间的大小关系为 （）A.相等 B.前者大C.后者大 D.不确定答案B2.已知a1=1,an+1＞an，且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0，猜想an的表达式为 （）A.n B.n2 C.n3 D.答案B3.已知f(x)=x2008+ax2007--8,f(-1)=10,则f(1)等于 （）A.10 B.-10 C.-4 D.-24答案D4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”；②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”；③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“（a·b）·c=a·（b·c）”；④“t≠0,mt=xtm=x”类比得到“p≠0,a·p=x·pa=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”；⑥“=”类比得到“=”.以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 （）A.1 B.2 C.3 D.4答案B5.下列推理是归纳推理的是 （）.A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆=1的面积S=abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案B6.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 （）A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7)答案D二、填空题7.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是.答案=8.（·福州模拟）现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为.答案三、解答题9.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质.解如图所示，由平行四边形的性质可知AB=DC，AD=BC，于是类比平行四边形的性质,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，我们猜想：S=S,S=S,S=S,且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，此猜想是正确的.10.已知梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线.用三段论证明：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.证明（1）两平行线与第三直线相交，内错角相等（大前提）∠BCA与∠CAD是平行线AD，BC被AC所截内错角（小前提）所以，∠BCA=∠CAD（结论）（2）等腰三角形两底角相等（大前提）△CAD是等腰三角形，DA=DC（小前提）所以，∠DCA=∠CAD（结论）（3）等于同一个量的两个量相等（大前提）∠BCA与∠DCA都等于∠CAD（小前提）所以，∠BCA=∠DCA，即AC平分∠BCD（结论）（4）同理，BD平分∠CBA.11.如图所示，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.（1）求证：CC1⊥MN；（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.证明（1）∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，∴BB1⊥平面PMN.∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S-2SScos.其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP∴PM2·CC=PN2·CC+MN2·CC-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP，由于S=PN·CC1，S=MN·CC1，S=PM·BB1=PM·CC1，∴S=S+S-2S·S·cos.12.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.解类似的性质为：若M、N是双曲线=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明如下：设点M、P的坐标分别为（m，n），（x，y），则N（-m，-n）.因为点M（m,n）在已知双曲线上，所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.则kPM·kPN=·==·=(定值).§13.4直接证明与间接证明基础自测基础自测1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的 （）A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案A2.若a＞b＞0,则下列不等式中总成立的是 （）A.a+＞b+ B.＞C.a+＞b+ D.答案A3.要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 （）A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法答案B4.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是 （）A.假设a、b、c都是偶数 B.假设a、b、c都不是偶数C.假设a、b、c至多有一个偶数 D.假设a、b、c至多有两个偶数答案B5.设a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的 ()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件答案C例1设a,b,c＞0,证明：≥a+b+c.证明∵a,b,c＞0，根据基本不等式，有+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.三式相加：+++a+b+c≥2(a+b+c).即++≥a+b+c.