吉林省长春新区2024年中考数学对点突破模拟试卷（含解析）

吉林省长春新区2024年中考数学对点突破模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

.........b_....

1.已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=—的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1,则一次函数y=bx+ac

的图象可能是（

2.衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改

良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是

多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为（）

x1.5x

x1.5x

3.如图，在AA3C中，点。是边A8上的一点，ZADC^ZACB,AD=2,30=6,则边AC的长为（）

AD

4.下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形

的是（）

5.如图，已知△ABC,ADCE,△FEG,△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG,GI在同一直线上,

且AB=2,BC=1.连接AL交FG于点Q,则QI=()

6.a/0,函数y=q与y=-M+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）

A.“买一张电影票，座位号为偶数”是必然事件

B.若甲、乙两组数据的方差分别为S用2=0.3,Si=0.1,则甲组数据比乙组数据稳定

C.一组数据2,4,5,5,3,6的众数是5

D.一组数据2,4,5,5,3,6的平均数是5

8.-3的相反数是（）

11

A.-B.3C.——D.-3

33

9.如图，菱形ABCD中，E.F分别是AB、AC的中点，若EF=3,则菱形ABCD的周长是（）

A.12B.16C.20D.24

3

10.已知点A（X，3）、3（电,6）都在反比例函数丁=—-的图象上，则下列关系式一定正确的是（）

X

A.%1<x2<0B.玉<0<%2C.%2<再<°D.x2<0<%!

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，CE是。的边A8的垂直平分线，垂足为点。，CE与ZM的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,

。。与AC交于点尸，则下列结论：

①四边形ACBE是菱形；

②NACZ>=N5AE；

③AF：BE=2：1；

④S四边形AfOE：SACOD=2：1.

其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）

12.如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（-4,0）,顶点B在反比例函数y=&（x<0）的图象上，则

13.从-2,-1,2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是.

14.计算：（1）。-双=.

15.如图，AB为圆O的直径，弦CDLAB,垂足为点E,连接OC,若OC=5,CD=8,贝!JAE=

16.如图，nABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且ACJ_BD,请你添加一个适当的条件,使ABCD成

为正方形.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，在。。中，是直径，点C是圆上一点，点。是弧中点，过点。作。。切线。歹，连接AC

并延长交DF于点E.

（1）求证：AE±EF；

（2）若圆的半径为5,5。=6求AE的长度.

E

18.（8分）如图，菱形A3C。的边长为20cm,ZABC=120°,对角线AC,5。相交于点。，动点P从点A出发，以

4cm/s的速度，沿的路线向点5运动；过点尸作尸。〃5。，与AC相交于点。，设运动时间为f秒，0<f<L

（2）若点。关于。的对称点为M,过点尸且垂直于AB的直线/交菱形A3。的边AO（或CZ>）于点N,当f为何

值时，点P、V、N在一直线上？

（3）直线PN与AC相交于H点，连接PM,NM,是否存在某一时刻f,使得直线PN平分四边形APMN的面积？若

存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

19.（8分）（1）解方程：_+=4

⑵解不等式组并把解集表示在数轴上:

20.（8分）如图，港口B位于港口A的南偏东37。方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南

方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45。方向上，这时，E处

距离港口A有多远？（参考数据：sin37°=0.60,cos37%0.80,tan37—0.75）

21.（8分）如图，一根电线杆PQ直立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45。，向前走6m到达

点B,又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60。和30。，求电线杆PQ的高度.（结果保留根号）.

22.（10分）计算：后+（万—3）°—tan45°.化简：（x—2产—x（x—1）.

2

23.（12分）如图，在平面直角坐标系中,A为y轴正半轴上一点，过点A作x轴的平行线,交函数y=-（犬<0）

x

的图象于B点，交函数y=g（x>0）的图象于C,过C作y轴和平行线交BO的延长线于D.

X

（1）如果点A的坐标为（0,2）,求线段AB与线段CA的长度之比；

（2）如果点A的坐标为（0,a）,求线段AB与线段CA的长度之比；

（3）在（1）条件下，四边形AODC的面积为多少？

24.如图，AB是。O的直径，点E是上的一点，ZDBC=ZBED.

