2024年浙江宁波十校高三二模数学试题答案详解

宁波“十校”2024届高三3月联考

数学试题卷

考生须知：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写

在试题卷和答题纸规定的地方；

3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范

答题，在本试卷纸上答题一律无效；

4.考试结束后，只需上交答题卷.

第I卷

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项符合题目要求)

1.集合M={川一2WxW3},=,则()

A.(0,e]B.[-2,e]C.(—叫3]D.[-2,3]

z—1

2.若复数z满足(l+i”=5i-z,贝IJ―=()

z-1?

A.3B.2C.V2D.1

3.已知平面向量£1满足Z=(l,2),历一2同=4且@-2£)_LZ,则⑸=()

A.s/~5B.5C.^6D.6

4.某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和

3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能

3个连续播放，则不同的播放方式有()

A.144种B.72种C.36种D.24种

5.学校某生物老师指导学生培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一

个圆台，圆台的上、下底面半径之比为5:3,母线长为8cm,其母线与底面所成的角为

60°,则这个圆台的体积为()

39203口7848门1568G「3136G

AA.---------兀cmB.---------兀cm3C.---------兀cm3D.-------兀cm3

3333

6.过直线〉=3》上的点？作圆。：0+2)2+8-4)2=4的两条切线4，/2，当直线乙工关于

直线y=3x对称时，点尸的坐标为()

试卷第1页，共4页

7.已知S,是公比不为1的等比数列｛g｝的前〃项和，贝IJ“邑,、，号成等差数歹!!”是“存在

不相等的正整数私”，使得％,,%",%成等差数歹『'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.若函数/'（x）=/+6'在（0,+旬上单调递增，贝匹和6的可能取值为（）

A.a=lnl.2,b=5B.〃=lnl5,Z>=0.2

C.a-e02,Z?=0.8D.a=e18,Z>=0.2

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个

选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分

分，有选错的得0分.）

9.已知一组样本数据尤，（z=l,2,3,---,10）,其中x,«=1,2,3,…,10）为正实数.满足

网4超Wx3V…W4,下列说法正确的是（）

A.样本数据的第80百分位数为Xg

B.去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变

C.若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均

数大于中位数

110

D.若样本数据的方差s2=而-4,则这组样本数据的平均数等于2

1。i=l

10.将函数/（尤）=$亩（败-*<。<6）的图象向右平移展个单位长度后得到函数g（无）

的图象，若。工）是g（x）的一个单调递增区间，则（）

CD

TT

A.”x）的最小正周期为

2

B./（x）在（全IT三27r）上单调递增

C.函数/（x）=/（无）+g（x）的最大值为1

D.方程〃x）=-g在［0,可上有5个实数根

11.已知直四棱柱/BCD-4月G。,/4=6,底面48co是边长为1的菱形，且

N54D=120。，点后,尸,G分别为4件。2,2。的中点，点H是棱4A上的动点.以同为

球心作半径为R的球，下列说法正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.直线NX与直线8E所成角的正切值的最小值为

B.用过瓦£G三点的平面截直四棱柱，得到的截面面积为迎

8

C.当R=1时，球4与直四棱柱的四个侧面均有交线

D,在直四棱柱内，球4外放置一个小球，当小球体积最大时，球4直径的最大值为

回一直

2

第II卷

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分

12.若sin„=：,则02。+引=.

13.已知正实数。,6,c满足6+c=l,则&加+>+_1£的最小值为_________.

bea+\

221

14.已知双曲线E:三-二=1伍>0,6>0),斜率为一人的直线与E的左右两支分别交于

a2b29

42两点，点尸的坐标为(-M),直线AP交E于另一点C,直线8P交E于另一点。.

若直线CD的斜率为-g,则E的离心率为.

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明

过程或演算步骤.)

15.AABC的内角48,C的对边分别为a,6,c,J=Lsin(^-5)cosC=cosSsin(^-C).