例2（12分）已知a＞0,求证：-≥a+-2.证明要证-≥a+-2,只要证+2≥a++. 2分∵a＞0,故只要证≥（a++）2, 6分即a2++4+4≥a2+2++2+2, 8分从而只要证2≥, 10分只要证4≥2（a2+2+）,即a2+≥2,而该不等式显然成立，故原不等式成立. 12分例3若x,y都是正实数，且x+y＞2,求证：＜2与＜2中至少有一个成立.证明假设＜2和＜2都不成立，则有≥2和≥2同时成立，因为x＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，这与已知条件x+y＞2相矛盾，因此＜2与＜2中至少有一个成立.素1.已知a,b,c为互不相等的非负数.求证：a2+b2+c2＞(++).证明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c为互不相等的非负数，∴上面三个式子中都不能取“=”，∴a2+b2+c2＞ab+bc+ac,∵ab+bc≥2,bc+ac≥2,ab+ac≥2,又a,b,c为互不相等的非负数，∴ab+bc+ac＞(++),∴a2+b2+c2＞(++).2.已知a＞0,b＞0,且a+b=1,试用分析法证明不等式≥.证明要证≥,只需证ab+≥，只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,只需证4(ab)2+8ab-25ab+4≥0,只需证4(ab)2-17ab+4≥0,即证ab≥4或ab≤,只需证ab≤，而由1=a+b≥2,∴ab≤显然成立，所以原不等式≥成立.3.已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.证明方法一假设三式同时大于，即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞.又(1-a)a≤=,同理（1-b）b≤,(1-c)c≤,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,这与假设矛盾，故原命题正确.方法二假设三式同时大于，∵0＜a＜1,∴1-a＞0,≥＞=,同理＞,＞,三式相加得＞,这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确.一、选择题1.（·济南模拟）用反证法证明“如果a＞b,那么＞”假设内容应是 （）A. B.C.且 D.或答案D2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc,q=logc，则p,q的大小关系是 （）A.p＞q B.p＜q C.p=q D.p≥q答案B3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S，下列等式中不恒成立的是 （）A.（a*b）*a=a B.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=b D.(a*b)*［b*(a*b)］=b答案A4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则 （）A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形答案D二、填空题5.（·揭阳模拟）已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中命题正确的是（填序号）.答案①6.（·枣庄模拟）对于任意实数a,b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论：①对于任意实数a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②对于任意实数a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.(写出你认为正确的结论的所有序号)答案②③三、解答题7.已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，…），a1=1.（1）设bn=an+1-2an(n=1,2,…)，求证：数列{bn}是等比数列；（2）设cn=(n=1,2,…),求证：数列{cn}是等差数列；（3）求数列{an}的通项公式及前n项和公式.（1）证明∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,…),即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)∵bn=an+1-2an(n=1,2,…),∴bn+1=2bn.由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列.（2）证明由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵cn=(n=1,2,…),∴cn+1-cn=-==.将bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,…),由此可知，数列{cn}是公差为的等差数列，它的首项c1==，故cn=n-(n=1,2,…).（3）解∵cn=n-=(3n-1).∴an=2n·cn=(3n-1)·2n-2(n=1,2,…)当n≥2时，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2.由于S1=a1=1也适合于此公式，所以{an}的前n项和公式为Sn=（3n-4）·2n-1+2.8.设a,b,c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证：I2＜4S.证明由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,∵a,b,c为任意三角形三边长，∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0∴a2+b2+c2＜2S∴a2+b2+c2+2S＜4S.∴I2＜4S.9.已知a,b,c为正实数,a+b+c=1.求证：（1）a2+b2+c2≥;(2)++≤6.证明（1）方法一a2+b2+c2-=(3a2+3b2+3c2-1)=［3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2］=(3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc)=［(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2］≥0∴a2+b2+c2≥.