高三数学步步高（理）第七编 不等式

第七编不等式§7.1不等关系与不等式基础自测1.已知-1＜a＜0,那么-a,-a3,a2的大小关系是 （）A.a2＞-a3＞-a B.-a＞a2＞-a3C.-a3＞a2＞-a D.a2＞-a＞-a3答案B2.若m＜0,n＞0且m+n＜0，则下列不等式中成立的是 ()A.-n＜m＜n＜-m B.-n＜m＜-m＜nC.m＜-n＜-m＜n D.m＜-n＜n＜-m答案D3.已知a＜0,-1＜b＜0,那么下列不等式成立的是 （）A.a＞ab＞ab2 B.ab2＞ab＞aC.ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a答案D4.（·厦门模拟）＞1的一个充分不必要条件是 （）A.x＞y B.x＞y＞0C.x＜y D.y＜x＜0答案B5.设甲:m,n满足乙:m,n满足那么 （）A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件答案B例1（1）设x＜y＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小；（2）已知a,b,c∈{正实数}，且a2+b2=c2,当n∈N,n＞2时比较cn与an+bn的大小.解（1）方法一（x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y),∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,∴-2xy(x-y)＞0,∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).方法二∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.∴(x2+y2)(x-y)＜0,(x2-y2)(x+y)＜0,∴0＜=＜1,∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).(2)∵a,b,c∈{正实数}，∴an,bn,cn＞0,而=+.∵a2+b2=c2,则+=1,∴0＜＜1,0＜＜1.∵n∈N,n＞2,∴＜,＜,∴=+＜=1,∴an+bn＜cn.例2已知a、b、c是任意的实数，且a＞b,则下列不等式恒成立的为 （）A.(a+c)4＞(b+c)4 B.ac2＞bc2C.lg|b+c|＜lg|a+c| D.＞答案D例3（12分）已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求2a+3b解设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),∴,2分∴m=,n=-.4分∴2a+3b=(a+b)-(a-b).5分∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,∴-＜(a+b)＜,-2＜-(a-b)＜-1,8分∴-＜(a+b)-(a-b)＜,10分即-＜2a+3b＜.12分1.（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x∈R;（2）设a∈R,且a≠0,试比较a与的大小.解（1）（x6+1）-（x4+x2）=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)=(x2-1)2(x2+1).当x=±1时，x6+1=x4+x2;当x≠±1时，x6+1＞x4+x2.（2）a-==当-1＜a＜0或a＞1时,a＞；当a＜-1或0＜a＜1时,a＜；当a=±1时,a=.2.适当增加不等式条件使下列命题成立：(1)若a＞b,则ac≤bc;(2)若ac2＞bc2,则a2＞b2;(3)若a＞b,则lg(a+1)＞lg(b+1);(4)若a＞b,c＞d,则＞;(5)若a＞b,则＜.解(1)原命题改为：若a＞b且c≤0，则ac≤bc,即增加条件“c≤0”.(2)由ac2＞bc2可得a＞b,但只有b≥0时，才有a2＞b2,即增加条件“b≥0”(3)由a＞b可得a+1＞b+1,但作为真数，应有b+1＞0,故应加条件“b＞-1”(4)＞成立的条件有多种，如a＞b＞0,c＞d＞0,因此可增加条件“b＞0,d＞0”.还可增加条件为“a＜0,c＞0,d＜0”.(5)＜成立的条件是a＞b,ab＞0或a＜0,b＞0,故增加条件为“ab＞0”.3.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.解方法一设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得,解得,∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法二由,得,∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.方法三由确定的平面区域如图.当f(-2)=4a-2b过点A时,取得最小值4×-2×=5,当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f(-2)≤10.]一、选择题1.已知a,b,c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不恒成立的是 （）A.＞ B.＞0 C.＞ D.＜0答案C2.已知a、b、c满足c＜b＜a,且ac＜0,那么下列选项中一定成立的是 （）A.ab＞ac B.c(b-a)＜0C.cb2＜ab2 D.ac(a-c)＞0答案A3.设a＞1＞b＞-1,则下列不等式恒成立的是 （）A. B.C. D.a>b2答案D4.(·杭州模拟)已知三个不等式：ab＞0，bc-ad＞0,＞0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是 （）A.0 B.1 C.2 D.3答案D5.