2024年中考数学复习几何辅助线进阶训练-菱形的辅助线

初中几何辅助线进阶训练—菱形的辅助线

一'阶段一(较易)

1.如图，菱形4BCD中，AB=4,E为BC中点，AE1BC,AF1CD,CG||AE,CG交4F于点H,交

ZD于点G.

(1)求证：四边形力ECG是矩形.

(2)求NC/M的度数.

(3)求菱形4BCC的面积.

2.在RtAABC中，NBAC=90。，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作4F||BC交BE的延

长线于点F.

(1)求证：ZkAEFmADEB；

(2)证明：四边形ADCF是菱形：

(3)若AC=3,AB=4,求菱形ADCF的面积.

3.如图，四边形4BCD为菱形，点E是AD的中点，点F,H是对角线BD上两点，且/修=3,点G

在边BC上.若四边形EFGH是矩形，则菱形ZBCC的周长为.

4.如图1,平行四边形Z8C。中，点E、点F分别是4。、CD上的点，连接CE、AF,ZBAF=

乙BCE,AF=CE.

DD

E

B

（图1）

(1)求证：四边形ABC。是菱形.

(2)如图2,当点E是AD中点时，A尸与CE交于点O,连接BE、BF,请直接写出图2中四个三

角形，使写出的每个三角形的面积等于AZE。面积3倍.

5.如图，在菱形4BCD中，AB=BD=10,点F为力。的中点，FE1BD于E,则EF的长为

A.2V3D.5V3

6.如图，在矩形ABCD中，AB=24,BC=12,点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对

角线AC上，若四边形EGFH是菱形.则AE的长是()

A.15B.20C.6V3D.8V3

7.如图，四边形/BCD是平行四边形，对角线AC,BD交于点O,AC=2AB,BE||AC,OE||AB.

(1)求证：四边形是菱形.

(2)若4C=44，BD=8,求四边形4BE。的面积.

8.如图，在菱形ABC。中，点E、F分另U是48、40的中点，连接EF交对角线2C于点M,连接若

乙BAD=120°,AE=2,贝ijBM的长为.

D

B

9.如图，菱形ABCD中，乙4=108。，AD的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为N,连结

CP,则NBPC=

10.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别在BD和DB的延长线上,

且DE=BF,连接AE,CF.

（1）求证：AADE丝aCBF；

（2）试连接AF,CE.当BD平分NABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由.

二'阶段二（中等）

11.如图所示，在菱形ABCD中，AB=6,ZBAD=120°,△AEF为正三角形，点E、F分别在菱

形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合.当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的

C.3V3D.

12.如图，在矩形/BCD中，AB=24,BC=12,点E在边AB上，点尸在边CD上，点G、”在对角线

ZC上，若四边形EGFH是菱形.贝IME的长是()

A.15B.20C.6V3D.8V3

13.如图，ABWCD,点E,尸分别在CD上,连接EF,乙4EF、aFE的平分线交于点G,乙BEF、

ZDFE的平分线交于点H.

(1)求证：四边形EGFH是矩形;

(2)过G作MNIIEF,分别交AB,CD于点M,N,过”作PQIIEF,分别交AB,CD于点P,Q,得

到四边形MNQP,此时，求证四边形MNQP是菱形.

14.如图，菱形ABCD的边长是4,NA=60。，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG,其中

点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，连接PB.则PB=

15.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E是AD边上一点，且。。=OE.若

16.如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD,BE1AD于点E,F为DC的中点，连结

EF,BF,下列结论：①乙ABC=2乙ABF,@^DEF+AEBF=90°；③S〃兹施EBC

2sAEFB；④乙CFE=3乙DEF,其中正确结论的个数共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

17.口ABCD中，NBAD的平分线交直线BC于点E,线DC于点F

（2）若乙ABC=120°,FG//CE,FG=CE,求乙BDG.