方法二∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥.方法三设a=+,b=+,c=+.∵a+b+c=1,∴++=0∴a2+b2+c2=（+）2+（+）2+（+）2=+(++)+2+2+2=+2+2+2≥∴a2+b2+c2≥.(2)∵=≤=,同理≤,≤∴++≤=6∴原不等式成立.10.已知函数y=ax+(a＞1).（1）证明：函数f(x)在（-1,+∞)上为增函数；（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.证明（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,由于a＞1,∴a＞1且a＞0,∴a-a=a(a-1)＞0.又∵x1+1＞0,x2+1＞0,∴-==＞0,于是f(x2)-f(x1)=a-a+-＞0,故函数f(x)在(-1,+∞）上为增函数.（2）方法一假设存在x0＜0(x0≠-1)满足f(x0)=0,则a=-.∵a＞1,∴0＜a＜1,∴0＜-＜1,即＜x0＜2，与假设x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.方法二假设存在x0＜0(x0≠-1)满足f(x0)=0,①若-1＜x0＜0，则＜-2,a＜1,∴f(x0)＜-1,与f(x0)=0矛盾.②若x0＜-1,则＞0,a＞0,∴f(x0)＞0,与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.§13.5数学归纳法基础自测基础自测1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为 （）A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3答案 C2.如果命题P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的是()A.P（n）对n∈N+成立B.P(n)对n＞4且n∈N+成立C.P（n）对n＜4且n∈N+成立D.P（n）对n≤4且n∈N+不成立答案D3.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上 ()A.k2+1 B.(k+1)2C. D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2答案 D4.已知f(n)=+++…+，则 ()A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=+B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=++C.f(n)中共有n2-n项，当n=2时，f(2)=+D.f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)=++答案D5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是 （）A. 假设n=k（kN+），证明n=k+1命题成立B.假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立C.假设n=2k+1(kN+),证明n=k+1命题成立D.假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立答案D例1用数学归纳法证明:对任意的n∈N+,++…+=.证明（1）当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立.（2）假设n=k(k∈N+)时等式成立,即有++…+=,则当n=k+1时,++…++=+====,所以当n=k+1时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切n∈N+等式都成立.例2试证：当n为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.证明方法一（1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.（2）假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)∴n=k+1时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的n∈N+，命题都成立.方法二（1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.（2）假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),∴n=k+1时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的n∈N+,命题都成立.例3用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+）（1+）…（1+）＞均成立.证明（1）当n=2时，左边=1+=；右边=.∵左边＞右边，∴不等式成立.（2）假设n=k(k≥2,且k∈N+)时不等式成立，即（1+）（1+）…（1+）＞.则当n=k+1时，（1+）（1+）…（1+）＞＞·==＞==.∴当n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.例4（12分）已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-.（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与Sn+1的大小，并说明理由.解（1）由已知得,又∵{an}的公差大于0，∴a5＞a2,∴a2=3,a5=9.∴d===2，a1=1. 2分∵Tn=1-bn，∴b1=，当n≥2时，Tn-1=1-bn-1,∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),化简，得bn=bn-1, 5分∴{bn}是首项为,公比为的等比数列，即bn=·=, ∴an=2n-1，bn=. 6分(2)∵Sn==n2,∴Sn+1=（n+1）2，=. 