（1）求证：BC是。O的切线；

（2）已知AD=3,CD=2,求BC的长.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

分析：根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=2的图象在第一象限有一个公共点，可得b>0,根据交点横坐标为1,

X

可得a+b+c=b,可得a,c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.

详解：•••抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=2的图象在第一象限有一个公共点，

X

/.b>0,

・・•交点横坐标为1,

:.a+b+c=b,

；・a+c=0,

:.ac<0,

；・一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限.

故选B.

点睛：考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b>0,ac<0.

2、A

【解析】

根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数•改良后种植的亩数=10亩，根据等量关系列出方程即可.

【详解】

设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.51万千克，

根据题意列方程为：--^=10.

x1.5%

故选：A-

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

3、B

【解析】

证明△ADC-AACB,根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD«AB,由此即可解决问题.

【详解】

VZA=ZA,ZADC=ZACB,

/.△ADC^AACB,

.ACAD

••二,

ABAC

/.AC2=AD«AB=2X8=16,

VAOO,

/.AC=4,

故选B.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.

4、B

【解析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案.

【详解】

A.不是轴对称图形，故本选项错误；

B.是轴对称图形，故本选项正确；

C.不是轴对称图形，故本选项错误；

D.不是轴对称图形，故本选项错误.

故选B.

5、D

【解析】

21BC1

解：OCE、△尸EG是三个全等的等腰三角形，.•.H/=AB=2,GI=BC=1,BI=2BC=2,：.—=一=—,—=-

BI42AB2

...——=——.VZABI=ZABC,/.AAB/^ACBA,:.——=——."：AB=AC,：.AI=BI=2.,:NACB=/FGE,

BIABAIBI

.,QIGI114…

•.AC〃FGt••———=—)««QI=—AI=—.故选D.

AICI333

点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解A3〃CD〃E尸，AC〃OE〃尸G是解题

的关键.

6、D

【解析】

分a>0和a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项

【详解】

当a>0时，函数y=@的图象位于一、三象限，y=-ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，

X

当aVO时，函数y=@的图象位于二、四象限，y=-ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；

x

故选D.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度

不大.

7、C

【解析】

根据确定性事件、方差、众数以及平均数的定义进行解答即可.

【详解】

解：A、“买一张电影票，座位号为偶数”是随机事件，此选项错误；

B、若甲、乙两组数据的方差分别为S¥2=0.3,S乙2=0.1,则乙组数据比甲组数据稳定，此选项错误；

C、一组数据2,4,5,5,3,6的众数是5,此选项正确；

D、一组数据2,4,5,5,3,6的平均数是2一5，此选项错误；

6

故选：C.

【点睛】

本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件

下，可能发生也可能不发生的事件.

8、B

【解析】

根据相反数的定义与方法解答.

【详解】

解：一3的相反数为—(—3)=3.

故选：B.

【点睛】

本题考查相反数的定义与求法，熟练掌握方法是关键.

9、D

【解析】

根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD,再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.

【详解】

E、歹分别是AC、。。的中点，

EF是ADC的中位线，

AD="2EF=2x3=6,

菱形ABC。的周长=4AD=4x6=24.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了菱形的四边形都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题

的关键.

10、A

【解析】

分析：根据反比例函数的性质，可得答案.

详解：由题意，得

k=-3,图象位于第二象限，或第四象限，

在每一象限内，y随x的增大而增大，

V3<6,

•*.Xl<X2<0,

故选A.

点睛：本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、①②④.

【解析】

根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可.

