2024新高考数学模拟冲刺卷（19题结构）含答案

2024届新高考模拟试卷

（考试时间：120分钟试卷满分150分）

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回寄E选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考雌束后，将本试卷和答题旨-并交回.

一、选择题：本题共S小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（2024•河南焦作二模）设集合X=｛L-a｝：B=｛0,3-«3a-8｝,若AuB,则。=（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024•福建福州二模）若复数二满足二•甘，则n=（）

A.1B.0C.2D一出

3.（2024•黑龙江哈尔滨二模）2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宣莅临我

校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宴席

位共有一排8个空座供3位嘉宣就坐，若要求每位嘉宣的两旁都有空座，目靠宣甲必须坐在3位嘉

宜中间，则不同的坐法有（）

A.8种B.12种C.16种D.24种

4.（2024•吉林模拟预测）已知&月为锐角，目8s（a+£）=四月，则由尸的最大值为（）

sina

A.&B.立C.避D.巫

12462

5.（2024・河南开封•三模）记S.为数列｛《｝的前"项和,刀为数列｛《.｝的前〃项积，若4=1,。1=，，

则满足7；>1项的〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

6.（2024•陕西二模）已知〃x）20,且x>0时，/（2x）=cos2x-/lx）,则下列选项正确的是（）

A.小）>呜）

B.当xxg+E（巾wZ）时,/（x）＜2tanxf（2x）

c・若冏今g（x）=M?为常函数，则/U）=l在区间（0」）内仅有1个根

2

D.若力1）=1,则/（8}＜方

7.（2024•河北衡水•二模）记椭圆。：=+£=1（.＞b＞0）与圆G：f+丁=/的公共点为M,

ab

N,其中"在N的左侧，A是圆G上异于M,N的点，连接4眩交C于3,若

2tanZANM=5tanABNM,则C的离心率为（）

A.-B.-C.叵D.史

5555

8.（2024河南信阳二模）若函数/（x）=eX+Q-2-e在定义域R上存在最小值b,则当。一6取得

最小值时，。=（）

1313

A.—B.—C.——eD.——e

2e2e2e2e

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共1S分.在每小而出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选

对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.

9.（2024•山西•二模）下列说法中正确的是（〉

A.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则每个个体被

抽到的概率是0.2

1Q

B.已知一组数据2,2,汨，5,7的平均数为4,则这组数据的方差是当

C.数据76,69,87,65,62,96,92,81,76,82的第70百分位数是82

D.若样本数据占多,…占，的标准差为5,则数据2%+3,2X2+3,L,2册。+3的标准差为20

10.（2024•广东深圳二模）已知函数/]x）=sin0x+a8S0x（xeR,。＞0）的最大值为2,其部

分图象如图所示，则（）

A.a—^3

B.函数小-,为偶函数

C.满足条件的正实数。，存在且唯一

D.力x）是周期函数，目最小正周期为兀

11.（2024•湖南二模）如图，点尸是棱长为2的正方体44瓦G。的表面上一个动点，尸是

线段.4及的中点，则（）

DiC.

A.若点尸满足APL4C,则动点尸的轨迹长度为4式

B.三棱锥N-PBQ体积的最大值为g

C.当直线4P与4B所成的角为45时，点尸的轨迹长度为兀+40

D.当尸在底面."8上运动，目满足尸F〃平面4CR时，线段所长度最大值为2拉

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.（2024•上海普陀二模）若向量方在向量S上的投影为:鼠目131-5XG,则8S@by=.

13.（2024・浙江•二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特•梵高用夸张的手法，生

动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆。的一段圆弧E,目弧E所对的圆

心角为?.设圆C的圆心。在点。与弧E中点的连线所在直线上.若存在圆。满足：弧E上存在四点

满足过这四点作圆。的切线，这四条切线与圆。也相切，则弧E上的点与圆。上的点的最短距离的

”豢考数据：8S^=退口

取值范围为

14.（2024广东二模）如图，在平面直角坐标系X。，中放置着一个边长为1的等边三角形R4S,

目满足尸3与x轴平行，点X在x轴上.现将三角形尸.仍沿x轴在平面直角坐标系xQy内滚动，

设顶点尸（苍田的轨迹方程是P=/（x）,则/（力的最小正周期为；j，=/（x）在其两个

相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15一（2024湖南二模）（13分）如图所示，半圆柱的轴截面为平面BCC4,BC是圆柱底面的直径,

。为底面圆心，叫为一条母线，E为CG的中点，目.45=47=必=4.