以下比较与Sn+1的大小：当n=1时，=，S2=4，∴＜S2,当n=2时，=,S3=9,∴＜S3,当n=3时，=,S4=16,∴＜S4,当n=4时，=,S5=25,∴＞S5.猜想：n≥4时，＞Sn+1. 下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证.②假设当n=k(k∈N+,k≥4)时，＞Sk+1,即＞(k+1)2. 9分那么n=k+1时，==3·＞3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1＞［(k+1)+1］2=S(k+1)+1,∴n=k+1时，＞Sn+1也成立. 11分由①②可知n∈N+,n≥4时，＞Sn+1都成立. 综上所述，当n=1,2,3时，＜Sn+1,当n≥4时，＞Sn+1. 12分1.用数学归纳法证明：1-+-+…+-=++…+.证明（1）当n=1时，左边=1-===右边，∴等式成立.（2）假设当n=k(k≥1,k∈N+)时，等式成立，即1-+-+…+-=++…+.则当n=k+1时,1-+-+…+-+-=++…++-=++…+++(-)=++…+++,即当n=k+1时，等式也成立，所以由（1）（2）知等式成立.2.求证：二项式x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除.证明（1）当n=1时，x2-y2=(x+y)(x-y),能被x+y整除，命题成立.（2）假设n=k（k≥1,k∈N+）时，x2k-y2k能被x+y整除，那么当n=k+1时，x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),显然x2k+2-y2k+2能被x+y整除，即当n=k+1时命题成立.由（1）（2）知，对任意的正整数n命题均成立.3.已知m,n为正整数.用数学归纳法证明：当x＞-1时，(1+x)m≥1+mx.证明（1）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x2≥0,所以左边≥右边，原不等式成立；（2）假设当m=k(k≥1,k∈N+)时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx,则当m=k+1时，∵x＞-1,∴1+x＞0.于是在不等式(1+x)k≥1+kx两边同时乘以1+x得(1+x)k·（1+x）≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x.所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,即当m=k+1时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数m,不等式都成立.4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N+）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）证明你的猜想，并求出an的表达式.（1）解∵an=Sn-Sn-1（n≥2）∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）∵a1=1，∴S1=a1=1.S2=，S3==，S4=，猜想Sn=.（2）证明①当n=1时，S1=1成立.②假设n=k（k≥1,k∈N+）时，等式成立，即Sk=，当n=k+1时，Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，∴ak+1=，∴Sk+1=（k+1）2·ak+1=，∴n=k+1时等式也成立，得证.∴根据①、②可知，对于任意n∈N+，等式均成立.又∵ak+1=，∴an=.一、选择题1.用数学归纳法证明：“++…+≥1(n∈N+)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是（）A.1 B. C.+ D.以上都不是答案B2.如果命题P（n）对于n=k(k∈N+)时成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对于n=2时成立，则下列结论正确的是（）A.P(n)对所有正整数n成立 B.P（n）对所有正偶数n成立 C.P（n）对所有正奇数n成立 D.P（n）对所有大于1的正整数n成立答案B3.利用数学归纳法证明不等式1+++…+＜n(n≥2，n∈N+)的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项答案D4.用数学归纳法证明“2n＞n2+1对于n＞n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 （）A.2 B.3 C.5 D.6答案C5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,(nN+)能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（）A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3答案A6.证明＜1++++…+＜n+1(n＞1)，当n=2时，中间式子等于 ()A.1 B.1+ C.1+ D.1+答案D二、填空题7.用数学归纳法证明不等式++…+＜的过程，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是.答案8.用数学归纳法证明1+++…+＜2(n∈N,且n＞1)，第一步要证的不等式是.答案1++＜2三、解答题9.用数学归纳法证明：1+++…+≥(n∈N+).证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，∴左≥右，即命题成立.（2）假设当n=k(k∈N+,k≥1)时，命题成立，即1+++…+≥.那么当n=k+1时，要证1+++…++≥,只要证+≥.∵--==＜0,∴+≥成立，即1+++…++≥成立.∴当n=k+1时命题成立.由（1）、(2)知，不等式对一切n∈N+均成立.10.用数学归纳法证明（3n+1）·7n-1(n∈N+)能被9整除.证明（1）当n=1时，4×7-1=27能被9整除，命题成立.（2）假设n=k(k≥1，k∈N+)时命题成立，即(3k+1)·7k-1能被9整除.当n=k+1时，［(3k+3)+1］·7k+1-1=(3k+1+3)·7·7k-1=7·(3k+1)·7k-1+21·7k=［(3k+1)·7k-1］+18k·7k+6·7k+21·7k=［(3k+1)·7k-1］+18k·7k+27·7k，由归纳假设(3k+1)·7k-1能被9整除，又因为18k·7k+27·7k能被9整除，所以［3(k+1)+1］·7k+1-1能被9整除，即n=k+1时命题成立.