18.（问题发现）数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：

A

图1图2图3

（1）若四边形ABCD是菱形，AABC=60°,点P是射线BD上一动点，以AP为边向右

侧作等边A/PE,如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE、CA,贝IBP与CE

有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；

（2）（类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究：

若四边形ABCD是正方形，点P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等

腰Rt△APE,其中^APE=90。，AP=PE.

①如图2,当点P在对角线BD上时，小组发现点E恰好在射线CD上，求BP与CE之

间的数量关系（过程只用说明点E在线段CD上的情况即可）；

②如图3,当P是对角线BD的延长线上一动点时，小组发现点E恰好在射线CD上，连接

BE,若BE=6,AB=2,求ABPE的面积.

19.在菱形ABCD中，ZABC=60°,E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且

CF=AE,连接BE,EFo

(1)如图1,当E是线段AC的中点时，BE和EF的数量关系是________；

(2)如图2,当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断(1)中的结论是否成立？

若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；

(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，(1)中的结论是否成立?

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。

20.如图，菱形ABCD中，AB=4,ZABC=120°,过对角线AC延长线上的一点P分别作AD、DC

延长线的垂线，垂足分别为E、F,则PE-PF=________o

三'阶段三(较难)

21.如图，在平面直角坐标系中，菱形04BC的对角线0B上有P,Q两个动点，且PQ=2,已知点

X(2V3,0),乙40C=60。，当周长最小时，点P的坐标为.

T

22.在菱形力BCD中，乙4BC=60。，P是直线BD上一动点，以4P为边向右侧作等边△APE(A,P,

E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化.

图1图2

(1)如图1,当点P在线段BD上，且点E在菱形4BCD内部或边上时，连接CE,贝UBP与CE的数

量关系是,BC与CE的位置关系是；

(2)如图2,当点P在线段BD上，且点E在菱形力BCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成

立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE,若48=2,BE=用,请直接写出△

4PE的面积.

23.如图，在菱形/BCD中，LB=60°,M、N分别为线段AB、BC上的两点.且BM=CN,AN,

CM相交于点E

(1)证明：ABCM/ACAN；

(2)求乙4EM的度数；

(3)证明：AE+CEDE.

24.菱形ABCD的边长为30,AADC=120°,点。是对角线力C中点，M是线段0c上任一点，连接

DM,作乙DMN=120°,边MN与直线AB相交于点N.

小南和小浦观察以上问题时，猜想DM=MN,老师引导他们用“从特殊到一般”的思想方法去尝试

研究.

(1)【特例发现】

小南发现：当点M与点重合时，DM与MN的长度相等，为；

(2)【探究证明】

小浦认为当N在线段4B上时，均有"DM=MN”，请帮助完成证明.

(3)【拓展运用】

①连结DN交4c于点E,求证：乙4CE+NMDC为定值.

②当MN?+DE2=时，

452SLADE=▲.

25.小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图如图，

菱形48CD中，AABC=60°,四边形EFGH是矩形，若FA=FB=2a,则矩形EFGH的面积

为.

26.已知，菱形ABCD(ZC<90°)的对角线长分别为6和8,点E在边BC上，BE=1,若点F在

直线AB上，且AE=DF,则BF的长为

AD

27.如图，四边形ABCD是菱形，点M在CD边上，点N在菱形ABCD外部，且满足MN〃AD,

CM=MN,连接AN,CN,取AN的中点E,连接BE,AC.

(1)探究BE与AC的关系；

(2)若NABC=120。，探究线段BE、AD、CM所满足的等量关系；

(3)若NABC=60。，M在DC的延长线上时，其余条件不变，CM=1,AD=3,请求出BE的

长度.

28.如图，菱形ABCD中，AB=12,ZBAD=60°,E为线段BC的中点.若点P是线段AB上的一

动点，Q为线段AD上一动点，则△PQE的周长的最小值是.

29.如图，在菱形/BCD中，^DAB=60°,E是对角线BD上一点，F是线段AB延长线上一点且BF

DE,连接4E.