【详解】

•四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,AB=CD,

VEC垂直平分AB,

11

AOA=OB=-AB=-DC,CD±CE,

22

VOA//DC,

.EAEOOA_1

"ED-EC-CD_2'

，AE=AD,OE=OC,

VOA=OB,OE=OC,

四边形ACBE是平行四边形，

VAB±EC,

...四边形ACBE是菱形，故①正确，

VZDCE=90°,DA=AE,

/.AC=AD=AE,

ZACD=ZADC=ZBAE,故②正确,

VOA#CD,

.AF_OA1

一,

"CF-CD2

.AF_AFI，故③错误,

"AC-BE

设4AOF的面积为a,则4OFC的面积为2a,△CDF的面积为4a,AAOC的面积=△AOE的面积=la,

/.四边形AFOE的面积为4a,△ODC的面积为6a

故答案是：①②④.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题.

12,-473.

【解析】

过点B作BD，x轴于点D,因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为(-4,0)所NAOB=60。，根据锐角三角函数的

定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式.

【详解】

过点B作BDLx轴于点D,

•••△AOB是等边三角形，点A的坐标为(-4,0),

.,.ZAOB=60°,OB=OA=AB=4,

走=2后,

,\OD=OB=2,BD=OB»sin60°=4x

2

AB(-2,273),

k=-2x2y/3=-4石.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中.

1

13、—

3

【解析】

首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式求解即可求得答

案.

【详解】

列表如下：

-2-12

-22-4

-12-2

2-4-2

由表可知，共有6种等可能结果，其中积为正数的有2种结果，

所以积为正数的概率为1,

3

故答案为」.

3

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于

两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

14、-1

【解析】

本题需要运用零次塞的运算法则、立方根的运算法则进行计算.

【详解】

由分析可得：（g）°-调=1-2=-1.

【点睛】

熟练运用零次塞的运算法则、立方根的运算法则是本题解题的关键.

15、2

【解析】

试题解析：为圆0的直径，弦CDYAB,垂足为点E.

:.CE=-CD=4.

2

在直角AOCE中，OE=Voc2-CE2=A/52-42=3.

贝！IAE=OA-OE=5-3=2.

故答案为2.

16、ZBAD=90°（不唯一）

【解析】

根据正方形的判定定理添加条件即可.

【详解】

解：•.•平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且ACJ_BD,

二四边形ABCD是菱形，

当NBAD=90。时，四边形ABCD为正方形.

故答案为：NBAD=90。.

【点睛】

本题考查了正方形的判定：先判定平行四边形是菱形，判定这个菱形有一个角为直角.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)详见解析；⑵AE=6.1.

【解析】

⑴连接利用切线的性质和三角形的内角和证明。。〃明，即可证得结论；

⑵利用相似三角形的判定和性质解答即可.

【详解】

⑴连接OD,

是。。的切线，

：.ODLEF,

"：OD=OA,

：.ZODA=ZOAD,

•••点。是弧3c中点，

ZEAD=ZOAD,

：.ZEAD^ZODA,

J.OD//EA,

：.AE±EF；

(2)'：AB是直径，

:.NAOB=90。，

•圆的半径为5,BD=6

：.AB^10,30=6,

在R3AOB中，AD=NAB?-Blf=J102—62=8，

VZEAD=ZDAB,ZAED=ZADB=9Q°,

：./\AED^/\ADB,

.AD_AE

••一,

ABAD

8AE

n即n一=—,

108

解得：AE=6.L

【点睛】

本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及圆周角定理，关键是利用切线的性质和相似

三角形判定和性质进行解答.

30

18、(1)8=-273?+100A/3(0<t<l)；(2)亍;(3)见解析.

【解析】

(1)如图1,根据S=SAABC-SAAPQ,代入可得S与t的关系式；

(2)设PM=x,贝！)AM=2x,可得AP=V^x=4t,计算x的值，根据直角三角形30度角的性质可得

8,

AM=2PM=耳，根据AM=AO+OM,列方程可得t的值；

(3)存在，通过画图可知：N在CD上时，直线PN平分四边形APMN的面积，根据面积相等可得

MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.