由（1）（2）知，对所有的正整数n，命题成立.11.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.（1）解当n=1时，a1=S1=2-a1,∴a1=1.当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=.当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=.由此猜想an=(n∈N+).（2）证明①当n=1时，a1=1，结论成立.②假设n=k(k≥1且k∈N+)时,结论成立，即ak=,那么n=k+1(k≥1且k∈N+)时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.∴2ak+1=2+ak,∴ak+1===,这表明n=k+1时，结论成立，由①②知猜想an=（n∈N+）成立.12.是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）对于一切n∈N+都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.解假设存在a、b、c使12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）对于一切n∈N+都成立.当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，2a（4b+c）=6；当n=3时，3a（9b+c）=19.解方程组解得证明如下：①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立.②假设n=k（k∈N+）时等式成立，即12+22+32+…+k2+（k-1）2+…+22+12=k（2k2+1）；当n=k+1时，12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+…+22+12=k（2k2+1）+（k+1）2+k2=k（2k2+3k+1）+（k+1）2=k（2k+1）（k+1）+（k+1）2=（k+1）（2k2+4k+3）=（k+1）［2（k+1）2+1］.即n=k+1时，等式成立.因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切n∈N+都成立.§13.6数系的扩充与复数的引入基础自测基础自测1.（·浙江理，1）已知a是实数，是纯虚数，则a等于 （）A.1 B.-1 C. D.-答案A2.设复数z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是 （）A.a=0 B.a=0且b≠0C.a≠0且b=0 D.a≠0且b≠0答案A3.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （）A.一条直线 B.两条直线C.圆 D.椭圆答案C4.（·辽宁理，4）复数+的虚部是 （）A.i B. C.-i D.-答案B5.设为复数z的共轭复数，若复数z同时满足z-=2i，=iz，则z=.答案-1+i例1已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.解（1）当z为实数时，则有，∴,∴a=6，即a=6时，z为实数.（2）当z为虚数时，则有a2-5a-6≠0且有意义，∴a≠-1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时，z为虚数.（3）当z为纯虚数时，有,∴.∴不存在实数a使z为纯虚数.例2已知x,y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.解设x=a+bi(a,b∈R)，则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得,解得或或或.故所求复数为或或或.例3计算：（1）; (2);(3)+; (4).解（1）==-1-3i.(2)====+i.(3)+=+=+=-1.(4)====--i.例4(12分)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i,-2+4i，试求：（1）表示的复数，所表示的复数；（2）对角线所表示的复数;(3)求B点对应的复数.解（1）=-，∴所表示的复数为-3-2i. ∵=，∴所表示的复数为-3-2i. 4分（2）=-，∴所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 8分(3)=+=+,∴表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i. 12分1.已知m∈R，复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时，（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二像限；（4）z对应的点在直线x+y+3=0上.解（1）当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-1≠0得m=-3,故当m=-3时，z∈R.（2）当z为纯虚数时,则有解得m=0，或m=2.∴当m=0或m=2时，z为纯虚数.（3）当z对应的点位于复平面第二像限时,则有解得m＜-3或1＜m＜2，故当m＜-3或1＜m＜2时，z对应的点位于复平面的第二像限.（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时,则有+,得=0，解得m=0或m=-1±.∴当m=0或m=-1±时，点Z在直线x+y+3=0上.2.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos+(+3sin)i(∈R).若z1=z2,求的取值范围.解∵z1=z2,∴m+(4-m2)i=2cos+(+3sin)i,由复数相等的条件，得,∴=4-m2-3sin=4-4cos2-3sin=4sin2-3sin=4(sin-)2-,∵-1≤sin≤1,∴当sin=时，min=-;当sin=-1时，max=7,∴-≤≤7.3.计算下列各题（1）；（2）+.解（1）===i（1+i）4=i［（1+i）2］2=i（2i）2=-4i.