2024年高考数学模拟卷（七省新高考）

2024年高考数学模拟卷（七省新高考专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.全集U=R,集合A={2,3,5,7,9},8=全,5,6,8},则阴影部分表示的集合是（）

A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}

2.已知复数2=与%(aeR),若z为纯虚数，则。的值为

1-1

A.—1B.—C.—D.1

22

3.若非零向量〃力满足{b-a)Lb,则〃与b的夹角是

7151

A.D.~6~

4.儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用.如图，在某节手工课上，小明

将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将毛线编制成一个彩球，放置于

圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型.已知彩球的表面积为1671cm"则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面

上点的最远距离）为（）

A.2y/3cmB.（2+2代卜111C.6cmD.473cm

5.“0Wx<l"是“2'+!<*”的（）

2，2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.数列｛见｝的前〃项和为S,,若该数列满足q,+2S“S"T=0（〃22）,则下列命题中错误的是（）

A.是等差数列B.S“=；

IAJ2n

C.%=一而身D.代,｝是等比数列

22

7.椭圆C:[+斗=1（。>6>0）上有两点A、B,可、工分别为椭圆C的左、右焦点，42耳是以心为中

ab

心的正三角形，则椭圆离心率为（）

A.近二1B.V2-1C.无匚D.73-1

22

8.定义在R上的函数/⑺满足：①〃x）+〃2-x）=0,②/（2x-l）是奇函数，则下列结论可能不正确的

是（）

A.是偶函数B./（x）=/（x+4）

C./（3）=0D.（x-l）〃x）关于x=l对称

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆£:（x-iy+y2=l和圆C2：x2+y2-4x—4y+4=0,则（）

A.圆C?的半径为4

B.V轴为圆G与C?的公切线

C.圆G与G公共弦所在的直线方程为x+2y-l=0

D.圆G与C?上共有6个点到直线2x-y-2=0的距离为1

10.已知由样本数据（乙,%）（，=1,2,3,，,10）组成的一个样本，得到经验回归方程为夕=2X-0.4,且元=2,去

除两个样本点（-2,1）和（2,-1）后，得到新的经验回归方程为:p=3x+B.在余下的8个样本数据和新的经验

回归方程中（）.

A.相关变量尤，y具有正相关关系

B.新的经验回归方程为9=3X-3

C.随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小

D.样本（4,8.9）的残差为一0.1

11.设抛物线cy2=8x的焦点为凡准线为/,点M为C上一动点，E(3,l)为定点，则下列结论正确的是

()

A.准线/的方程是x=-2B.的最大值为2

C.IMEI+I八屈I的最小值为7D.以线段M/为直径的圆与y轴相切

12.定义在R上的函数“X)满足：f(x)+r(x)>l,/(0)=4,则关于不等式6"四>产+3的表述正确的

为()

A.解集为(0,+“)B.解集为(-CO,0)U(3,~H»)

C.在［-2,2］上有解D.在［-2,2］上恒成立

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(x-，］(2x+，)5的展开式中，常数项为.

14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从TB(1TB=1O24GB)级别跃升到

PB(1PB=1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，

2008年全球产生的数据量为0.500ZB,2010年增长到L125ZB.若从2008年起，全球产生的数据量产与年份

/的关系为「二兄〃々00、其中外，。均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍.

15.已知函数〃x)=lnx,g(x)=—,写出斜率大于3且与函数y=〃x),y=g(x)的图象均相切的直线/

的方程：.

16.已知空间四边形A5CD的各边长及对角线8。的长度均为6,平面平面C3。，点M在AC上，

且AM=2MC,过点M作四边形ABCD外接球的截面，则截面面积的最小值为.

四'解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、

证明过程及验算步骤。

17.在5c中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知"为3c边的中点，AM-CB=a{a~b).

(1)求角C的大小；

(2)若一ABC的面积为4VL求ABC周长的最小值.

18.已知等差数列｛风｝满足%+%=4,且成等比数歹人

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)记7.为数列｛〃“｝前〃项的乘积，若叫<0,求，的最大值.

19.目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分

笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资

格考试的笔试，笔试成绩4~N(60,IO?),只有笔试成绩高于70分的学生才能进入面试环节.

