2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-圆（学生版）

专题06圆

【知识点梳理】

知识点1：直线与圆的位置关系

设有直线/和圆心为。且半径为厂的圆，怎样判断直线/和圆o的位置关系？

观察图1,不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d>厂时，直线和圆相离，如圆。与

直线《；当圆心到直线的距离d=r时，直线和圆相切，如圆O与直线4；当圆心到直线的距离d<r时，直

线和圆相交，如圆O与直线小

在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、A若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如

图2,连结圆心。和弦AB的中点”的线段垂直于这条弦AB.且在应0M4中，Q4为圆的半径r,OM

为圆心到直线的距离d,%1为弦长AB的一半，根据勾股定理，有=（*）2.

当直线与圆相切时，如图3,上45PB为圆。的切线，可得尸A=PB,OA±PA,且在中,

PO2=PA2+OA2.

B

A

图4

如图4,PT为圆。的切线，B钻为圆。的割线，我们可以证得.R4TPTB,因而.尸瓦

知识点2：点的轨迹

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，

把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到

定点的距离都等于r;同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于

定长r的点的轨迹.

我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图

形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有

的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.

下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.

从上面对圆的讨论，可以得出：

到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.

我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距

离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：

和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：

到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

【题型归纳目录】

题型一：直线与圆的位置关系

题型二：点的轨迹

【典例例题】

题型一：直线与圆的位置关系

例1.（2023•安徽宿州•校考一模）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,以AB为直径作O,在O上取一

点。，使CO=BC，过点C作EFSAD,交AO的延长线于点E,交AB的延长线于点

A

(1)求证：直线所是.。的切线；

⑵若AB=10,AD=6,求AC的长.

例2.(2023•浙江湖州•模拟预测)如图，A3是。的直径，C,。都是。上的点，AD平分/CAB,过点。

作AC的垂线交AC的延长线于点E,交的延长线于点足

(1)求证：E尸是；，。的切线；

⑵若AB=10,AC=6,求tan/TMB的值.

例3.(2023•新疆喀什・统考三模)如图，42是：。的直径,C是:.。上一点，过点C作二O的切线CD,BDYCD

于点。，延长OB交，。于点E,连接CE.

⑴求证：ZABE=2ZA；

(2)若tan/BEC=；,AC=6,求。的半径长.

变式1.（2023•陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测）如图，ABC内接于（。，AC是。的直径，过Q4上

的点尸作PDLAC,交CB的延长线于点。，交于点E,过点B作，。的切线交。P于点尸.

⑴求证：ZA=NFBD；

（2）若二。的半径为百，cos/FBD=竽，BD=4,求。尸的长.

变式2.（2023•河南商丘•统考三模汝口图，Rt^ABC中，NC=90。，点。为A3上一点，以点。为圆心，以。4

为半径的。切3C于点P,连接AP.

(1)求证：ZCAP=ZBAP；

(2)若OA=4,AP=6,求CP的长.

变式3.（2023•广东珠海•珠海市紫荆中学校考三模）如图，在Rt^ABC中，/B4C=90。，点。为8C边的中

点，以AD为直径作二。，分别与A3、AC交于点E、F,过点£作EG,3c于G.

A

(1)求证：EG是:。的切线;

3

(2)若sinB=m，。的半径为5,求EG的长.

变式4.(2023・广西贵港・统考三模)如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上

的三点A,B,C.

(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心。；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在ABC中，连接49交BC于点E,连接03,当A3=AC=10cm,3c=16cm时，求图片的半径R；

⑶若直线/到圆心的距离等于方，则直线/与圆_______(填“相交”“相切”或“相离”)

变式5.(2023•辽宁营口・统考二模)如图，ABC内接于IO,A3是。的直径，弦AD交BC于点E,连接

CD.过点8作的切线MN,交AD延长线于点N.过点。作少G,A3于点G,交CB于点F.

(1)^ZACD=ZCED,求证：AC=2OG；

(2)在⑴的条件下，若tanZDCB=：,DN=处,求。的半径.

25

变式6.(2023・浙江舟山•统考三模)如图1,在。中，直径ABLCD于点尸，点E为X?上一点，点C为弧

AE的中点，连接AE,交CD于点G.

⑴求证：AE=CD；

(2)如图2,过点C作；。的切线交8A的延长线于点0,若AF=2,AE=8,求。。的长度；

PF

(3)在(2)的基础上，点尸为。上任一点，连接尸尸、PQ,花的比值是否发生改变？若不变，求出比值;

若变化，说明变化规律.

题型二：点的轨迹

例4.(2023•河南郑州•河南省实验中学校考三模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展

数学活动.

(1)操作判断

如图1,正方形纸片ABCD,在边BC上任意取一点E,连接AE,过点B作反，AE于点G,与边8交于

点F.

根据以上操作，请直接写出图1中8E与CF的数量关系：.