【详解】

解：(1)如图1,•••四边形ABCD是菱形，

/.ZABD=ZDBC=-ZABC=60°,AC1BD,

2

.\ZOAB=30°,

VAB=20,

.\OB=10,AO=10若，

由题意得：AP=4t,

**•PQ=2t>AQ=2-^3

••S=SAABC-SAAPQ,

=^ACOB-^PQAQ,

=—x10x20A/3--x2?x2y/3t,

22

=-252+1006(0<t<l)；

(2)如图2,在RtAAPM中，AP=4t,

:点Q关于O的对称点为M,

AOM=OQ,

设PM=x,贝！］AM=2x,

AP=^/3x=4t,

国‘

St

/.AM=2PM=9

VAM=AO+OM,

/,^=1073+10A/3-273t,

30

t=T;

答：当t为年30秒时，点P、M、N在一直线上;

(3)存在，

如图3,•直线PN平分四边形APMN的面积,

•••SAAPN=SAPMN,

过M作MG_LPN」于G,

-PNAP=-PNMG,

22

.\MG=AP,

易得AAPHg△MGH,

8

VAM=AO+OM,

同理可知：OM=OQ=10若-2白t,

^y^t=106=106-2y/3t,

30

t=----•

11

30

答：当t为打秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积.

【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答

本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.

19、(1)x=l(2)4<x<

【解析】

(1)先将整理方程再乘以最小公分母移项合并即可；

(2)求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可.

【详解】

方程整理得：=4,

2x-32x~3

去分母得：x-5=4(2x-3),

移项合并得：7x=7,

解得：x=l；

经检验X=1是分式方程的解;

2x+l<3(x-l)②

解①得：

5

解②得：x>4

不等式组的解集是4VXW&,

在数轴上表示不等式组的解集为：

—।—；—।—।_।，，工，,Z1—>

-1012345678419•

【点睛】

本题考查了解一元二次方程组与分式方程，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程组与分式方程运算法则.

20、35km

【解析】

CHx

试题分析：如图作CH_LAD于H.设CH=xkm,在R3ACH中，可得AH=----------=-----------,在RtACEH中，可

tan31°幻〃37°

AHACx

得CH=EH=x,由CH〃BD,推出——=——,由AC=CB,推出AH=HD,可得------=x+5,求出x即可解决问题.

HDCBton37°

试题解析：如图，作CHLAD于H.设CH=xkm,

*»CH

在R3ACH中，ZA=37°,Vtan37°=——,

AH

CHx

.\AH=

tan310tan310

在RtACEH中，•:ZCEH=45°,

\CH=EH=x,

ZCHIAD,BD±AD,

,.CH〃BD,

.AHAC

"HD~CB'

；AC=CB,

AH=HD,

x

=x+5,

tan3rT

Sian°

x=--------------~15,

1-tan370

15

AE=AH+HE=----------+15-35km,

tan37°

E处距离港口A有35km.

21、(6+273)米

【解析】

根据已知的边和角，设CQ=x,BC=V3QC=V3X,PC=V3BC=3X,根据PQ=BQ列出方程求解即可.

【详解】

解：延长PQ交地面与点C,

由题意可得：AB=6m,ZPCA=90°,ZPAC=45°,ZPBC=60°,NQBC=30。，设CQ=x,则在RtABQC中，

BC=73QC=V3x,.•.在RtAPBC中PC=&BC=3x,1•在RtAPAC中，ZPAC=45°,贝(JPC=AC，，，3x=6+6x,

解得x=3\^=3+g,.,.PQ=PC-CQ=3X-X=2X=6+2B贝！I电线杆PQ高为(6+2。米.

【点睛】

此题重点考察学生对解直角三角形的理解，掌握解直角三角形的方法是解题的关键.

22、(1)5；(2)-3x+4

【解析】

⑴第一项计算算术平方根，第二项计算零指数惠，第三项计算特殊角的三角函数值，最后计算有理数运算.

(2)利用完全平方公式和去括号法则进行计算，再进行合并同类项运算.

【详解】

(1)解：原式=5+1-1=5

⑵解：原式=d-4x+4-1?+x=-3x+4

【点睛】

本题考查实数的混合运算和整式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式和熟记特殊角的三角函数值.

23、(1)线段AB与线段CA的长度之比为工；(2)线段AB与线段CA的长度之比为工；(3)1.

33

【解析】

试题分析：

(1)