2024年中考数学复习：旋转与中心对称培优讲义

考点直击

i.旋转

⑴定义

把一个图形绕某一点0转动一个角度的图形变换叫作旋转，其中点0叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.

旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.

⑵性质

①旋转前后的图形全等：对应线段相等，对应角相等；

②对应点到旋转中心的距离相等；

③对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

(3)旋转变换的作图

①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；②找出能确定图形的关键点；③连接图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别

将它们旋转一个角，得到此关键点的对应点；④按原图形的顺序连接这些对应点，所得图形就是旋转后的图形.

2.中心对称

(1)中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这

个点就是它们的对称中心.

(2)中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形是全等形；

②关于中心对称的两个图形，对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；

③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.

(3)中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

(4)中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图

形，这个点就是它的对称中心.

3.旋转与中心对称的应用

⑴旋转常见的基本图形：

AAAD

C

注意：①图形中出现等边三角形时，通常旋转60。；出现等腰直角三角形或正方形时，通常旋转90。；出现线段中点时，通常旋

转180。..②共端点或者共线的三条线段想要转化到同一个三角形里时，通常利用旋转变换.

(2)两个点关于原点成中心对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为.P，(-%，-y).

J

例IRtAABC中，已知乙C=90。,23=50。,点D在边BC上,BD=2CD(如图)把4ABC绕着点D逆时针旋转(a(0°<m<180°))

后，如果点B恰好落在初始RtAABC的边上，那么a=.

举一反三1如图，把△ABC绕点C顺时针旋转25。,得到△ABC,AB交AC于点D,AB与AE交于点E.已知NADC=80。，则.乙BE

Af=()

A.135°B.145°

C.155°D.165°

举一反三2把一副三角板按如图放置，其中乙4BC=乙DEB=90。,41=45。,4=30。,斜边AC=BD=10,,若将三角板DEB

绕点B逆时针旋转45。得到△D'E'B,则点A在△。£'8的()

A.内部B.外部

C.边上D.以上都有可能

如图，△40B中，乙4。8=90°,4。=举一反三33,BO=6,A408绕点O逆时针旋转到.△4。9处，此时线段4'B与BO的交点E

为BO的中点，求线段.的长.

例2如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为顶点的正方形OBCD,其中点D(2,0),点B在y轴上.点C在第一象限，以BC为

边在正方形OBCD外作等边△4BC,若将△4BC与正方形OBCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90。,，则第2020次旋转结

束时，点A的坐标为()

A.(l>2+V3)B.(2+V3--1)

C.(-l--2-V3)D.(-2-V3'l)

【思路点拨】过点A作AE_Lx轴于点E,交BC于点F,根据正方形的性质可得AF_LBC,B(0,2),即可得.EF=2..由等边三角形的

性质及勾股定理可求解AF,BF的长，进而可求解A点坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点A的坐标，发现规律，进而求

出第2020次旋转结束时，点A的坐标.

举一反三4如图所示,在平面直角坐标系中.A(0,0),B(2,0),AAPR是等腰直角三角形且.出=90。才巴△4「正绕点B顺时针旋转

180。彳导到△BP2c，把△BPzC绕点C顺时针旋转180。彳导到ACP3D,,依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点.Pzoz。的坐标为

()

A.(4039,-l)B.(4039,1)C.(2020-QD.(2020,l)

例3如图，在等腰直角.AABC的斜边AB上取两点M,N,使NMCN=45。,记AM=m,MN=n.BN=x，则以线段x,m,n为边长的三角形的

形状是()

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.随x,m,n的变化而改变

举一反三5如图，正方形ABCD中有一个内接三角形AEF,若NEAF=45o,AB=6,EF=5,则三角形EFC的面积是一

例4如图,E是正方形ABCD内一点,E到A,B,C三点的距离之和的最小值为V2+店,求此正方形的边长.

例5已知：在Rt△4BC中,AB=BC,在RtA4DE中,AD=DE.连接EC,取EC的中点M,连接DM和BM.

(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图L探索BM,DM的关系并给予证明.

(2)如果将图1中的.A4DE绕点A逆时针旋转小于45。的角，如图2,那么⑴中的结论是否仍成立?如果不成立，请举出反例；

如果成立，请给予证明.

图1图2

举一反三6如图1,已知A4BC是等腰直角三角形，ZBAC=90。,,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和D

E、上，连接AE,BG.

图2

⑴试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论.

⑵将正方形DEFG绕点D逆时针旋转一定角度后（旋转角度大于（0。,小于或等于360。）,，如图2,通过观察或测量等方法判断⑴

中的结论是否仍然成立?如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

（3）若BC=DE=2,,在⑵的旋转过程中，当AE为最大值时,求AF的值

过关检测

4|基础夯实

1如图，已知菱形OABC的顶点O（O,O）,B（2,2）,若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45。,则第60秒时，菱形的对角线交点D的

坐标为（）

A.(l,-l)B.(-l,-l)

C.(V2-0)O,(0--V2)

2把一副三角板按如图1放置,其中NACB=NDEC=90o,/A=45o,ND=30。,斜边AB=6,DC=7把三角板DCE绕点C顺时针旋转

15。得到八DiCEi（如图2）上匕时AB与CD1交于点O，则线段ADi的长为（）

X.3V2B.5C.4D.V31

3.如图,P是正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1:2:3以B点为中心将△BPC按顺时针方向旋转到△BP'A的位置.则NAPB二

()

A.120°

B.135°

C.150°

D.125°

4.如图,A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),C点的坐标为(5,3),D点的坐标为(3,-1).小明发现:线段AB与线段CD存在一种特殊关

系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是一

5.如图,△ABC中，ZBAC=115。,NACB=25。把△ABC以AC为对称轴作对称变换得^ADC,又把△ABC绕点B逆时针旋转55°

6(1)如图1,在4ABC中,BA=BC,D,E是AC边上的两点,且满足NDBE甘乙43c00<乙CBE<］乙43。以点B为旋转中心，将

△BEC逆时针旋转得到^BEA(点C与点A重合，点E到点E处)，连接DE,求证:DE'=DE.

(2)如图2,在△ABC中,BA=BC,ZABC=90°,D,E是AC边上的两点，且满足乙DBE=^ABC,0°<NCBE<45。.求证:DE2=

AD2+EC2.

能力拓展

7.如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60。,得到正方形DEFG,此

时点G在AC上作G'llCD于点I,作E'HIBC交BC的延长线于点H,连接CE』(J(CE'+CG'=()

/1.V2+V6B.V3+1

C.V3+V2D.V3+V6

8.如图,P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则4ABC的面积为()

49+竽

8.9+等

C.18+25V3

P.18+—

2

9.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现

将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFD.旋转角为a.

⑴当点D”恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；

(2)如图2,G为BC中点，且(0°<a<90。,求证：GD'=E'D;

⑶小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,△DCD与△CBD能否全等?若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由.

图1

舄方综合创新

10把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边

长大于1的正三角形，满足上述性质的分割()

A.是不存在的

B.恰有一种

C.有有限多种，但不只是一种

D.有无穷多种

11如图.在正方形ABCD中,M是对角线BD上一点，若48=VX,则MD+2MC的最小值是_____此时NBMC=度.

12如图,边长为1的正△AiBiCi的中心为O,将正△AiBiCi绕中心O旋转到△A2B2C2，使得A2B21BxQ.则两三角形的

公共部分(即