⑴判断。的形状；

1211

⑵若“8C为锐角三角形，sinA=-求=+转+丁的最大值.

bta2b2c

16.已知四棱锥尸-4BCD的底面/BCD是直角梯形，AD//BC,AB1BC,AB=43,

BC=2AD=2,E为CD的中点，PBLAE.

(1)证明：平面平面/BCD；

(2)若尸3=尸。，尸C与平面NBCD所成的角为;，过点3作平面尸CD的垂线，垂足为N,

求点N到平面ABCD的距离.

试卷第3页，共4页

17.已知函数<(x)=[-qW+lnx；"eN+，左>0.

⑴讨论工(x)的单调区间；

⑵若力卜)有三个极值点，求正数上的取值范围.

18.为了验证某款电池的安全性，小明在实验室中进行试验，假设小明每次试验成功的

概率为。(0<p<l),且每次试验相互独立.

(1)若进行5次试验，且P=g，求试验成功次数X的分布列以及期望；

(2)若恰好成功2次后停止试验，p=g,记事件A：停止试验时试验次数不超过"("22)

次，事件B：停止试验时试验次数为偶数，求尸(4S).(结果用含有〃的式子表示)

22

19.已知抛物线C1：/=4X-4与双曲线C2:三-一J=1(。>0)相交于两点4?,F是

a4—a

c2的右焦点，直线N尸分别交GCz于C，。两点(不同于48点)，直线8c,8。分别交X

轴于尸,0两点.

(1)求“的取值范围；

(2)记A/0尸的面积为岳，VCQ尸的面积为邑，当耳=3邑时，求。的值.

试卷第4页，共4页

1.D

【分析】

根据函数的定义域及解对数不等式化简集合N,由并集运算即可求解.

［详解］TN=W1}={X|0（尤<e},M={x|-2<x<31,

：.M<JN=［x\-1<x<?>\,

故选：D.

2.C

【分析】先求出复数z的代数形式，再根据复数的除法运算及复数的模的计算公式即可得解.

【详解】由（l+i）z=5i-z,得（2+i）z=5i,

5i5i(2-i)

所以z=------=---------------=1+2i,

2+i(2+i)(2-i)

〜,z-12i2i(l-i)

所以，=币=(-)=l+i，

所以b&TT=应.

故选：c.

3.D

【分析】由垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算即得.

【详解】由a=(1,2),得由巧-2a)J_a,得@-2a>a=0,则75=27=10,

由出-2。|=4，得@-2a）2=16,即片+4a2Td=16,则片+4x5-4x10=16，

所以⑻=6.

故选：D

4.B

【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其

排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可.

【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有A；种方法，

然后将3个不同的商业广告排成一列有A；种方法，

3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可,

答案第1页，共20页

所以总共有：A：A；A；=72种方式.

故选:B

5.B

【分析】

可设圆台的上、下底面半径分别为5x,3x,根据题意求出圆台的高和x的值，即可求出圆

台的体积.

【详解】

根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为5x,3x,

因为母线长为8,且母线与底面所成的角为60。，

所以圆台的高为8sin6(T=46，并且2x=8x；=4,得x=2

所以圆台的上底面半径为5x=10,下底面半径为3尤=6,高为4VL

由此可得圆台的体积为广=$(102+62+10乂6“48=RRcn?).

故选：B.

【分析】

根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.

【详解】圆C:(尤+21+"-4)2=4的圆心为C(-2,4),

直线关于直线V=3x对称时，则直线CP与直线y=3x垂直,

所以直线CP的方程为y-4=-；(x+2),x+3y-10=0,

x+3>-10=0

由解得，所以P(L3).

y=3x

故选：C.

7.A

【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概

答案第2页，共20页

念判断即可.