(1)如图，若E是线段BD的中点，连接EF,其他条件不变，直接写出线段AE与EF的数量关

(2)如图，若E是线段BD上任意一点，连接EF,其他条件不变，猜想线段AE与EF的数量关系

是什么？并证明你的猜想;

(3)如图，若E是线段DB延长线上一点，其他条件不变，且NEZB=30。，菱形ABC。的周长为

4V7,直接写出DF的长度.

30.如图，在口ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD,BC,BD相交于点E,F,O.

(1)求证：四边形BEDF是菱形；

(2)在nABCD中，若AB=2.5,AD=4,有两动点P,Q分别从B,D两点同时出发，沿

ABAE和小DFC各边运动一周，即点P自B—A—E—B停止，点Q自D—F—C—D停止，点P运

动的路程是x,点Q运动的路程是y,当四边形BPDQ是平行四边形时，则请直接写出x+y的值

为.

答案解析部分

1.【答案】(1)证明：・・•四边形43CD是菱形，

・・・||BC,AB=BC=4,

・・・CG||AE,

・・.四边形ZECG是平行四边形，

vAE1BC,

・・・乙AEC=乙AEB=90°,

••・四边形力ECG是矩形.

(2)解：连接ZC,如图所示:

•••E为BC中点，AE1BC,

:.AB=AC,

-AB=BC,

・•・AB=BC=AC,

•••Z-B-Z-BAC-60°,

在等边三角形4BC中，•••4E1BC,

1

・・・/-CAE="BAC=30。，

同理乙。力9=30°,

・・・LEAF=乙CAE+乙CAF=30°+30°=60°,

vAEIBC,CGLAD,AD||BC,

・・・AE||CG,

・・・乙AHC=180°-LEAF=180°-60°=120°.

(3)解：vZB=60°,AAEB=90°,

AE=ABX空=4X芋=2后

二菱形/BCD的面积=BC-AE=4x2A/3=873.

2.【答案】(1)证明：：4尸||BC,

；.NAFE=NDBE,

YE是AD的中点,

・・・AE=DE,

在4人日尸和^DEB中,

Z-AFE=Z-DBE

Z-FEA=乙BED

,AE=DE

：.^AEF=ADEB(AAS)；

(2)证明：由(1)知，LAFE=^DBE,

贝I」AF=DB,

VDB=DC,

・・・AF=CD,

U：AF||BC,

・・・四边形ADCF是平行四边形

・・・NBAC=90。，D是BC的中点，

1

-'-AD=DC=

四边形ADCF是菱形；

(3)解：连接DF,如图所示：

BDC

'：AF||BD,AF=BD,

四边形ABDF是平行四边形，

；.DF=AB=4,

•.•四边形ADCF是菱形，

二菱形ADCF的面积=^AC-DF=|x3x4=6.

3.【答案】12

4.【答案】(1)解：如图1,

D

E

B

（图1）

•・•平行四边形力BCD中，乙DAB=LDCB

9：^BAF=乙BCE,

：.£.DAF=乙DCE

^DAF=乙DCE

U：\AADF=乙CDE,

IAF=CE

/.△ADF=△CDE,

：.AD=CD,

又•平行四边形ABC。中，AD=BC,CD=AB,

；.AD=CD=BC=AB,

四边形ABCO是菱形；

（2）解：连接DO,如图，

（图2）

如图2,符合条件的三角形有：△4DF,△CDE,AAEB,△CBF,

理由如下：

在（1）已证得：AADF三ACDE,则有NDFA=NDEC,DE=DF,ZDAF=ZDCE,

ZAEO=180°-ZDEC=180°-ZDFA=ZCFO,

♦.•根据（1）中证得平行四边形ABCD是菱形，且E、F是AD、DC中点，

；.AD=DC,

；.AE=ED=DF=FC,

VZEOA=ZFOC,

.*.△AEO^ACFO,

.EO=OF,AO=OC,

ADO^ACDO,△EDO^AFDO,

VAAEO与^DOE同高等底，

•XAEO=SADEO，

•,^LAEO-SADEO-S&ODF=SAFOC，

*，s&ADF=3sA4E0，

；.△ADF满足条件，

根据全等的性质可知△DEC满足条件，

'：AD||BC,DE=AE,

•.DE=S4AEB，

；.△AEB满足条件，

'：AB||DC,DF=FC,

,•SAADF=SABCF，

；.△BCF满足条件，

则满足条件的三角形有：4ADF,ACDE,XAEB,△CBF.