已知函数f(x)=log2(x+1),设a＞b＞c＞0,则,,的大小关系为 ()A.＜＜ B.＜＜C.＜＜ D.＜＜答案 B6.若x＞y＞1,且0＜a＜1,则①ax＜ay;②logax＞logay;③x-a＞y-a;④logxa＜logya.其中不成立的个数是 （）A.1 B.2 C.3 D答案C二、填空题7.已知a+b＞0，则+与+的大小关系是.答案+≥+8.给出下列四个命题：①若a＞b＞0,则＞;②若a＞b＞0,则a-＞b-;③若a＞b＞0,则＞;④设a,b是互不相等的正数，则|a-b|+≥2.其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）答案②三、解答题9.比较aabb与abba（a,b为不相等的正数）的大小.解=aa-bbb-a=,当a＞b＞0时，＞1,a-b＞0,∴＞1；当0＜a＜b时，＜1,a-b＜0,∴＞1.综上所述，总有aabb＞abba.10.已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,,,∈R且+＞0,+＞0,+＞0.试说明f()+f()+f()的值与0的关系.解由+＞0,得＞-.∵f(x)在R上是单调减函数,∴f()＜f(-).又∵f(x)为奇函数,∴f()＜-f(),∴f()+f()＜0,同理f()+f()＜0,f()+f()＜0,∴f()+f()+f()＜0.11.某个电脑用户计划使用不超过1000元的资金购买单价分别为80元、90元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买4盒，写出满足上述所有不等关系的不等式.解设买软件x片、磁盘y盒,N+N+则x、y满足关系：N+N+12.已知a＞0,a2-2ab+c2=0,bc＞a2.试比较a,b,c的大小.解∵bc＞a2＞0,∴b,c同号.又a2+c2＞0,a＞0,∴b=＞0,∴c＞0,由(a-c)2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0,∴b-c≥0.当b-c＞0,即b＞c时,由·c＞a2(a-c)(2a2+ac+c2)＜0.∵a＞0,b＞0,c＞0,∴2a2+ac+c2＞0,∴a-c＜0,即a＜c,则a＜c＜b；当b-c=0,即b=c时,∵bc＞a2,∴b2＞a2,即b≠a.又∵a2-2ab+c2=(a-b)2=0a=b与a≠b矛盾,∴b-c≠0.综上可知:a＜c＜b.§7.2一元二次不等式及其解法基础自测1.下列结论正确的是 （）A.不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}B.不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-＜x＜1+}D.设x1,x2为ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2,则不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}答案C2.（·湖南理,2）不等式≤0的解集是 （）A.（-∞,-1） B.C.（-∞,-1） D.答案D3.（·天津理,8）已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)·f(x+1)≤1的解集是 ()A. B.C. D.答案C4.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)＜1对任意实数x成立,则 ()A.-1＜a＜1 B.0＜a＜2C.-＜a＜ D.-＜a＜答案C5.(·江苏，4)A={x|(x-1)2＜3x-7}，则A∩Z的元素的个数为. 答案0例1解不等式≥(x2-9)-3x.解原不等式可化为-x2+≥x2--3x,即2x2-3x-7≤0.解方程2x2-3x-7=0,得x=.所以原不等式的解集为.例2已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为(,),且0＜＜,求不等式cx2+bx+a＜0的解集.解方法一由已知不等式的解集为(,)可得a＜0,∵，为方程ax2+bx+c=0的两根，②①∴由根与系数的关系可得②①∵a＜0,∴由②得c＜0,则cx2+bx+a＜0可化为x2++＞0,①÷②得==-＜0,由②得==·＞0,∴、为方程x2+x+=0的两根.∵0＜＜,∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为.方法二由已知不等式解集为(,),得a＜0,且，是ax2+bx+c=0的两根，∴+=-,=,∴cx2+bx+a＜0x2+x+1＞0()x2-(+)x+1＞0(x-1)(x-1)＞0＞0.∵0＜＜,∴＞,∴x＜或x＞,∴cx2+bx+a＜0的解集为.例3已知不等式＞0(a∈R).(1)解这个关于x的不等式;(2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围.解(1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)＞0.①当a=0时,由-(x+1)＞0,得x＜-1;②当a＞0时,不等式化为(x+1)＞0,解得x＜-1或x＞;③当a＜0时,不等式化为(x+1)＜0;若＜-1,即-1＜a＜0,则＜x＜-1;若=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;若＞-1,即a＜-1,则-1＜x＜.综上所述,a＜-1时,解集为;a=-1时,原不等式无解;-1＜a＜0时,解集为;a=0时,解集为{x|x＜-1};a＞0时,解集为.(2)∵x=-a时不等式成立,∴＞0,即-a+1＜0,∴a＞1,即a的取值范围为a＞1.例4（12分）已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈［-1，+∞）时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.