【详解】因为S“是公比不为1的等比数列｛4｝的前〃项和，所以若邑,3，名成等差数列，则

2s6=82+83,

从而2"1一46)=。(1-/)+。6"),结合4力1化简得2/=夕+1,

1-q1-q\-q

m

若4,amn,an成等差数列，则2atm=am+an,即=q+q",所以2代力=q*"+1，

巾1)=4时，有n=2

故当

m-n=lm=3'

即“邑,英,邑成等差数列”能推出“存在不相等的正整数也〃，使得金，金”吗,成等差数列”;

反之，满足2q"Sf=/-"+1不一定是2/=q+l,如〃=1,m=3,?=-1,

满足2«"小）=qWf+1,但不满足2/=q+l,

即“存在不相等的正整数和，力，使得册,%”%成等差数歹广推不出“邑,邑成等差数列”;

所以“邑,5,S3成等差数歹广是“存在不相等的正整数也力，使得册，册"当成等差数列”的充分

不必要条件.

故选：A

8.D

【分析】

二次求导得到/'(刈=。、1加+//1的在(0,+功上单调递增，要想“X)=优+卜在(0,+功上单调递

增，只需ab21,再逐项检验.

【详解】

f(x)=ax+bx,°>0且"1,6>0且6工1,

f'(x)=a'lna+b'kib,令g(x)=f'(x),

则g'(x)=ax(lna)2+b'(lnb)2>0恒成立，

故f'(x)=a'lna+bxlnb在(0,+oo)上单调递增，

要想/(》)=优+//在(0,+8)上单调递增，

只需=Ina+Inb>0,即只需21,

答案第3页，共20页

对A,令〃(x)=x—l—ku,%>1,

则"。)=1-工=金>0在(1,+8)上恒成立,

XX

故Mx)=x-1-Inx在(1,+8)上单调递增，

故〃(1.2)>〃(1)=0,即0.2>lnl.2,则ab=51nl.2<5x0.2=l,A错误;

7八cirlnl5In16lnl6,,.「人奸、口

对B,ab=0.2In15=-----<------<------=ln2〈l,B错厌;

554

对C,令<x)=(17)e"x疮(0,1),

则q\x)=-ev+(1-x)ex=-xex<0恒成立,

故g(x)=(1-x)e'在(0,1)上单调递减,

故式0.2)<g(0)=l,即仍=0.8e°2<l,C错误;

1-Inx

对D,令0(x)=

x2

当尤e(e,+8)«(x)<0,0(x)单调递减,

/八口口In2In4ln5

故。(4)>9(5),即方=丁>?，

1.8c”In21.8In5,„

因为丁=0.36—>—,eLS>50.2e18>1

5255

即ab=0.2e18,D正确.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数单调性求参数，关键是利用二次导数判断出仍21.

9.BCD

【分析】由百分位数的定义即可判断A；由极差的定义即可判断B,由频率分布直方图中中

位数、平均数的求法画出图形即可判断；由方程计算公式即可判断D.

【详解】对于A,由10x80%=8,所以样本数据的第80百分位数为耳风，故A错误；

2

对于B,由题意存在这样一种可能，若玉=迎4退4…A/,

则极差为%-网=匕。-3，此时样本数据的极差不变，故B正确；

对于C,数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如下图,

答案第4页，共20页

由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处,平均数靠近中点处,

此时平均数大于中位数，故c正确;

i10i102

对于D,由/=x?4=x-X

wl；-w|；z

10_\210_10-2

2I。-2

贝1|2无；-40==»”10x,所以£=4,

J七xt一-Xxj=>,x；—2x>x；+10x

Z=1Z=1Z=1Z=1Z=1

因为不(•=1,2,3,…,10)为正实数，所以嚏〉0,即提=2,故D正确.

故选：BCD.

10.ABD

【分析】

根据函数平移规则得出g(x)解析式，根据单调区间代入特殊点即可求出@，求出“X)和g(x)

解析式，再利用三角函数性质逐项判断即可得解.