(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人，求这6人中至少有一人进入面试的概率；

(2)现有甲、乙、丙3名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为不，设这3名学生中通过面试的人

数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据:若X~N3b2),则

尸(〃一X<//+cr)«0.6827,-2cr<X<//+2cr)«0.9545,P(//-3cr<X<4+3b)标0.9973,

0.841356«0.3547,0.977256«0.8710.

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AD//BC,AD_LCD,且AZ)=CD=20,BC=4后，PA=4.

⑴求证；ABLPC,

(2)在线段PD上是否存在一点M,使得二面角M-AC-O的大小为45。，如果存在，求B舷与平面MAC所

成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.

21.已知双曲线C与双曲线,-《=1有相同的渐近线，且过点A仅也,-1).

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵已知点。(2,0),E,尸是双曲线C上异于。的两个不同点，S.\DE+DF\=\DE-DF\,证明：直线E尸过定

点，并求出定点坐标.

22.已知。＞0且awl,函数/'(x)=loga尤

(l)^«=e,求函数,⑺在x=l处的切线方程；

(2)若函数/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.

2024年高考数学模拟卷（七省新高考专用）

•参考答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

9101112

BDABDADAC

第口卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13,-4014.1.515.y=x-\16.12兀.

四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、

证明过程及验算步骤。

17.（10分）【详解】（1）因为AM=；（AB+AC）,CB=AB-AC

由得，

整理，得"+62一°2=而，由余弦定理，得cosC1+"-

2ab2

又。£（0,兀），故0=三.

(2)由.ABC的面积为4月，得5〃Z?sinC=46,即"=16.

222

由(1)c=a+b-abJ

所以=+>2\[ab+\l2ab-ab=12.

所以当且仅当a=b=c=4时，等号成立，

此时一ABC的周长最小，且最小值为12.

18.（12分）【详解】⑴设｛4｝的公差为d,由&+%=4,得：2q+lld=4；

2=aa

由％q，生成等比数列，得：^4\5»即：（/+34）2=4（q+4d）,整理得：d（2q+9d）=0.

j2q+1Id=4

由+9d)=0解得:

所以：依｝的通项公式为。，=2或。“=2〃-11.

(2)因为q<0,所以：〃〃=2〃-11,

得：当〃45时，。〃<0；当〃>6时，。〃>。.

从而彳〈0,©。，小0,4〉0,公<0Z<0（北5）,

又因为：7；=。田2=63,7；=4。2a3a4=945,所以：的最大值为方=945.

故7”的最大值为945.

19.（12分）【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件A,由已知得:〃=60。=10,

所以尸（J470）="尸。X；小。）x"O'，=0.84135,

贝I」P（A）=l-0.841356-1-0.3547=0.6453,

即这6人中至少有一人进入面试的概率为0.6453.

（2）X的可能取值为0』,2,3,

1

24

11

24

P(X=3)=：x[x；=

4

则随机变量X的分布列为:

X0123

p(x)1£11£

244244

,E(X)=Ox—+lxl+2x—+3xl=—

v724424412

2Q(12分)【详解】(1)•,AD=CD=,BC=AyHAB=AC=4,AB"+AC2=BC2ABJ_AC

：PA_L平面ABCD,/.AB±PA.

面B4C,ACu面E4C,且PAAC=A,

，Afi工平面PAC,

:.AB±PC.

(2)取BC的中点E,连接AE,则AE_L8C,

建立如图所示的空间直角坐标系，

40,0,0),C(2A/2,2A/2,0),0(0,272,0),尸(。，0,4),

2(2五,-2&,0),尸。=(0,2应,-4),AC=(2&,2A/I,0),

设

则点”为(0,2万,4-4?),

所以AM=(0,2",4-4。，

设平面MAC的法向量是“=(x,y,z),

AC-n=2>/2x+2A/2_V=0

<

AM-n=2y/2ty+(4-4f)z=0

令x=l,〃=,(易知t=l不合题意)