（1球证：OELAB、；

（2冰平面月4E与平面BOE夹角的余弦值.

16.(2024上海松江二模)(15分)某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次

只派一个人，目每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯

关成功即视作比骞胜利，无需继续闯关现有甲'乙、丙三人组队参骞，他们各自闯关成功的概率分

别为R、B、假定R、2、R互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.

(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若以=；,2=△=；,求该小组比骞胜利的概率；

Q港依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X的分布，并求*的期望E(X)；

(3)已知1>P>2>R,若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、

丙谁先派出.

17.(2024•山东聊城二模)(17分)已知椭圆C:二+二=l(a>b>0)的短轴长为2,离心率为理..

a-b-3

(1或C的方程；

(2)直线/：J=h+泄3>。即>0)与C交于MN两点，与丁轴交于点A,与X轴交于点3,目

京7亚石=4豌.

⑴当必=：=2时，求k的值；

(ii)当2+以=3时，求点(O,M)到/的距离的最大值.

18.（2024江苏南通模拟预测）（17分）设函数与x）=（x-a）lnx-x+a,aeR.

（1港a=0,求函数ZU）的单调区间；

（2港-4＜。＜0,试判断函数刀x）在区间（er,，）内的极值点的个数，并说明理由；

C

（3球证：对任意的正数。，都存在实数，，满足：对任意的xe（f,f+a）,1/U）＜a-L

19.（2024•河南开封三模）（17分）点S是直线股外一点，点M,N在直线股上（点M,N与点

P,。任一点不重合）.若点M在线段世上，记（R0；」M）=।舞:鬻；若点M在线段做外，

记（P,Q;M）=-皤1ati无二.记（尸。山）卜翳黑.记△.MC的内角.4,B,C的对边分别

pQ|smNA»Q\P,QZN｝

为a,b,c.已知》=2,d=60。，点。是射线BC上一点，目（瓦仁。）=[

（1港4D=/+1,求4DC：

（2掰线sc上的点M,M,M,…满足（3CMM）=-匕g,〃eN,

⑴当”=0时，求I幽J+用典的最小值;

（ii）当"0时，过点C作CR,也％于月，记见=等，求证：数列｛6｝的前〃项和S“<2+应.

2024届新高考模拟试卷

（考试时间：120分钟试卷满分150分）

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回寄E选择题时，将答案写在答题卡

上.写在本试卷上无效.

3.考雌束后，将本试卷和答题旨-并交回.

一、选择题：本题共S小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（2024•河南焦作二模）设集合X={L-a}：B={0,3-«3a-8},若AuB,则。=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【详解】由集合Z={L_a}=={0,3_23a_8},

因为KuB,所以—a=0或-a=3a-8,解得。=0或a=2,

当。=0时，4={L0},3={0,3「8},不符合题意：

当a=2时，Z={L-2},3={0,L-2},符合题意.

故选：C.

2.（2024•福建福州二模）若复数二满足?=i,则目=（）

A.1B.0C.2D.45

【答案】B

【解析】

t详解】因为？甘，所以亍=F=il^=3=TT,

所以二=—l+i,所以上|="（—if+1?="

故选：B.

3.（2024•黑龙江哈尔滨二模）2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宣莅临我

校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流一交流时嘉宾席

位共有一排8个空座供3位嘉宝就坐，若要求每位嘉宜的两旁都有空座，目袁宜甲必须坐在3位嘉

宜中间，则不同的坐法有（）

A.8种B.12种C.16种D.24种

【答案】A

［详解】共有8个座位，3个人就坐，所以还剩下5个座位；

因为要求每个人左右都有空座，所以在5个座位的4个空隙中插入3个人，共有C：=4种，

又嘉意甲必须坐在3位嘉宾中间，所以共有4x2=8种，

故选：A.