【详解】函数〃x)=sin(@x-巴)(0<。<6)的图象向右平移二个单位长度后得到

612

g(x)=sin［或X_勺_勺=sin(fflx-鲁》，

126126

显然g(x)的最小正周期为7=打，则(0,工)长度是g(无)的半个最小正周期，

CDCD

7T

又(0,-)是g(x)的一个单调递增区间，则g(0)=-1,

CD

TTTT

即有-------=2际——,kEZ,解得。=一24左+4,keZ,

1262

而0<0<6,解得。=4,于是/(x)=sin(4x-5),

6

27r7T

对于A,函数/(x)的最小正周期丁=二=大，A正确；

42

对于B,由x呜,g),得以-会(牛苧，函数y=sinx在(手苧上单调递增，

TT27r

因此函数/(X)在弓,行)上单调递增，B正确；

兀

对于C,g(x)=sin(4x-cos4x,贝!J

答案第5页，共20页

-cos4xAin4x-^os4^

F(x)=sin(4x--=4-sin(4x-',

22

因此函数/（x）的最大值为百，C错误;

对于D,当x«0,可时，以一^式一与字］，由/（X）=一!

6662

.兀7兀.兀11兀.兀19兀.7123兀

得4%——二——4x--=——、4x---=---、4x-----=-----、4x-----=------

6666666666

因此方程=-；在［0,兀］上有5个实数根，D正确.

故选：ABD

11.ABC

【分析】A选项，作出辅助线，建立空间直角坐标系，设出H（0,九道），0<m<l,表达

7

出直线4H与直线BE所成角的余弦值，求出最大值为85。=和，从而得到正切值的最小

值；B选项，作出截面，进而求出截面面积；C选项，找到与四个侧面的交线即可；D选项,

球4外放置一个小球。，当小球。与四个侧面均相切时，小球。体积最大，得到小球。的

、

半径为」/G=正，结合（，君）得到球直径的最大直

，得到。40,04

平4,］4乎4

247

【详解】A选项，连接/G,因为底面48CD是边长为1的菱形，且/840=120。，所以“BC

为等边三角形,

因为G分别为的中点，所以ZGL8C,故/GLAD,

以A为坐标原点，NG,/。,/4所在直线分别为x/,z轴，建立空间直角坐标系,

h1、

故4(0,0,0),5―,0,E，-“百，设7/（0,加,6）,0<m<1,则

4

\

由1

~AH=((),m,y[3^,BE=-.?.J

44

7

7T

设直线与直线所成角的大小为0,-,

V31

AHBE4'4'-m+3-m+6

则cos0=742

雨忸0+^+3屈dm2+3

1616

令:用+6=/e61,3(,故

2

答案第6页，共20页

cos6=_]----=

巫，4*—48/+147

1349cos°=

因为,£所以当”时，24取得最大值,

oH---

49

7_______巧

最大值为cos。=/=,此时sin0=Jl-cos?。=——,

2VI32而

因为y=cosx在xe]o,1|上单调递减，y=tanx在xe]o,1|上单调递增,

故直线AH与直线BE所成角的正切值的最小值为—=①，A正确；

cos。7

B选项，取4A，CD,54的中点0,印，连接EQ,旌,GW,MG,FM,QF,

由平行关系可知，过瓦RG三点的平面截直四棱柱，得到的截面为六边形EQFMGP,

其中EW=MF=FQ=WG=^DM2+DF2

1V3rh工口61R「6CC

GM=EQ=-BD=—,由于E--,V3，G—-,0,0

442

22\7\7

故EG=+,[_()]+(C0『=手,同理可得QA/=浮,

▽8口力6177

又EG=—,0,0-——,V3，21_百、

2144

答案第7页，共20页

、

。0,5，石，故丽=,-,0

44

一*—►fA/3133

故EG，EQ=--,-,-V3-一--,-,0=--+—=0,所以EQ_L£G,

144JI44J1616

则矩形EQMG的面积为£G-GM=叵x@=叵,

224

取EG的中点J,连接叼，因为=所以即LEG,

由勾股定理得WJ=yJWE2-EJ2=.11--=—,

V164

EWG=-WJEG=-x—x—=叵，同理可得s=叵，

回

G224216"2"16

故用过E,£G三点的平面截直四棱柱，得到的截面面积为11x2+叵=次叵，B正确;