又根=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，

।万।

■|cos<m,n)|=।2-2/二=s45o=—

lnllnlKCO2

解得f=［（t=2舍去），则M（0,殍

此时平面MAC的一个法向量可取n=（1,-1,^2）,BM=（-2后，当Ng

设8M与平面MAC所成的角为。，

则sin0=|cos<n,BM)|=------------=-

21.（12分）【详解】（1）因为双曲线C与己知双曲线有相同的渐近线,

设双曲线C的标准方程为x2-4y2=A,

代入点A（20,T）坐标，得（2&『-4X（-1）2=2,解得4=4,

所以双曲线C的标准方程为—-/=1

4-

（2）当直线E产斜率存在时，设跖：、="+相，

设〃石,％）网々,%），联立产H+加与双曲线亍-丁=1，

化简得（4犷-1）/+810nx+4（疗+1）=o,

A=（8kni）2-4（W+4）（4^2-l）>0,即4/一加2一1<0,

8km

X]+%2=―

4公—1

则有V

4m2+4

22

又X%=(g+m)(Ax2+m)=kxix2++x2)+m,

因为|。石+。百二口七一。尸|,所以DE-DF=(%1-2)(X2-2)+yxy2=0

22

所以(42+1)・%%2+(切-2)・(%1+x2)+m+4=0,

所以(42+1).^2+：+(加—2〉[3+"2+4=0,

化简得3M+16切7+20女2=0,

即(3根+10左乂加+2左)=0,

所以g=-2k,m2=一日

且均满足4422—1<0,

当叫二-2左时，直线/的方程为＞=左(1-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾,

当牡=-与左时，直线/的方程为y=(x-gj,过定点(gio)

(ii)当直线斯斜率不存在时，由对称性不妨设直线OE：y=x-2,

与双曲线C方程联立解得乙=号=修，此时跳'也过点.

综上，直线所过定点

22.(12分)【详解】(1)解：当a=e时，/(%)=InA+-ex2,贝l]/'(x)=』+ex,

2x

故/⑴=；+e=l+e,

x=l时，/⑴=lnl+ge=ge,故切点为[1,：”,

所以〃尤)在x=l处的切线方程为y-ge=(l+e)(x-l),

即y=(l+e)x-；e-l.

(2)函数/(无)有两个零点，

O方程log"X+：-=0在xe(O,y)上有两个根，

0方程竽=-galn。在xe(O,E)上有两个根,

,业乙Inx.-：alna的图象在xe(O,y)上有两个交点,

o函数y=r-与y=

X

设g(x)=绊,1—21nx

，贝Ug，(x)=

xx3

1_oi

,/、l-21nxnr

g\X)=^3>。时，0<x<血；g'(%)=---—<。时，x>yfe

，当X-+8时，g(x)fO,作图如下:

设/i(x)=xln%(%>0),贝I”(x)=1+Inx,

//(x)=l+lnx>0时，x>-,"(x)=l+lnx<0时，0<%<!；

所以M%)=%ln%在(。，31上单调递减，在(J+s］上单调递增,

e

因为Ovxvl时InxvO,且硝)=。,

所以当Ov九vl时，一，W/z(x)<。；当x>l时，/i(x)>0,

e

又因为MAin=1：=_：，

所以」1<xlnx<0的解集为

综上所述14

2024年高考数学模拟卷(七省新高考专用)

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.全集U=R,集合A={2,3,5,7,9},8={4,5,6,8},则阴影部分表示的集合是（）

A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}

【答案】C

【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.

【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为而全集U=R,集合A={2,3,5,7,9},8={4,5,6,8},

所以（2A）cB={4,6,8}.

故选：C

2.己知复数2=兴（aeR）,若z为纯虚数，则〃的值为

1-1

A.—1B.—C.■yD.1

2〜

【答案】D

【分析】由复数除法运算化简复数这代数形式，然后根据复数的定义求解.

…勘1+，工1+出I-。，1

【详解】由于z=-；—=—

1-122

•••z为纯虚数,.•.宁=0,等二0,解得a=l,

故选：D.

3.若非零向量满足（4-4b），a,（6-则£与6的夹角是

A.%B.三C.二D.

6326

【答案】B

【分析】根据向量垂直关系的表示及向量的夹角公式即可求解.

【详解】解：（。-46）La,

二.（a—4。）•a=。，即得J=4〃-b,

{b-a)Lb,

（b—a）-b=09即。=a，b，

a.ba.b1i1

\a\b\2LJ

7式

<a,b〉=—f

3

故选：B.