4.（2024•吉林•模拟预测）已知4尸为锐角，且8s（a+£）=生些，贝卜血户的最大值为（）

sina

A.1B.走C.亚D.在

12462

【答案】A

【详解】因为a,户为锐角，且cos（a+£）=Tl，=8sacos£-sinasin£,

sina

两边同时除以8s6得，8sa-sinatan£=~tan6,

sina

/.cosasina=|sin2a+2）tan£,

<^。为锐角>二忸0。>0>

八sinacosasinacosatana1,1&

二tnnp=--------；—=------；--------:—=----------=-------------&—=1=—

22

2+sina3sina+2cos-a3tan-a+23t3n仪十22>/612，

tana

当且仅当3tana=」一,即tana=*•时取等号，

tana3

二tan£最大值为理.

12

故选：A.

5.（2024•河南开封三模）记S”为数列｛《｝的前〃项和,工为数列｛4｝的前"项积，若4=1,4乜=$“，

则满足7；>1000的〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【详解】由可得力LS「S.nS_=2S.，S,=l#0,

故｛国｝为公比为2的等比数列，故S"=2”',

所以4T=邑=2一，故〃22间“=2-,

2F22,

因此q

L〃=l

一‘一一

故％=丹生4…q=1x2°x2'x2i=2~~，

要使2颜，则2〃>1000，

当〃=6时，2'»>1000,〃=5时，2Y1000,且比也且在近5时，随着正整数”的增大而增大,

2

故”的最小值为6,

故选：B

2

6.(2024陕西二模)已知〃x)20,且x>0时，/(2x)=coSx/1x),则下列选项正确的是()

A.f{x}>

B.当x#、+版(比eZ)时，f\X)<2tanx/]2x)

C.若g(x)=£f闻为常函数，则力X)=l在区间(0,1)内仅有1个根

12/兀sin"

2

D.若力1)=1,则<8)<方

t答案】D

【详解】对于A中，由函数力2x)=8s2V(x),可得刀x)=cos2，/^j,

因为048s学1,所以力x)4噌、；，所以A错误；

对于B中，由力2x)=8/犷(X),可得<x)=』^L+E方eZ,

cos*x2

又由/U)=(l+tan：x)/(2x),且1+tan"N2tanx,

所以力x)22tanV(2x),所以B错误；

对于c中，由/(m)

4x2cos2V(x)

则g(2x)=g(x)，

4sin-xcos2x2)~4

贝i」g(/)=g(：)==g(M)=l,可得g(x)=l,则力0=等，

令力(x)=x-sinx(xN0))则力'(x)=1-8sxNO恒成立,可得力(x)2力(0)=0,

所以x2sinx(x“)，所以雪£<1,即力x)=l在区间(0.1)内无实根，所以C错误;

JT

对于D中,/(8)=cos24/%(4)=cos24cos22-cos21/(1)=(cos4cos2-cosl)2<(cos2cosIf)

令8S，l=f,可得/•(8)<“2/-1广；再令3(/)="2/-1)2,旧53：,

则/⑺=(2/-1)2+4*»-1)=(2/-1)(6"1),令0”)=0,可得/或

02

因为:<‘<:>所以函数3(，)=，(2/-1『在([$单调递；咸,

白1<苒2所以力8）《2看成立，所以D正确.

102/2/

故选:D.

7.（2024涧北衡水二模）记椭圆C：1+二=1（。>5>0）与圆。2：/+/=『的公共点为”,

ab

N,其中M在N的左侧，A是圆G上异于N的点，连接-必/交C于3,若

2tan^ANM=5tanABNM,则C的离心率为（）

回

rL.----------

【答案】D

由题意可知点」w,N分别为椭圆的左右顶点，所以“（一《0）,N（qO）,

设点A在第一象限，设点B（X»）,所以

tan〃卬/瓯/鸵必=厂^.1—=；2=T_T^=F

W+x|x|a—xra—xa

tanZANM

tanABNMtanABNMtanZJBNM-tan4BMN2

所吟=”=>5？=缉

故选：D.