1648

c选项，连接4G，则4G=4月=/Q=i,AAX=V3>1,

2

如图，当尺=1时，直四棱柱截球体下半部分的］,

球4与直四棱柱四个侧面都有一段圆弧状交线，c正确；

答案第8页，共20页

D选项，球4外放置一个小球。，当小球。与四个侧面均相切时，小球。体积最大,

此时小球。在底面/BCD上的投影刚好与菱形相切，故小球。的半径为=

24

痂-1⑻

131而

故。7。，因为4（0,0,班），则40=一+一+

161644

7iJ

故球4直径的最大值为24。-亍⑸号-与,D错误.

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位

置.对于球内切于几何体问题时要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于几何体

的外接球问题，注意球心到各个顶点的距离相等.

7

12.—##0.28

25

271

【分析】令。一2=乙代入cos（20+,利用三角公式变形计算即可.

jr4

【详解】令e'=t,则sin:—,

65

「广」（cC2兀）_f兀）2兀

以cosI2夕H——I=cos21Z+—IH——=cos⑵+兀）

__.21c1617

=-cos2，=2sm，-l=2x-----1=—

2525

故答案为：焉.

13.16

答案第9页，共20页

【分析】变形得到"士+二三=。•（丝+；+2）+—,利用两次基本不等式，求出最小值.

bea+1cba+\

【详解】任意的正实数。，b,c,满足6+c=l,

rt,,,Sab2+a188/+118Sb2+（b+c）218

所以------+---=a----------+------=a----------------—+------

bea+1bea+1beQ+1

9b2+2bc+c218,9bc、、18

=a-------------------+------=a•（——+-+2）+-------,

beQ+1cbQ+1

由于b,。为正实数，

故由基本不等式得丝+£22,区£=6,

cbNeb

当且仅当9迫b=：c,即b=1j0二3时，等号成立，

cb44

匚u1、i,9bc..18

所以。•（一+1+2）+--

cba+1

>8tz+------=8（。+1）+----------8

a+1a+1

当且仅当8(a+l)='\,即。=[时，等号成立,

综上，酬»+里的最小值为16.

bea+1

故答案为：16.

14.巫

3

【分析】设4区,乃)乃(12/2)，，线段45的中点M(时,加)，代入双曲线的方程中可得

2

%

F

=1_]2

,两式相减得匕三区=-6,可得加=-当.时①，设C(X3，%),O(XQ4)，线

2

22x—xya

〃12

=1

9772

段CD的中点以心,川),同理得以=-芸•/②，由时,=%＞，得P,W,N三点共线，从

a

而求得4c2=5/,由此可求得双曲线的离心率.

答案第10页，共20页

设4国,%）,5（%乃）,，线段的中点加），

I22

^-4=1

£廿,两式相减得91b1x+x_b1x_1

则{2M

反_反三f。2IyM9

db2~

所以加=多,%①

97）2

设C（X3，%）,O（X4,居），线段⑦的中点N（%,%），同理得%=-咚・%②,

a

因为幻8=无8，所以4B//CD,则尸,M,N三点共线,

9bz,

所以2k==将①②代入得：一f”-1

%+14+1——

4M十］q+1

即（%河一％N＞（1----厂）=3

a

所以/=9廿=9(cU),即9c2=10。%

故答案为：巫

3

【点睛】关键点睛：本题主要考查了双曲线离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于

结合点差法表示出点N的坐标，从而得到。6的关系式，即可求解.

15.（1）“3C为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形

⑵+i

【分析】

（I）利用三角恒等变换公式化简后分别讨论各项为0时的情况即可；

（2）先根据（1）中的结论判断此时“3C为等腰三角形，再利用正弦定理将边化为角，构

造关于角B的三角函数求值域，注意角B在锐角三角形中的范围即可.