解方法一f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,1分①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知,f(x)在［-1，+∞）上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3,3分要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得a≥-3,又a＜-1,∴-3≤a＜-1;5分②当a∈［-1，+∞）时，f(x)min=f(a)=2-a2,7分由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,∴-1≤a≤1.10分综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.12分方法二由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞）上恒成立，4分即Δ=4a2-4(2-a)≤0或,8分解得-3≤a≤1.12分1.解下列不等式：（1）-x2+2x-＞0;(2)9x2-6x+1≥0.解（1）-x2+2x-＞0x2-2x+＜03x2-6x+2＜0Δ=12＞0,且方程3x2-6x+2=0的两根为x1=1-,x2=1+,∴原不等式解集为.(2)9x2-6x+1≥0(3x-1)2≥0.∴x∈R,∴不等式解集为R.2.已知关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集为，求关于x的不等式(a-3b)x+(b-2a)＞解∵(a+b)x+(2a-3b)＜0的解集是,∴于是a=2b＞0,b＞0,不等式(a-3b)x+(b-2a)＞0,即为-bx-3b＞0,亦即-bx＞3b,∴x＜-3.故所求不等式的解集为{x|x＜-3}.3.解关于x的不等式＜0（a∈R）.解＜0(x-a)(x-a2)＜0,①当a=0或a=1时，原不等式的解集为；②当a＜0或a＞1时，a＜a2，此时a＜x＜a2;③当0＜a＜1时，a＞a2，此时a2＜x＜a.综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a};当a=0或a=1时，原不等式的解集为.4.函数f(x)=x2+ax+3.(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的范围;(2)当x∈［-2,2］时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.解(1)∵x∈R时,有x2+ax+3-a≥0恒成立,须Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2.(2)当x∈［-2,2］时,设g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):①如图(1),当g(x)的图象恒在x轴上方时,满足条件时,有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.②如图(2),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈［-2,+∞)时,g(x)≥0,即即解之得a∈.③如图(3),g(x)的图象与x轴有交点,但在x∈(-∞,2］时,g(x)≥0,即即-7≤a≤-6综合①②③得a∈［-7，2］.一、选择题1.函数y=的定义域是 （）A.［-,-1）∪（1，］ B.［-,-1］∪（1，）C.［-2,-1）∪（1，2］ D.（-2,-1）∪（1，2）答案A2.不等式＞0的解集是 （）A.（-2,1） B.（2，+∞）C.(-2,1)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案C3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是 ()A.m＞1 B.m＜-1C.m＜- D.m＞1或m＜-答案C4.若关于x的不等式：x2-ax-6a＜0有解且解的区间长不超过5个单位，则a的取值范围是A.-25≤a≤1 B.a≤-25或a≥1C.-25≤a＜0或1≤a＜24 D.-25≤a＜-24或0＜a≤1答案D5.(·合肥模拟)已知函数f(x）的定义域为（-∞，+∞），为f(x)的导函数，函数y=的图象如右图所示，且f(-2)=1,f(3)=1,则不等式f(x2-6)＞1的解集为 （）A.(2,3)∪(-3,-2) B.(-,)C.(2,3) D.(-∞,-)∪(,+∞)答案A6.不等式组的解集为 （）A.{x|-1＜x＜1} B.{x|0＜x＜3}C.{x|0＜x＜1} D.{x|-1＜x＜3}答案C二、填空题7.若不等式2x＞x2+a对于任意的x∈［-2，3］恒成立，则实数a的取值范围为.答案(-∞,-8)8.已知{x|ax2-ax+1＜0}=,则实数a的取值范围为.答案0≤a≤4三、解答题9.解关于x的不等式56x2+ax-a2＜0.解原不等式可化为(7x+a)(8x-a)＜0,即＜0.①当-＜,即a＞0时,-＜x＜;②当-=,即a=0时,原不等式解集为;③当-＞,即a＜0时,＜x＜-.综上知:当a＞0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为;当a＜0时,原不等式的解集为.10.已知x2+px+q＜0的解集为，求不等式qx2+px+1＞0的解集.解∵x2+px+q＜0的解集为,∴-,是方程x2+px+q=0的两实数根，由根与系数的关系得,∴,∴不等式qx2+px+1＞0可化为-,即x2-x-6＜0,∴-2＜x＜3,∴不等式qx2+px+1＞0的解集为{x|-2＜x＜3}.11.