8.（2024河南信阳二模）若函数/（刈=/+皿2-€在定义域氏上存在最小值6,则当。一方取得

最小值时，。=()

1313

A.—B.—C.——eD.——e

2e2e2e2e

【答案】A

t解析】

【详解】因为/(力=亡+修一e,所以八力=/+2G,

当。=0时，/(外>0恒成立，则〃x)在定义域上单调递增，不存在最小值，故舍去；

当。<：0时，若x<0,KlJ/(x)=e1+ox2-e<ax2-e+1,

又］，=——e+l(a<0)在(f,0)上单调递增，

则当所以/(x)无最小值，故舍去；

所以。>0,又/(力=』+火，易知/(x)=ex+2m-在定义域上单调递增，

且/(0)=1,所以存在唯一零点%,即/+2诙=0,且(<0,

当》<七时/'(x)<0,当》>天时/"(x)>0,

所以/(X)在(YO,f)上单调递减，在(均+8)上单调递增，

所以/(x)在x=Z)处取得最小值，即/(力背=/(』)=e*+W-e=b,

巳。Y"

=---,^)\O-b=-----=---l)+e,

2毛2毛22%

☆gC0=e'《-(-l),(x<0),

所以g'(x)=—ex(x——Hy—1)=—^-eI(x—l)2(x+l),

2xx2x

所以当x<-1时g'(x)<0,当-l<x<0时g'G)>0,

所以g(x)在(y，T)上单调递减，在(-L0)上单调递增，

所以当户-1时g(x)取得极小值，即最小值，

所以升=-1,所以

2e

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共1S分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选

对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.

9.（2024•山西•二模）下列说法中正确的是（）

A.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，则每个个体被

抽到的概率是0.2

B.已知一组数据2,2,加，5,7的平均数为4,则这组数据的方差是与

5

C.数据76,69,87,65,62,96,92,81,76,82的第70百分位数是82

D.若样本数据X3?,…再，的标准差为5,则数据2x,+3,24+3,L,2%+3的标准差为20

【答案】AB

【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为才0.2,故A正确；

B选项，已知一组数据2,2,叫5,7的平均数为%则2-2-3-5-7=4,解得加=4,

（2—4广+（2-4）2+（4-4f+（5-4）2+口-4）［”,则这组数据的方差是当，故B正确；

555

C选项，这10个数据从小到大排列为62⑥,69,76,76用,眨以92,%,

由于10x0.7=7,故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，

即更了=84.5,所以第70百分位数是84.5,故C错误；

D选项，若样本数据4台…百。的标准差为5,则不与,…百。的方差为25,

设4%,…百。的平均数为工，则x,+z+…+/=10”，

：

木［（%仪）*+旧-x）+--+（xIO-x）-］=25,

T-J2Xj+3+2x>+3H-----1-2x+32（Xj+x4i-x）+30

-----------------1-0--=------2-------10----=ZX+J，

1010

故（2%+3-2不-3『+--+（2%+3-2"3）'=让一”+…+（%Y）［=］预，

10-10一

则以+3,24+3,…,2%+3的标准差为师=10,故D错误.

故选：AB

10.（2024•广东深圳•二模）已知函额/fx）=sinox+48SOX（xeR,。>0）的最大值为2,其部

分图象如图所示，则（）

c.满足条件的正实数0,存在且唯一

D.力”是周期函数，目最小正周期为兀

【答案】ACD

1详解】因为/Ix）=sinox+a8sox=Ja?+1sin（0x+p）（其中疝。"访看、8s?=就尸,

又力x）z==2,解得a=±6,

又力0）=。>0,所以。=妻，故A正确;

结合图象可知尊+?==+2加内eZ,所以。=2+8总无eZ,

436

_2兀兀

TJr___>—

又可>力所以。2,解得0<©<4>所以0=2,故C正确；

24U>0

所以小）=2sin；2x+[,则小-"；=2sin2K再=2sin2x为奇函数，故B错误,

/（X）是周期函数，目最小正周期74f故D正确.