【详解】（1）由题意：（sin4cos3-cos/siiiB）cosC=cosB,（siiL4cosc-cosNsinC）,

整理得cosA■（cosSsinC-sinScosC）=cosA-sin（C-5）=0,

故cos/=0或sin（C-B）=0,

答案第11页，共20页

7T

当cos/=0时，A=-,“3C为直角三角形，

当sin(C-3)=0时，B=C,"8C为等腰三角形,

当cos/=0且sin(C-3)=0时，A=^,B=C=^,AABC为等腰直角三角形.

所以为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.

(2)由(1)知，若为锐角三角形，则一定为等腰三角形，，。二。,

由正弦定理-^―=”—得asiaS=6sirU=1,a=---

siib4sinBsinB

.,.-^-+—+—=-4-4--=2sin25+siib4

a2b2cab

2sin25+sirU=1-cos2B+sin2B=1+V2sin125-：

0<B<-_

2

因为为锐角三角形，所以,解得:<3<,,

Q<A=n-2B<-42

2

.•.当28-：=弓时，即8=《时取最大值，最大值为亚+1.

42o

综上，最大值为夜+1

16.(1)证明见解析

⑵11

【分析】(1)根据题意，证得5Z)_L他和,得到/E_L平面PBD,进而证得平面

PBD_L平面/BCD.

(2)取8。的中点O,连接尸O,根据题意求得OP=3和OCL8。，以。为原点，建立空

__._._._.广\BN-PC=Q

间直角坐标系，设尸N=4尸D+〃PC,得到=(-4-1,-3(2+〃-1)),结合1一一

[BN-PD=O

求得彳,〃的值，即可求解.

【详解】(1)证明：由四边形/BCD是直角梯形，S.AB=6,BC=2AD=2,ABLBC,

_________jr

在直角△48。中，BD=-JAB2+AD2=2>可得。C=2,/BCD=§,

从而△BCD是等边三角形，BD=2,BD平分/ADC,

因为E为CD的中点，所以DE=AD=1,所以助，4£,

又因为尸2_1/瓦尸2门2。=2且尸8,5。(=平面尸3。,所以/E_L平面尸3。，

答案第12页，共20页

又因为/Eu平面/BCD,所以平面PAD_L平面48CD.

(2)解：取8。的中点0,连接尸。，因为尸3=尸。，所以尸。_13。于。，

因为平面PAD_L平面/BCD,平面尸5。门平面/BCD=AD,所以尸01平面48cZ),

TV

连接OC,可得NPCO为尸c与平面/HC。所成的角，则NPCO=§,

在直角△28。中，BD=y]AB2+AD2=2>

在等边△BCD中，可得OC=VL

在直角△PCO中，nJMOP=OCtanZPCO=3,

又因为等边△BCD,且。为AD的中点，所以OCLAD.

以。为原点，以。氏OC,。尸所在的直线分别为x，%z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，则S(1,O,O),C(O,6,0),。(-1,0,030,3),

可得丽=(-1,0,-3),PC=(0,V3,-3),

PN=APD+juPC>可得"卜九石〃+〃-I)),

贝！I丽=(-2_l,G/z,—3(2+〃_1)),

项A=3〃+9(4+〃-1)=0

[II<解得彳=三,〃=二，满足题意,

[丽屈=4+1+9(%+4-1)=0

17.(1)答案见解析

【分析】(1)根据题意，求导得工'(x),然后分A=e,左>6与0〈左<e讨论，即可得到结果;

答案第13页，共20页

(2)根据题意，求导可得力，然后将极值点问题转化为方程根问题，再构造函数求导，即

可得到结果.