（2）+=+=i+=i+i1003=i+i4×250+3=i+i3=i-i=0.4.已知关于x的方程x2-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有实数根b.（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解（1）∵b是方程x2-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，∴（b2-6b+9）+（a-b）i=0，故解得a=b=3.（2）设z=x+yi（x，y∈R），由|-3-3i|=2|z|，得（x-3）2+（y+3）2=4（x2+y2），即（x+1）2+（y-1）2=8.∴Z点的轨迹是以O1（-1，1）为圆心，2为半径的圆.如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值.∵|OO1|=，半径r=2，∴当z=1-i时，|z|有最小值且|z|min=.一、选择题1.（·天津理，1）i是虚数单位，等于 （）A.-1 B.1 C.-i D.i答案A2.（·广东文，2）已知0＜a＜2，复数z=a+i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 （）A.（1，5） B.（1，3） C.（1，） D.（1，）答案C3.（·山东文，2）设z的共轭复数是，若z+=4，z·=8，则等于 （）A.i B.-i C.±1 D.±i答案D4.若(a-2i)i=b-i，其中a、b∈R,i是虚数单位，则a2+b2等于 （）A.0 B.2 C.5 D.答案C5.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i，0，则第四个顶点对应的复数为 （）A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i答案D6.设a是实数，且+是实数，则a等于 （）A. B.1 C. D.2答案B二、填空题7.（·北京理，9）已知（a-i）2=2i,其中i是虚数单位，那么实数a=.答案-18.(·湖北理，11)设z1是复数，z2=z1-i1（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是-1，则z2的虚部为.答案1三、解答题9.已知z2=8+6i,求z3-16z-.解原式====-=-=-,|z|2=|z2|=|8+6i|=10,又由z2=8+6i=［±（3+i)］2,∴z=±(3+i),当z=3+i时，原式=-60+20i；当z=-3-i时，原式=60-20i.10.已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一像限，求实数a的取值范围.解设z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i.∴(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由于(z+ai)2在复平面对应的点在第一像限,所以,解得2＜a＜6,∴实数a的取值范围是（2，6）.11.是否存在复数z，使其满足·z+2i=3+ai(a∈R),如果存在，求出z的值；如果不存在，说明理由.解设z=x+yi(x,y∈R)，则x2+y2+2i(x-yi)=3+ai.∴消去x得y2+2y+-3=0,Δ=16-a2.当且仅当|a|≤4时，复数z存在，此时z=-i.12.设z∈C，求满足z+∈R且|z-2|=2的复数z.解方法一设z=a+bi(a,b∈R),则z+=a+bi+=a+bi+=a++i∈R.∴b=.∴b=0或a2+b2=1.当b=0时,z=a,∴|a-2|=2,∴a=0或a=4.a=0不合题意舍去,∴z=4.当b≠0时,a2+b2=1. ①又∵|z-2|=2,∴(a-2)2+b2=4. ②由①②解得a=,b=±,∴z=±i.综上可知,z=4或z=±i.方法二∵z+∈R,∴z+=+,∴(z-)-=0,(z-)·=0,∴z=或|z|=1.下同方法一.单元检测十三一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（·海南文，3）已知复数z=1-i,则等于 （）A.2 B.-2 C.2i D.-2i答案A2.（·宁夏文，6）如图所示的流程图,如果输入三个实数a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的 （）A.c＞x B.x＞c C.c＞b D.b＞c答案A3.在平面内，三角形的面积为s，周长为c,则它的内切圆的半径r=.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R为 （）A. B. C. D.答案B4.已知x＞0，由不等式x+≥2,x+=++≥3,启发我们得到推广结论x+≥n+1(n∈N+)，则a等于（）A.nn B.(n+1)n C.nn+1 D.nn-1答案A5.（·烟台模拟）给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案C6.下面程序在计算机上执行，最后运行的结果是 （）S=1ForI=3To20S=S+I*3Next 输出SA.10 B.61 C.621 D.622答案D7.观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为 （）答案A8.如图所示，把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是 （）A.27 B.28 C.29 D.30答案B9.（·全国Ⅰ理，4）设a∈R，且(a+i)2i为正实数，则a等于 （）A.2 B.1 C.0 D.-1答案D10.（·江西理，1）在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于 （）A.第一像限 B.第二像限C.第三像限 D.第四像限答案D11.若sin2-1+i(cos+1)是纯虚数，则等于 （）A.2k(k∈Z) B.2k(k∈Z)C.k(k∈Z) D.k(k∈Z)答案B12.若(m∈R)为纯虚数，则的值为 （）A.-1 B.1 C.-i D.i答案B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.（·全国Ⅱ理，16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件.充要条件①