故选：ACD

11.（2024•湖南二模）如图，点P是校长为2的正方体KBCD-451G9的表面上一个动点，尸是

线段乂4的中点，则（）

aG

A.若点/满足则动点尸的轨迹长度为4尤

B.三棱锥月-P3Q体积的最大值为g

C.当直线"与K3所成的角为45时，点尸的轨迹长度为兀+40

D.当P在底面WB8上运动，目满足尸F〃平面4cA时，线段所长度最大值为2播

t答案】CD

【详解】对于A,易知4C_L平面.4BCa,Ae平面.4BCQ,故动点尸的轨迹为矩形NBCQ,

动点尸的轨迹长度为矩形月明Q的周长，即为4a+4,所以A错误；

对于B,因为匕用种=I",而等边JABR的面积为定值24,

要使三棱锥P-AB。的体积最大，当且仅当点尸到平面AB}D}的距离最大，

易知点C是正方体到平面ABQ、距离最大的点，

所以（匕…L=*他，此时三棱锥C-期。即为校长是2a的正四面体，

其高为h=小20）-j=士^＞所以匕=；x；x2&x2-42x坐=g，B错误;

对于C:连接AC,以耳，以B为圆心，8耳为半径画邨觉，如图1所示，

当点尸在线段NC,期和弧衣上时，直线.4尸与.43所成的角为45,,

又NC=J.0+5C：=7?77=2"皿=JW+西=V?7i=20,

弧前长度%兀、2工=兀，故点尸的轨迹长度为兀+4灰,故C正确；

对于D,取AD、,DQ,DC,CB,BB、,AB的中点分别为O,R,N,M,T,H,

连接OR,QF,FT,以,NRFH,HN,HM,如图2所示，

图2

因为FT〃ACFT<t平面A4（7,qcu平面owe,故叮〃平面D、&C,

TMHBg,TM<z平面D、BGB、Cu平面D、&C,故TMII平面D4C：

又FTcTM=T,FT,nfu平面FTM,故平面FTM〃平面D、&C；

又QFHNM,QRIITM,RNHFT,

故平面也忆\五。与平面也M是同一个平面.

则点尸的轨迹为线段MV：

在三角形制城中，

FN=4FH工+郎工=^474=20;FM=QFH、HM，=^472=^;NM=立

贝|」*+必口=8=网工，

故三角形EMM是以血V为直角的直角三角形；

故存L=£V=2近，故即长度的最大值为2a,故D正确.

故选：CD

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.（2024•上海普陀・二模）若向量方在向量B上的投影为g5,且13G-5H3+51,则8s①万〉

【答案】专

1一

【详解】•・・万在，上的投影为？好

:卫匚”,则2」，即同=7^

又|31-5H3+51,平方得8万’=8己万，则同=而万

-abab招

即8、”.=丽=后防rr

故答案为：4.

3

13.（2024浙江二模）如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特・梵高用夸张的手法，生

动地描绘了充满运动和变化的星空假设月亮可看作半径为1的圆。的一段圆弧E,且弧E所对的圆

47r

心角为丁.设圆c的圆心C在点。与弧上中点的连线所在直线上若存在圆c满足：弧E上存在四点

满足过这四点作圆。的切线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的

取值范围为.（参考数据：8s名=毡二1）

54

r答案】伍邛）

【详解】如图，

设弧E的中点为时，菰E所对的圆心角为—,

47r

圆。的半径PM=1,在弧E上取两点4B,则乙

分别过点43作圆。的切线，并交直线。."于点。，

当过点43的切线刚好是圆。与圆C的外公切线时，劣弧.43上一定还存在点S,T,使过点5,7的

切线为两圆的内公切线，

则圆C的圆心C只能在线段上，且不包括端点，

过点C,分别向■"＞，助作垂线，垂足为凡尸，则以即为圆C的半径，

设线段OC交圆C于点N,则弧E上的点与圆C上的点的最短距离即为线段MV的长度.

一e31=侬=网＜出=4=/+1

在RtdlQZ）中，11cosZJOD乙LOB-2nJ5-I，

cos——-——cos—-____

254

则|MV|=|OC|-pM|-卬I=|0C|-1_|CR|＜|OD|dO=有+17=有,

即弧E上的点与圆C上的点、的最短距离的取值范围为（0.4）.

故答案为：（0.有）.