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】(1)证明：•.•BEII4C,0E||AB,

四边形ABEO是平行四边形.

♦.•四边形ABCD是平行四边形，

：.AC=2A0.

"：AC=2AB,

：.A0=AB,

四边形ABEO是菱形.

(2)解：♦.•四边形ABCD是平行四边形，

-"-AO=^AC=2V5,OB=^BD=4.

如图，连接AE交OB于点M.

由(1)知，四边形ABEO是菱形，

：.AE,OB互相垂直平分，

1

OM=^0B=2，

-'-AM=7A。2-0M2=V20-4=4，

：.AE=8,

四边形ABE0的面积=^AE-0B=|x8x4=16.

8.【答案】V13

9.【答案】72

10.【答案】(1)证明：••・四边形ABCD是平行四边形，

AD=CB,AD||BC,

Z.ADB=Z-CBD,

・•.Z.ADE=Z.CBF,

'AD=CB

在/力DE和/CBF中，-Z.ADE=乙CBF,

、DE=BF

.•.AADE=△CBF(SAS).

(2)解：当BD平分乙4BC时，四边形2FCE是菱形.

理由：如图,连接AF,CE,

•••BD平分乙ABC,

・••Z.ABD=Z-CBD,

・・•四边形Z3CD是平行四边形,

••・OA=OC,OB=0D,AD||BC,

・•.Z.ADB=Z-CBD,

・•・Z.ABD=Z.ADB,

:.AB—AD,

・・・平行四边形ZBCD是菱形，

・•・AC1BD,

・•・AC1EF,

•・・DE-BF,

・・・OE=OF.

又・・•OA=OC,

••・四边形ZFCE是平行四边形，

vAC1EF,

••・四边形ZFCE是菱形.

".【答案】D

12.【答案】A

13.【答案】⑴证明：：EH平分/BEF,FH平分NDFE,AZFEH=jzBFF,ZEFH=jZDFE,

,：AB||CD,：.ZBEF+ZDFE=180°,AZFEH+ZEFH=1xl80°=90°,AZEHF=90°,同理可

得：ZEGF=90°,：EG平分NAEF,EH平分NBEF,AZGEF=j^AEF,ZFEH=|ZBEF,\•点

A、E、B在同一条直线上，AZFEG+ZFEH=1xl80°=90°,即NGEH=90。，二四边形EGFH是

矩形.

（2）证明：如图，延长EH交CD于点O,延长FG交AB与点R,

\'MN||EF||PQ,MP||NQ,四边形MNQP为平行四边形./.MN=PQ,VZPEO=ZFEO,

ZPEO=ZFOE,.\ZFOE=ZFEO,.\EF=FO,由（1）知四边形EGFH是矩形，:*乙EHF=

90°,GH=EF,；.FH_LEO,，HE=HO,VZEHP=ZOHQ,ZEPH=ZOQH,：.AEHP=△

OHQ,:.HP=HQ=如（2,同理可得GM=GN=^MN,：MN=PQ,/.GM=HP,'：GM||HP,

，四边形MGHP为平行四边形，，GH=MP,'：MN||EF,ME||NF,二四边形MEFN为平行四边

形，；.MN=EF,：GH=EF,GH=MP,AMN=MP,又•四边形MNQP为平行四边形，二平行四

边形MNQP为菱形.