4.儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用.如图，在某节手工课上，小明

将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将毛线编制成一个彩球，放置于圆

锥底部，制作成一个冰淇淋模型.已知彩球的表面积为16兀cm?,则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面上

点的最远距离）为（）

A.2A/3CIIIB.（2+2白卜111C.6cmD.4^/5cm

【答案】B

【分析】先求圆锥的高和球的半径，再用勾股定理求彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离，最后根据题

意得到答案.

【详解】设圆锥的地面半径为r,贝！12口=2兀，解得r=l,所以圆锥的高=二F=

设彩球的半径为R,贝（14兀R2=16兀，解得尺=2.

由勾股定理可得彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离为"=7=唐,

所以该冰淇淋模型的高为2+若+g=2+2若.

故选：B.

5.“0Wx<l”是“2工+」~<』”的（）

2，2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】构造了。)，求出单调性，求出中x范围，再判断即可.

【详解】设:23则

/(f)=Z+j,fe[l,2),

2

r⑺=—1=t*-1，

当代[1,+8)时为增函数，te(O,l)时为减函数，

当问1,2)，时，所以"％11=/(1)=2,〃。2<"2)=3

所以℃<1时，r+^<|

又因为〃2)=dm，,故;<1<2,解得

所以“0Wx<1"是“2'+^<!”的充分不必要条件，

故选:A

6.数列｛见｝的前〃项和为S“，q=(,若该数列满足a“+2S“S"T=0(”22),则下列命题中错误的是()

A.是等差数列B.S“=《

IAJ2"

C.玛=一端取D.但,｝是等比数列

【答案】C

【分析】利用a„=S“-S,i可化简已知等式证得A正确；利用等差数列通项公式可整理得到B正确；由an与

S“关系可求得C错误；由S*=击，结合等比数列定义可知D正确.

【详解】对于A,当心2时，由%+2S£T=0得：S„-S,i+2sMT=。，

11cc1111c

--不+2=0,gp--=2,又「一二2,

dn-l---------------------------------dla\

,数列是以2为首项，2为公差的等差数列，A正确；

对于B,由A知：?=2+2(几—1)=2孔，B正确；

3〃2H

1_(n-l)-n_1

对于C,当〃22时，a=S〃—S_i=k

nn2(〃一1)2n(n—1)2n(n—1)

112'

经检验：不满足。〃=一^(，〃〃=<1，C错误;

2inyn-i)————-,n>2

2n(n-l)

对于D,由B得：S2„=-―^,/.S2„+1=—52„,又82=；,

，｛邑“｝是以:为首项，3为公比的等比数列，D正确.

故选：C.

22

7.椭圆C:[+2=l(a>b>0)上有两点A、B,6、F?分别为椭圆C的左、右焦点，是以居为中

ab

心的正三角形，则椭圆离心率为()

A.B.V2-1C.Jhl

D.73-1

22

【答案】C

【分析】根据题意，由条件表示出|明|的长，结合椭圆的定义，再由离心率的计算公式，即可得到结果.

【详解】

设A3边与x轴交于点。，且48久是以尸?为中心的正三角形,

则A3，月£>,且居为,、ABF,的重心，

由重心定理可得，|A用=|耳闾=2c,则闺D|=3c,

在Rt4耳。中，ZA^D=30°,则cos3(T=卜一，

所以|明|=2氐，由椭圆的定义可得，

=2。，即2Gc+2c=2。，

化简可得(石+l)c=a,贝心=£=-^=/工.

av3+12

故选：C

8.定义在R上的函数/(X)满足：©/(x)+/(2-x)=0,②/(2x-l)是奇函数，则下列结论可能不正确的

是()

A.7(元)是偶函数B./(x)=/(x+4)

C./(3)=0D.尤)关于x=l对称

【答案】A

【分析】利用已知条件分析函数的对称性和周期性，再验证各个选项的结论.