14.（2024•广东二模）如图，在平面直角坐标系xQr中放置着一个边长为1的等边三角形R",

且满足尸3与x轴平行，点X在x轴上.现将三角形P仍沿x轴在平面直角坐标系xQV内滚动，

设顶点尸（苍田的轨迹方程是y=〃x）,则/（"的最小正周期为；J=〃x）在其两个

相邻零点间的图象与X轴所围区域的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（2024湖南二模）（13分）如图所示，半圆柱的轴截面为平面BCC4,5c是圆柱底面的直径,

。为底面圆心，必为一条母线，E为C。的中点，目43=47=必=4.

BOC

（1球证：0EASy）

（2冰平面K4E与平面30E夹角的余弦值.

【答案】（1通明见解析⑵《

【详解】3）由3c是直径可知.45/.4C,则disc是等腰直角三角形，故.4O15C,

由圆柱的特征可知班,_L平面W5C,又.4Ou平面ABC,所以_LN。，

因为班ABC=B,即,BCu平面BCC、B、,则AO±平面5CC,B,,

而OEu平面5CC4,则NO_LOE,

因为.4B=NC=M=4,贝”氏=0.43=啦，所以4。'=4加+3。：=24

2::22

OE=OC+CE=12,B,E-=EC;+B]C=36=B]O'+OE.

所以4OJ_OE,

因为40_L0E,AOLOE,AOC\BXO=O,/。，4。＜=平面.他。,

所以。E_L平面.44。，又aqu平面.44。，故。EJ_期.

(2)由题意及(D易知明,月34。两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系,

则4(4,0,4),£(0,4.2),0(220),所以福=(4。4),近=(0,4,2),^0=(2,2,0),

由(D知.4OJ■平面4。石，故平面4。£的一个法向量是割=(22。)，

设)=(x,乂二)是平面月B、E的一个法向量,

n-AB,=0(4A+4C=0

贝惰n-AE=0=田，+2二=0取二=一2,可得行=(2,1,-2)

设平面NgE与平面B0E夹角为0,

所以8s8=18S(抗==—[—=—,

I「/I年画20x32

则平面.44E与平面B0E夹角的余弦值为立

2

16.(2024•上海松江二模)(15分)某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次

只派一个人，目每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯

关成功即视作比骞胜利，无需继续闯关现有甲、乙、丙三人组队参骞，他们各自闯关成功的概率分

别为R、B、B,假定2、2、R互不相等，目每人能否闯关成功的事件相互独立.

(1计划依次派甲乙丙进行闯关，若PL'，2gP、=g求该小组比骞胜利的概率；

(2港依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X的分布，并求i的期望E(X)；

(3)已知1>4>2>R,若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、

丙谁先派出.

【答案】⑴言23

(2)P,^-2^-p,+3

(3洗派出甲

【详解】(1)设事件A表示“亥小组比赛胜利，

…，八31211123

贝UPJ|=-+-X—H•—X-X—=一■

‘’44343224

(2)由题意可知，X的所有可能取值为b2,3,

则P(X=1)=〃，P(X=2)=(1—PJB，P(X=3)=Q—BX1-2),

所以X的分布为:

X123

PP1Qf)〃。-4刀-2)

所以E(X)=p、+2(1—4)2+3(1—4)(1-2)=~2一22一2+3；

(3)若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为4,

由⑵可知，El=plp,-2p,-p,+3,

若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为当，

则g=P4-2p「〃+3,

则&一旦=-2PL2+3)-(pj?2-2p,-2+3)=p,p2-Ip.-pj>,+2p；

,

=/.(P1-A)-2Q?1-A)=(P>-AX>»-2),

因为1>R>R>R,所以PLP,>0,P「2<。,

所以4-4<0,即4<4,

所以要使派出人员数目的期望校小，先派出甲.

17.(2024•山东聊城二模)(17分)已知椭圆C：三+2=@>b>0)的蛆轴长为2,离心率为理.

a-b-3

(1或C的方程3

(2)直线/：3=米+泄3>0网>0)与C交于MN两点，与J轴交于点A,与X轴交于点3,且

石7=尤两，京=4孰

(0当”;=2时，求上的值；

Xr

(ii)当右〃=3时，求点(0.-⑸到/的距离的最大值.