若不等式2x-1＞m(x2-1)对满足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范围.解方法一原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)＜0.令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).则解得＜x＜.方法二求已知不等式视为关于m的不等式，（1）若x2-1=0，即x=±1时，不等式变为2x-1＞0,即x＞,∴x=1,此时原不等式恒成立.（2）当x2-1＞0时，使＞m对一切|m|≤2恒成立的充要条件是＞2,∴1＜x＜.(3)当x2-1＜0时，使＜m对一切|m|≤2恒成立的充要条件是＜-2.∴＜x＜1.由（1）（2）（3）知原不等式的解集为.12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b-a3,当x∈(-2,6)时，其值为正，而当x∈(-∞,-2)∪(6,+∞）时，其值为负.（1）求实数a,b的值及函数f(x)的表达式；（2）设F(x)=-f(x)+4(k+1)x+2(6k-1),问k取何值时，函数F(x)的值恒为负值？解(1)由题意可知-2和6是方程f(x)=0的两根，∴,∴,∴f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=-(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2.当k=0时，F(x)=4x-2不恒为负值；当k≠0时，若F(x)的值恒为负值，则有,解得k＜-2.§7.3基本不等式基础自测1.已知a＞0,b＞0，+=1，则a+2b的最小值为 ()A.7+2 B.2 C.7+2 D.14答案A2.设a＞0,b＞0,下列不等式中不成立的是 ()A.≥2 B.a2+b2≥2ab C.≥a+b D.≥2+ 答案D3.已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是 ()A.0 B.1 C.2 D.4答案D4.x+3y-2=0，则3x+27y+1的最小值为 （） A.7 B.3 C.1+2 D.5答案A5.（·江苏，11）x,y,z∈R+，x-2y+3z=0,的最小值是.答案3例1已知x＞0,y＞0,z＞0.求证：≥8.证明∵x＞0,y＞0,z＞0,∴+≥＞0,+≥＞0.+≥＞0,∴≥=8.（当且仅当x=y=z时等号成立）例2（1）已知x＞0,y＞0，且+=1,求x+y的最小值；（2）已知x＜,求函数y=4x-2+的最大值；（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值.解（1）∵x＞0,y＞0,+=1,∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16.当且仅当=时，上式等号成立，又+=1,∴x=4,y=12时，(x+y)min=16.（2）∵x＜,∴5-4x＞0,∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1,∴x+y=(x+y)=10++=10+2≥10+2×2×=18,当且仅当=,即x=2y时取等号，又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,∴当x=12,y=6时，x+y取最小值18.例3（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米.1分则总造价f(x)=400×+248×2x+80×162=1296x++12960=1296+129603分≥1296×2+12960=38880（元），当且仅当x=(x＞0),即x=10时取等号.5分∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元.6分（2）由限制条件知,∴10≤x≤16.8分设g(x)=x+.g(x)在上是增函数，∴当x=10时(此时=16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值. 10分1296×+12960=38882(元).∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元.12分1.已知,a,b,c均为正数，且a+b+c=1.求证：++≥9.证明++=++=3+++≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c=时取等号.2.若-4＜x＜1,求的最大值.解=·==-∵-4＜x＜1,∴-(x-1)＞0,＞0.从而≥2-≤-1当且仅当-(x-1)=，即x=2（舍）或x=0时取等号.即=-1.3.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v(千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解（1）建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y=(a+bv2)=sb,v∈（0,c］.（2）依题意，有s,b,a,v都是正数.因此y=sb≥2s;①若≤c,则当且仅当v=v=时,y取到最小值.②若≥c,则y在（0，c］上单调递减，所以当v=c时，y取到最小值.综上所述，为了使全程运输成本最小，当≤c时，行驶速度应该为v=；当≥c时，行驶速度应该为v=c.一、选择题1.若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1］恒成立，则a的取值范围为 （）A. B. C. D.答案C2.