【详解】⑴工⑴上-左己+lnx],则工")=叫丁)_/？」=?(e〜)

X[XJXyXJCJX

当月＞0时，＜'(无)=0的两根为无I=1/2=lnh

①若万=e,工(x)在(0,+司上单调递增；

②若左＞e,则迎=1很＞1=网，则工卜)在(0,1)上单调递增，在(1,19)上单调递减，在

(1吹+(»)上单调递增；

③若l＜发＜e,则％=ln左＜1=网，则/(x)在(0,In上)上单调递增，在(1旅,1)上单调递减，在

(1,+8)上单调递增；

④0〈上VI时，则％=＜0＜1=再，则/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+℃)上单调递增；

综上，当左=e时，无单调减区间，单调增区间为(0,+“)；

当上〉e时，单调减区间为(1,1#),单调增区间为(0,1)和(1M,+“)；

当1〈人＜e时，单调减区间为(1吹1),单调增区间为(0,蕨)和(1,+8)；

当0〈左VI时，单调减区间为(0,1),单调增区间为(L+8)；

(2)根据题意可知,函数/(x)的定义域为(0,+/),

।i\eJ-%3—e'-3x2.(31]/e'—kx~

则n加(x)=——---------上一

人?\AA-J4

由函数力(X)有三个极值点为应生可知力(力=(X-3)=0在(0,+4上至少有三个

实数根；显然右(3)=0,则需方程2二=0,

也即日2=0有两个不等于3的不相等的实数根；

由"一版2=0可得攵=彳,(0,4-0?),

令g(x)=三,%£(0，+8)，则g〈¥)=e(“2),寸$(0,+a?),

xx

显然当x.0,2)时，gr(x)＜0,即g(x)在(0,2)上单调递减；

答案第14页，共20页

当xe(2,+s)时，g'(x)>0,即g(x)在(2,+8)上单调递增;

2

所以g(x)2g(2)=e1，

2

经检验可知当上A00］时，导函数/'(.=卜-3)2二产=0在西、,马左右符

号不同，即%,乙,当均是/'(x)=0的变号零点，满足题意；

因此实数左的取值范围是丘.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数单调性问题以及利用导数研究函数零

点问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及合理构造函数求解.

18.(1)分布列见解析，期望为g

【分析】

(1)根据题意，由条件可得x~8m结合二项分布的概率计算公式，代入计算，即可

得到分布列；

(2)根据题意，分"为偶数与〃为奇数讨论，结合等比数列的求和公式以及错位相减法代

入计算，即可得到结果.

答案第15页，共20页

【详解】（1）依题意，

则尸(x=o)=3

p(X=2)=C；

p(X=4)=C；

（2）事件“丫=〃”表示前n-1次试验只成功了1次，且第〃次试验成功,

故尸"=〃）=。

当〃为偶数时，

所以P（/8）=P（2）+尸（4）+……+…+*T

令S"“⑶+382

+…+

则S"

当〃为奇数时，同理可得

尸（48）=尸（2）+尸（4）+,

答案第16页，共20页

【点睛】关键点睛：本题主要考查了二项式分布与数列的综合应用，难度较大，解答本题的

关键在于将概率问题转化为数列求和，结合数列求和的知识求解.

19.⑴a1,2）

⑵”无

【分析】

（1）由双曲线方程的特征求出。的大致范围，再联立抛物线与双曲线方程，消去了整理得

2

至1）（4一/-4/x+/=o,分析其两根得至解得。的范围，再将双曲线过点（2,2）

2-a

时。的值去掉，即可求出a的范围；

（2）设直线"'的方程为》=阳+2,/（再,必）、C（x2,y2）,联立直线与抛物线方程，即可

求出必%=-4,根据对称性可知-必），即可求出BC的方程，从而求出马，设。（毛,力）,

联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线3。的方程，从而求出演，再由

s

U=--------=3得到方程，从而求出”.

邑jkel-kl

a2>0

22

【详解】⑴由双曲线方程与-上〒=1,则4-〃>（）,得到0<°<2,即ae（0,2）,

a24-a2

a>0

对于抛物线G：/=4x-4,令y=0解得x=l,所以抛物线G：/=4x-4的顶点为（1,0）,

22

又双曲线G:雪-一J=l（a>0）的右焦点F（2,0）,

a4—a

[22

联立抛物线与双曲线方程何4-a2-，得到（4--44+