14.【答案】V7

15.【答案】Z

16.【答案】D

17.【答案】(1)证明：VAF平分乙BAD,

・••Z-BAE=Z-DAE,

又AB//BC,

•••Z-CEF=Z.DAF,

vAB//CD,

•••乙CFE=乙BAE,

・，・Z-CEF=Z.CFE,

・•.CE=CF；

(2)解：连接EG,CG,如图所示：

・・・Z.ECF=Z.ABC=120°,乙BAC=60°,

・•.Z.DAF=30°,

vFG//CE,FG=CE,

・•・四边形ECFG是平行四边形，

・・・CE=CF,

・•・四边形ECFG为菱形，

・・・(CFG=60°,Z.CFE=30°=^DAF,乙ECG=ZFCG=60°,△CFG为等边三角形，

・•.CG=GF,乙BCG=乙DFG=60°,AD=FD=BC,

(FD=BC

在ADGF和ABGC中，zDFG=zBCG=60°，

(GF=CG

.-.ADGF名ABGC(SAS),

：•BG=DG,Z-BGC=Z-DGF,

••・乙BGD=乙CGF=60°,

•••ABDG为等边三角形，

乙BDG=60°.

18.【答案】(1)解：BP=CE,理由如下:

•.•四边形ABCD是菱形，

；.AB=BC,

XVZABC=60°,

.,.△ABC是等边三角形，

；.AB=AC,ZBAE=60°,

又「△PAE是等边三角形，

；.AP=AE,ZPAE=60°,

ZBAP+ZPAC=ZEAC+ZPAC,

，NBAP=NEAC,

△ABP^ACE(SAS)

；.BP=CE；

c

Mi

（2）解：①CE=V^BP,理由如下:

如图，连接AC,

.\ZABC=90o,AB=BC,ZABD=ZACE=ZBAC=45°,

：.AC2=AB2+BC2=2AB2,

'.AC=42AB，

VAAPE为等腰直角三角形，ZAPE=90°,

ZPAE=45°,

ZBAP+ZPAC=ZEAC+ZPAC,

.\ZBAP=ZCAE,

；.△BAPs/XCAE,

,CE_AC^_pz

CE=V2BP

②连接AC交BD于F,过点E作EGLBD于G,

•四边形ABCD是正方形，AB=2,

：.BC=AB=2,ZABD=ZBAC=45°,ZAFB=ZAFD=90°,

-,-AF=BF=^AC=*AB=V2

ZFAP+ZAFP=90°,

又「△APE是等腰直角三角形，

；.AP=EP,ZAPE=90°,

ZAPF+ZEPG=90°,

ZFAP=ZEPF,

XVZAFP=ZEGP=90°,

AFP^APGE(AAS),

；.PG=AF=四,EG=FP

设FP=GE=x,则BG=BF+FP+PG2V2+x

'：BG2+EG2=BE2,

2

••(2V2+x)+%2=62，

解得x=4—V2(负值舍去)，

BP-V2+x=4f

-1-1

:*S〉BPE=♦EG=专x4x(4-传8-2V2.

19.【答案】(1)BE=EF

(2)解：成立，理由如下：

过E作EG〃:BF,

,/△ABC是等边三角形，

△AGE是等边三角形，

・・・AE=GE,

AGE=CF,

ZBGE=180°-ZAGE=120°=ZECF,

TAB=AC,

・・・AB-AG=AC-AE,

・・・BG=EC,

.*.△BGE^AECF(SAS),

二•BE=EF；

(3)解决：成立，理由如下:

D

G

过E作EG〃:BF,

△ABC是等边三角形，

.•.△AGE是等边三角形，

；.GE=GE,

；.GE=CF,

VZBGE=ZECF=60°,

VAB=AC,

.\AG-AB=AE-AC,

；.BG=EC,

BGE^AECF(SAS),

；.BE=EF.

20.【答案】2V3

21.【答案】(2日，2)

22.【答案】(1)BP±CE；CE1BC

(2)解：(1)中结论仍然成立，理由如下:

如图，连接AC,

二.△ABC,△AC。为等边三角形，

在ATlBP和AACE中，AB=AC,AP=AE,

又；乙BAP=Z.BAC+Z.CAP=60°+Z.CAP,Z.CAE=Z.EAP+/.CAP=60°+Z.CAP

：.^BAP=乙CAE,

C.^ABPACE(SAS),

：.BP=CE,Z.ACE=匕ABD=30°,

设CE与4O交于点H,

同理可得乙4CD=2(ACH=60°,

：.CELAD,

又丁力。||BC,

：.CELBC.