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是 （）A.y=x+ B.y= C.y= D.y=x2-2x+3答案D3.已知0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为 ()A. B. C. D.答案B4.（·聊城模拟）若直线2ax+by-2=0（a,b∈R+）平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则+的最小值是 （）A.1 B.5 C.4 D.3+2答案D5.（·汕头模拟）函数y=log2x+logx(2x)的值域是 （）A. B. C. D.答案D6.有一个面积为1m2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理（够用且最省）的是（）A.4.7m B.4.8答案C二、填空题7.（·徐州调研）若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a＞1),则(a+1)(b+2)的最小值为答案278.若a,b是正常数，a≠b,x,y∈(0,+∞)，则+≥,当且仅当=时上式取等号.利用以上结论，可以得到函数f(x)=+的最小值为，取最小值时x的值为.答案25三、解答题9.（1）已知0＜x＜，求x(4-3x)的最大值；（2）点(x,y)在直线x+2y=3上移动，求2x+4y的最小值.解（1）已知0＜x＜,∴0＜3x＜4.∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤=当且仅当3x=4-3x,即x=时“=”成立.∴当x=时，x(4-3x）的最大值为.（2）已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，所以x+2y=3.∴2x+4y≥2=2=2=4.当且仅当，即x=,y=时“=”成立.∴当x=,y=时，2x+4y的最小值为4.10.已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,求证：(1)a2+b2≥;(2)+≥8;(3)+≥;(4)≥.证明由a、b∈（0，+∞），得≤ab≤≥4.（当且仅当a=b=时取等号）(1)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=，∴a2+b2≥.(2)∵+≥≥8,∴+≥8.(3)由(1)、(2)的结论，知+=a2+b2+4++≥+4+8=,∴+≥.(4)=++ab+=+++2≥2++2=.11.设a＞0,b＞0,a+b=1.（1）证明：ab+≥4;（3）探索猜想，并将结果填在以下括号内：a2b2+≥（

）；a3b3+≥（

）；（3）由（1）（2）归纳出更一般的结论，并加以证明.（1）证明方法一ab+≥44a2b2-17ab+4≥0(4ab-1)(ab-4)≥0.∵ab=()2≤=,∴4ab≤1，而又知ab≤＜4,因此(4ab-1)(ab-4)≥0成立，故ab+≥4.方法二ab+=ab++，∵ab≤=，∴≥4，∴≥.当且仅当a=b=时取等号.又ab+≥2=，当且仅当ab=，即=4,a=b=时取等号.故ab+≥+=4（当且仅当a=b=时，等号成立）.（2）解猜想：当a=b=时，不等式a2b2+≥()与a3b3+≥()取等号，故在括号内分别填16与64.（3）解由此得到更一般性的结论：anbn+≥4n+.证明如下：∵ab≤=,∴≥4.∴anbn+=anbn++≥2+×4n=+=4n+，当且仅当ab=,即a=b=时取等号.12.某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量x(单位：件，x∈N+，1≤x≤96)的关系如下：又知每生产一件正品盈利a(a为正常数)元，每生产一件次品就损失元.（注：次品率p=×100%，正品率=1-p)（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？解（1）依题意可知：p=(1≤x≤96,x∈N+),日产量x件中次品有xp件，正品有x-px件，日盈利额T=a(x-px)-px=a.(2)∵T=a=a=a=a≤a(104-2)=64a，所以当100-x=20，即x=80时，T最大.因此日产量为80件时，日盈利额T取最大值.§7.4二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题基础自测1.已知点A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），则表示△ABC的边界及其内部的约束条件是.答案2.（·天津理，2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为 （ ）A.2 B.3 C.4 答案D3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是 （）A.m＜-5或m＞10 B.m=-5或m=10C.-5＜m＜10 D.-5≤m≤104.（·北京理，5）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是 ()A.0 B.1 C. D答案B5.（·福建理，8）若实数x、y满足，则的取值范围是 ()A.(0,1) B. C.(1,+∞) D.答案C例1画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题:(1)指出x,y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?解(1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.所以,不等式组表示的平面区域如图所示.结合图中可行域得x∈,y∈［-3,8］.