(2)迁移探究

小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：

如图2,在矩形纸片ABCD中，AB-.AD^m.n,在边BC上任意取一点E,连接AE,过点B作防，AE于

RF

点G,与边8交于点尸，请求出笔的值，并说明理由；

CF

(3)拓展应用

如图3,已知正方形纸片ABCD的边长为2,动点E由点A向终点。做匀速运动，动点歹由点。向终点C做

匀速运动，动点E、尸同时开始运动，且速度相同，连接AT、BE,交于点G,连接G。，则线段GD长度

的最小值为，点G的运动轨迹的长为.(直接写出答案不必说明理由)

例5.(2023•河北邯郸・校考三模)数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：

(1)组长提出问题：动点G(，-1"+1)随着才的变化形成的运动轨迹是什么？

甲同学的思考：f取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线

的表达式；乙同学的思考：令x=Ll,y=t+l,通过消去f得到y与x的函数关系式.

(填甲或乙)同学的方法更严谨，点G(f-lJ+l)运动轨迹的函数表达式为；

(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点48,0),B(0,-2),。为坐标系内一点且80=1.5,点M从点A出发

以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动，同时点N从点。出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动，点P

是的中点，设运动时间为t求点尸的运动轨迹的函数表达式，并计算当f=2时尸。的最小值；

(3)老师给出坐标平面内两个动点：r(m-l,m2+1),K(n+l,n-3).

丙学说：点八K的运动轨迹都是直线；丁同学说：点T、K在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论

是否正确并说明理由.

例6.(2023・河南・河南省实验中学校考三模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学

活动.

(1)操作判断

如图1,正方形纸片A5cD,在边上任意取一点E,连接AE,过点B作3产，AE于点G,与边8交于

点歹.根据以上操作，请直接写出图1中BE与CP的数量关系：.

图1

(2)迁移探究

小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：

如图2,在矩形纸片A3CD中，AB:AD=m:n,在边BC上任意取一点E,连接AE,过点8作防，AE于

点G,与边8交于点尸，请求出生的值，并说明理由.

图2

(3)拓展应用

如图3,已知正方形纸片ABCD的边长为2,动点E由点A向终点。做匀速运动，动点P由点。向终点C做

匀速运动，动点E、歹同时开始运动，且速度相同，连接AF、BE,交于点G,连接G。，则线段GD长度

的最小值为，点G的运动轨迹的长为.(直接写出答案不必说明理由)

图3

变式7.(2023•山东临沂・统考二模)“垃圾入桶，保护环境从我做起”，如图所示的是某款垃圾桶侧面展示图,

AD=DC=40cm,GD=30cm,GF=20cm,ZA=ZGDC=ZDGF=90°,桶盖GFEC可以绕点G逆时针方向

旋转，当旋转角为40。时，桶盖GFEC落在GFEC'的位置.

(1)求在桶盖旋转过程中，点C运动轨迹的长度.

⑵求点尸到地面A5的距离.（参考数据：sin40«0.64,cos40«0.77,tan40«0.84）

变式8.(2023•广东广州•九年级统考期末)如图，抛物线丫=混+云+。的图象与x轴交于点4(-1,0)、8(3,0)

与y轴交于点C,顶点为D以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E,圆心为/,尸是半圆上一动点,

连接。P,点。为PO的中点.

(1)试用含a的代数式表示c；

(2)若/。，尸。恒成立，求出此时该抛物线解析式；

(3)在(2)的条件下，当点尸沿半圆从点2运动至点A时，点0的运动轨迹是什么，试求出它的路径长.

变式9.(2023•全国•九年级专题练习)“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在《农

政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心。为圆心的圆，已

知圆心。始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米(即水面下

方部分圆上一点距离水面的最大距离).

(1)求该圆的半径；

(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦A3从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米?

变式10.(2023・广东广州•九年级广州市第八十九中学校考期末)如图：在平面直角坐标系中，点A、B、C都

在格点上

(1)画出.ABC关于原点对称的并写出A、B、C三点关于原点对称的坐标从、耳、q.

(2)画出,ABC绕原点。顺时针方向旋转90。得到的△人&Q.并求点A运动到人的轨迹的弧长.

变式11.(2023•重庆梁平•九年级校联考期中)已知：40,2),点B为x轴上的一动点，过点8作x轴的垂线

交的垂直平分线于点P.

图1图2

⑴请利用图⑴进行探讨：若点8(2,0),则点P的坐标为；若点B(-2,0),则点P的坐标为

;若点RO，。)时，点尸的坐标为；

⑵设尸(x,y),请列出y关于x函数关系式，并在图2中画出点尸的运动轨迹/.