【答案】(l)y+r=l

⑵⑴理;(ii)2

2d=2

i=1

【详解】（D由题意得,c_la'-b'_&)解得:

a-V-o3r

所以C的方程为9+）产=1

（2）（i）由题意得4（0,刑）1-冽,

由6=；函7,得血=235-而，即Mm

k

2m\

由石=2而，得而=2而一怎＞即M1fA

将」％N的坐标分别代入C的方程，得与+4犷=1和1+/=1,

3k23工

解得公=；,又上＞0,所以方=g.

『=Av+肛

（ii）由，x?，消去得（32+1）犬+6初n+3疝-3=0,

--y=i

其中A=36^^一12(32+1)(1-1)=12(3^-m2+1)＞0,

-6kin3洲一

设,J，J,N（X2，%），则占3H=34+1

由6=2而，石=〃函0,?»）,5；-p0；,

m

u白、王儿,m11

I,-----1------

川必产mmkmm

xi+vx2+TX+Tx2+T

:

由2+〃=3,得k1占+2mk(X'+x2)+3m=0,

"inflc-3k1-12«ft2,

BnP----；----+——：---+37n*2=0n,

3月+13月+1

所以3而不-3^-llnfk2+9m2lr+3"=0,

因此A2=标，又上＞0,而＞0,所以t=也

所以/的方程为J，=凝x+1）,即/过定点（-1.0）,

所以点他一⑸到I的最大距离为点（0,一⑸与点（-110）的距离d=J1+㈣=2

即点(0,―⑶到/的距离的最大值为2.

18.(2024•江苏南通模拟预测)(17分)设函数/U)=(x-a)lnx-x+a,fleR.

(1击。=0,求函数不到的单调区间;

9

(2港-4＜。＜0，试判断函数/(x)在区间(e-W)内的极值点的个数，并说明理由;

e

(3冰证：对任意的正数。，都存在实数3满足：对任意的xe(f,f+a),

t答案】(1漏区间Ml),增区间&例)

(2)/8在(ete?)内有一个极值点

(3)1正明见解析

【详解】(D当"0时，八x)=xlnx-x,/(x)=lm,

令加)=0,x=l,列表分析

X(0,1)1(1,+8)

/(X)—0一

/(x)单调递减单调递增

故/⑶的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为母)；

(2)/(x)=(A--a)lm--x+a,/(x)=lnx，「二,其中x>0,

XX

令g(x)=xlnx-q,g'(x)=lnx+l,令g(x)=0,x=-,

列表分析:

1d,田)

X(0.-)

eee

g(x)—0+

g(x)单调递减单调递增

，、1

而左)=W—-/①)-'72+/)，/(屋)=24=白26〜),

?111

若一；<a<0,则/(±)=ln二犹<0,/(e-2)=-(2+ae2)<0,/(1)=：(2e?-a)>0,

e~eee*

因此/(X)在(e+e，)上有一个零点，所以/(力在(ete］)内有一个极值点；

⑶猜想：xe(M+a),/(x)<a-l恒成立.

证明如下：

由(2)得g(x)在d,y)上单调递熠，且g(l)=Y<0,g(l+o)=(l+a)1n(l+a)-a.

e

因为当X>1时，lnx>l」(*),

X

所以gQ+a)>(l+aXl-」7)-。=0.

a+1

故g(x)在Q1+a)上存在唯一的零点，设为％.由

X(U)X。8，1+。)

/(X)—0+

/(x)单调递减单调递增

知，xe(IJ+a),/(x)<max{/(l),/(l+a)},

又/U+4)=ln(l+4)_l,而x>l时，lnx<x-l(**),

豳•⑴.

即xe(l,l+a),f(x)<a-l.

所以对任意的正数%都存在实数f=l,使对任意的xw(G+。)，使/(x)<a-l.

补充证明(*)：

令尸(x)=lnx+1-l,X>1.F'(x)=--X=^>0,

xxjrr

所以尸(X)在［L”)上单调递增.

所以x>l时，尸(x)>尸(1)