(2)由图形及不等式组知当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;当x=0时，0≤y≤5，有6个整点；当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;∴平面区域内的整点共有2+4+6+8+10+12=42(个).例2（·湖南理，3）已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是 （）A.2 B.5 C.6 D.8答案6例3（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，1分则线性约束条件为，4分目标函数为z=7x+12y,6分作出可行域如图，8分作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A(20，24)时，利润最大.10分即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=7×20+12×24=428（万元）.答每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.12分1.（·浙江理，17）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于.答案12.（·全国Ⅰ理，13）若x，y满足约束条件则z=2x-y的最大值为.答案93.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解依题意设每星期生产x把椅子，y张书桌，那么利润p=15x+20y.其中x,y满足限制条件.即点（x,y）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x+8y=8000(即AB)，2x+y=1300(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC）.对于某一个确定的p=p0满足p0=15x+20y,且点（x,y)属于阴影部分的解x,y就是一个能获得p0元利润的生产方案.对于不同的p,p=15x+20y表示一组斜率为-的平行线，且p越大，相应的直线位置越高；p越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p的最大值，需把直线p=15x＋20y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，当直线通过B点时，处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值.由,得B（200，900），当x=200,y=900时，p取最大值，即pmax=15×200+20×900=21000,即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21000元.一、选择题1.（·全国Ⅱ理，5）设变量x,y满足约束条件:则z=x-3y的最小值为 （）A.-2 B.-4 C.-6 D.-8答案D2.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 （）A.a≥ B.0＜a≤1 C.1≤a≤ D.0＜a≤1或a≥答案D3.已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m等于 （）A.-2 B.-1 C.1 D.4答案C4.（·山东理，12）设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M,使函数y=ax（a＞0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 （）A.［1,3］ B.［2,］ C.［2,9］ D.［,9］答案C5.（·武汉模拟）如果实数x，y满足,目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为 （）A.2 B.-2 C. D答案A6.（·江苏，10）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 （）A.2 B.1 C. D.答案 B二、填空题7.（·安徽理，15）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为.答案8.设集合A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠.(1)b的取值范围是；（2）若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为9,则b的值是.答案（1）［2,+∞)（2）三、解答题9.已知实数x、y满足，试求z=的最大值和最小值.解由于z==，所以z的几何意义是点（x,y）与点M（-1，-1）连线的斜率，因此的最值就是点（x，y）与点M（-1，-1）连线的斜率的最值，结合图可知：直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmax=kMB=3，此时x=0，y=2；zmin=kMC=，此时x=1，y=0.10.已知变量x,y满足的约束条件为.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点（3，0）处取得最大值，求a的取值范围.解依据约束条件，画出可行域.∵直线x+2y-3=0的斜率k1=-,目标函数z=ax+y(a＞0)对应直线的斜率k2=-a,若符合题意，则须k1＞k2,即-＞-a,得a＞.11.两种大小不同的钢板可按下表截成A,B,C三种规格成品:规规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123某建筑工地需A，B，C三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.