(3)或7巡

4

23.【答案】(1)证明：••・四边形/BCD是菱形，

・•・AB=BC=CD=AD,

•・・乙B=60°,

:AACD,△力3c是等边三角形，

・•.BC=AC,Z.B=乙ACN=60°,

SABCM^OA。力N中，

BC=AC

Z-B=乙ACN,

、BM=CN

••.△BCM会△C4N(S4S).

(2)解：••・△BCMACAN,

••・乙BCM=乙CAN,

・・・Z.AEM=^ACE+2LEAC=AACE+乙BCM=60°.

(3)证明：如图，作。G14V于G,DHtMC,交MC的延长线于

・•・乙AEC=120°,

•・・乙DGE=/"=90°,

••・乙GEH+乙GDH=180°,

・••乙GDH=^ADC=60°,

・・・乙4DG=乙CDH,

在△DGA和中，

^DGA=^H=90°

^ADG=乙CDH,

、DA=DC

：^DGA^LDHC{AAS},

.•.DG=DH,

vDGLAN,DHLMC,

・•・乙DEG=乙DEH,

・・・DE平分乙4EC,

即4GED=60°,

在RtZkDEG中，v/_EDG=30°,

DE=2EG,

在△DEG和△DE”中，

ZDEG=乙DEH

(DGE=(H，

DE=DE

ADEG^ADEH(AAS),

・・・EG=EH,

MDGA义ADHC,

・・・GA=CH,

・•・EA+EC=EG+AG+EH-CH=2EG=DE,

即E4+EC=ED.

24.【答案】(1)C；30

(2)证明：如图2中，过点M作ME14。于点E,MF14B于点F.

NFB

图2

••・四边形力BCD是菱形,

・••力M平分4DAB,CD11AB,

・・・乙DAB+^ADC=180°,

•・•Z.ADC=120°,

・•・Z-DAB=60。，

vMELAD,MFLAB,

・・・ME=MF,^MEA=^MFA=90°,

・•・乙EMF=120°,

・・・乙DMN=120°,

・•.Z.EMF=乙DMN,

・・・乙DME=乙NMF,

・・・(MED=乙MFN=90°,

・・・MD=MN

(3)解：①证明：如图3中，

MN=MD,乙DMN=120°,

•••Z.MDN=30°,

^ADC=120°,

AADE+NCDM=120°-30°=90°=定值.

@22573-225

25.【答案】8g-12

26.【答案】，或6

27.【答案】(1)解：BE垂直平分AC,

理由如下：如图1,连接CE,

图1

•.•四边形ABCD是菱形，

；.AB=BC,ZACD=|ZBCD,ZADC+ZBCD=180°,

VAD^MN,

・・・NADC=NDMN,

VCM=MN,

・,.NMCN=NMNC,

JNDMN=NMCN+NMNC=2NMCN=ZADC,

VZADC+ZBCD=180°,

J1ZADC+lNBCD=90。，

JNMCN+NACD=900=NACN,

・・•点E是AN的中点，NACN=90。，

・・・AE=CE,

,.・AE=CE,AB=BC,

ABE垂直平分AC；

（2）解：BE=1AD+|CM；

理由如下：如图2,设BE与AC交于点O,

图2

•・,四边形ABCD是菱形，NABC=120。，

・・・AD=BC=AB,

VAB=BC,BE垂直平分AC,

・・・NABO=NCBO=60。，ZBOC=90°,AO=CO,

・・・NBCA=30。，

/.BO=1BC=1AD,

・・・AO=OC,点E是AN的中点，

AEO=|CN,

,.・CM=CN,NMCNqNADC=60。，

・・・CM=CN,

「・BE=BO+OE=1AD+|CM；

(3)解：如图3