（3）图2中，点。（0,5）,有动点G,DG=1；按下列要求作图，轨迹/与直线y=2相交于点A,8（4点在左）,

点Q为线段AG的中点，连接CQ,直接写出线段CQ的长度范围.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•江苏无锡・九年级统考期中）已知线段A8的中点为动点尸满足=则点尸的轨迹是（）

A.以48为直径的圆B.A8的延长线C.A8的垂直平分线D.平行A3的直线

2.（2023•甘肃兰州•九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABC。中，BC=2,将边BC绕点C按顺时针方向旋转

一定角度，点8刚好落在边的中点E上，则点8的运动轨迹长为（）

A.yB•等C.兀D.无法确定

3.（2023・陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测）如图，点A、8、C、。在（。上，ZD=120°,AB=AC=6,

则点。到BC的距离是（）

4.（2023.贵州黔东南.统考二模）如图，点A,B,。在＜。上，若/C=110。，则/4OB等于（）

A.100°B.110°C.120°D.140°

5.（2023.新疆乌鲁木齐・校考二模）如图，四边形ABCD内接于（O.连接。8,OD,BD,若NC=110。，则

C.130°D.120°

6.（2023•河北石家庄•统考二模）如图，点。是△AEF的内心，过点。作3C〃EF分别交AE,AF于点B,C,

已知的周长为8,EF=x,ABC的周长为丁，则表示,与％的函数图象大致是（）

7.（2023•河北石家庄•统考二模）如图，AfiC的两条角平分线相交于。点，ZC=56°,AC<BC,P,Q

分别为AC,8C上的点，且NPOQ=124。，甲、乙、丙三人有如下判断：甲：8=OQ；乙：四边形OPCQ

的面积是定值；丙：当OQLBC时，△尸。。的周长和面积均取得最小值.则下列说法正确的是（）

B.甲、乙正确，丙错误C.甲错误，乙、丙正确D.甲、

乙、丙都正确

8.（2023•重庆九龙坡•重庆市育才中学校联考二模）在ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。与AB边

交于点。，点E在8C上，且防=。£,若EC=4,BD=25,则。的半径为（）

A

一

BEC

＞五

ABc.T

-T.手17

9.（2023•广东深圳•深圳市福田区北环中学校考二模）如图，在.ABC中,AB=AC,点。在AC边上，过

的内心/作于点E.若皮＞=10,CD=4,则BE的长为（）

A

A

B匕------、C

A.6B.7C.8D.9

10.（2023•陕西宝鸡・统考一模）如图所示，ABC内接于。，点M为，ABC的内心，若NC=80。，则/M4N

的度数是（）

A.50°B.55°C.（）0°D.80°

二、填空题

11.（2023•浙江温州•校联考二模）如图，直线43与（。相切于点A,过圆上一点C作的垂线，垂足为3,

垂线段CB交0。于另一点。，已知半径为3,AB=6,则弦8的长为

3：

12.（2023•宁夏固原•校考二模）如图，直线A3是。的切线，C为切点，0。〃45交（：0于点。，点E在iO

13.（2023•贵州遵义统考二模）已知内接于OO,它的内心为点，连接AD交弦8C于点E,交《。于

点「已知2E=5,CE=4,EF=3,则线段£>E的长为.

14.（2023•安徽蚌埠统考三模）如图，/DCE是，。内接四边形ABCO的一个外角，若々8=144。，则

NDCE的大小为.

15.（2023・四川泸州・统考一模）如图，在一A6C中，AB=15,AC=12,BC=9,以边AB的中点。为圆心，

作半圆与AC相切，点P,。分别是边BC（包括端点）和半圆上的动点，连接PQ,则P。长的最大值与最小值

的差是.

三、解答题

16.（2023・云南昆明・统考二模）矩形ABCO中，AB=6,3C=8,点。是边8C上的一个动点（不与点8重合）,

连接。4,将沿49折叠，得到△AEO,再以。为圆心，08长为半径作半圆，交射线于G,连

接BE并处长交射线CD于凡连接EC,设O3=x.

ADAD

图1备用图

(1)求证：AE是半圆。的切线；

(2)当点E落在AC上时，求x的值；

(3)当半圆。与ACD的边有两个交点时，求尤的取值范围.

17.(2023•陕西西安・西安市曲江第一中学校考模拟预测)如图，。是ASC的外接圆，AB=AC,过点A作

ADJ.AB,交(O于点。，交8c于点E,过B作。的切线，与ZM的延长线相交于点尸.

(1)求证：AF=AE

⑵若O的半径为2,BE=3,求。E的长.

18.(2023•广西梧州・统考二模)如图，。是ABC的外接圆，A8是。的直径，“ABC与△ABD关于A8对

称，点C的对应点为点交。于点E,连接AE交BO于点立在C点作/ACG=/AED,交

的延长线于点G.

D

(1)求证：AF=BF；

(2)求证：CG是。的切线;

⑶若CG5,求黑的值.

19.(2023・山西大同•校联考模拟预测)如图，已知ABC内接于O,且A3是一。的直径,

C

(1)实践与操作：

请用尺规作图法作出.ABC的内心/；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)

(2)推理与计算：

连接C/并延长，与一。交于另一点D若AC=8,BC=4,求D/的长.

20.(2023•陕西西安•校考模拟预测)(1)问题提出：如图1,N为正方形ABCD内一点，连接AN,DN,点M

在DN延长线上，连接AM,BM,若/BMD=ZMAN=90。,则NA7VD=°；

(2)问题解决：

参观研学观光园是近年来兴起的一种研学旅行模式.如图2所示的五边形AMBCD为某研学观光园的规划设

计图.其中AD〃3C,AD=AB=3C=400m,点尸是两条笔直的观光小路AB与MD的交叉口，经测