解设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数为z张，z=x+y约束条件为：作出可行域如图所示：令z=0，作出基准直线l:y=-x,平行移动直线l发现在可行域内，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A可使z取最小，由于都不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，可行域内点A不是最优解；通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C（4，8），它们都是最优解.答要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张；两种方法都最少要截两种钢板共12张.12.在R上可导的函数f(x)=x3+ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及的取值范围.解函数f(x)的导数为=x2+ax+2b,当x∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数=x2+ax+2b的图象与方程，x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为△ABD(不包括边界),如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),△ABD的面积为S△ABD=|BD|×h=(h为点A到a轴的距离).点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为,显然∈(kCA,kCB),即∈.单元检测七一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合M={x|x2＜4},N={x|x2-2x-3＜0},则集合M∩N等于 （）A.{x|x＜-2} B.{x|x＞3}C.{x|-1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}答案C2.已知a＞0,b＞0,a,b的等差中项是，且m=a+,n=b+，则m+n的最小值是 （）A.3 B.4 C.5 D.6答案C3.已知x＞，则函数y=4x+的最小值为 （）A.-3 B.2 C.5 D.7答案D4.若x,y是正数，则+的最小值是 （）A.3 B. C.4 D.答案C5.在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M=区域N={（x，y）|t≤x≤t+1，0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为 （）A.-t2+t+ B.-2t2+2tC.1-t2 D.答案A6.（·青岛调研）今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的重量，他将物体放在左右托盘各称一次，取两次称量结果分别为a、b.设物体的真实重量为G，则 （）A. B.≤GC.＞G D.＜G答案C7.设函数f(x)=，若f(x0)＞1,则x0的取值范围是 ()A.(0,2)(3,+∞) B.(3,+∞)C.(0,1)(2,+∞) D.(0,2)答案A8.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 ()A.a＜5 B.a≥7 C.5≤a＜7 D.a＜5或a≥7答案C9.（·江西理，9）若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是 （）A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.答案A10.一批救灾物资随26辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达400km外的灾区，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于()2km,则这批物资全部运送到灾区最少需 （）A.5h B.10h C.15h D.20h答案B11.函数f(x)=，则不等式xf(x)-x≤2的解集为 （）A.［-2，2］ B.［-1，2］ C.［1，2］ D.［-2，-1］∪［1，2］答案B12.（·江西文,12）已知函数f(x)=2x2+(4-m)x+4-m,g(x)=mx，若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 ()A.［-4，4］ B.(-4，4) C.(-∞,4) D.(-∞,-4)答案C二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.若方程x2-2ax+4=0在区间（1，2］上有且仅有一个根，则实数a的取值范围是.答案14.（·江西三校联考）若不等式x2-2ax+a＞0对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t+1＜的解集为.答案(-2,2)15.已知，则(x+1)2+(y+1)2的最小值和最大值分别是.答案13,4116.（·中山调研）对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m-3恒成立，则x的取值范围是.答案x＜-1或x＞3三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（·石家庄模拟）（12分）已知a=(1,x),b=(x2+x,-x),m为常数且m≤-2,求使不等式a·b+2＞m成立的x的范围.解∵a=（1，x），b=（x2+x，-x），∴a·b=x2+x-x2=x