【详解】定义在R上的函数〃尤)，满足〃力+〃2-力=0,有/(2-％)=-/⑴，函数图像上的点(x,〃x))

关于点(1,0)的对称点为(2-x,-/(力)，即(2-x,〃2-x)),所以函数图像上的点关于点(1,0)的对称点也在

函数图像上，即函数图像关于点(1,。)对称；

/(2%-1)是奇函数，有〃-2xT)=—〃2xT),函数图像上的点(2x-l,/(2x-l))关于点(-1,0)的对称点为

(-2x-l,-/(2x-l)),即(―2xT/(-,所以函数图像上的点关于点(-1,0)的对称点也在函数图像上，

即函数图像关于点(TO)对称，点(羽/⑴)关于点(-1,0)的对称点(-2-X,-/(幻)，所以/(-2-x)=-/(x)；

：.f(-2-x)=f[2-x),^-2-x=t,则2-x=f+4,所以〃。=〃/+4),得函数周期为4,B选项正确；

由/(x)+〃2-x)=0,当x=3时，有〃3)+〃-1)=0,又函数周期为4,W/(3)=/(-l),所以

〃3)=〃-1)=0,C选项正确；

令g(x)=(x-l)〃x),g(2-x)=(2-x-l)f(2-x)=(l-x)[-/(x)]=(x-l)/(x)=g(x),所以g(x)的图像关

于x=l对称，D选项正确；

函数〃x)=sinm,满足题目中的条件，但"x)=sin7Ex不是偶函数，A选项错误.

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆G：(尤—1)+丁=1和圆C2:x?+—4x—4y+4=。，则()

A.圆C?的半径为4

B.y轴为圆C1与c2的公切线

C.圆G与C?公共弦所在的直线方程为x+2y-l=0

D.圆G与上共有6个点到直线2x-y-2=0的距离为1

【答案】BD

【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径

即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合

图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得.

对于A项，由圆C2:尤2+9-4为一4>+4=。配方得：(x-2)2+(y-2)2=4,

知圆C?的半径为2,故选项A错误；

对于B项，因圆心G(l,。)到V轴的距离为1,等于圆G的半径，故圆G与y轴相切,

同理圆心c?(2,2)到y轴的距离等于圆C2的半径，圆C?与y轴相切，故y轴为圆CI

与C2的公切线，故选项B正确；

对于C项，只需要将(x-1)2+y2=1与f+y2-4x—4y+4=0左右分另lj相减，

即得圆。与G的公共弦所在的直线方程为：x+2y-2=0,故选项C错误;

对于D项，如图，因直线2x-y-2=o同时经过两圆的圆心，依题意可作两条

与该直线平行且距离为1的直线4与6,其中《与4和圆G都相切，各有一个公共点，

4与4和圆C2都相交，各有两个交点，故圆G与C?上共有6个点到直线2x-y-2=0

的距离为1,故选项D正确.

故选：BD.

10.已知由样本数据(4%)(1=1,2,3,,10)组成的一个样本，得到经验回归方程为R2X-0.4,且元=2,去

除两个样本点(-2,1)和(2,-1)后，得到新的经验回归方程为:P=3X+B.在余下的8个样本数据和新的经验

回归方程中(),

A.相关变量x,y具有正相关关系

B.新的经验回归方程为9=3x-3

C.随着自变量x值增加，因变量>值增加速度变小

D.样本(4,8.9)的残差为一0.1

【答案】ABD

【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC,再由残差的概念判断D.

101

【详解】Z%=20,x新平均数—x20=2.5,y=2x2—0.4=3.6.

«=i8

y新平均数Jxl0x3.6=4.5,二4.5=3x2.5+8，；"=-3.

O

新的线性回归方程？=3X+B,x,y具有正相关关系，A对.

新的线性回归方程：f=3x-3,B对.

由线性回归方程知，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度恒定，C错；

x=4,y=9,8.9-9=-0.1,D对.

故选：ABD.

11.设抛物线C：y2=8x的焦点为代准线为/,点M为C上一动点，万(3,1)为定点，则下列结论正确的是

()

A.准线/的方程是x=-2B.|厩|-|至|的最大值为2

C.IMEI+IMVI的最小值为7D.以线段M尸为直径的圆与y轴相切

【答案】AD

【分析】根据抛物线方程求得直线方程，结合三角形的知识求得I处IT的最大值，结合抛物线的定义

求得|ME|+19|的最小值以及判断出以线段为直径的圆与y轴相切.

【详解】由题意得。=4,则焦点/(2,0),准线/的方程是x="=-2,故A正确；

|ME|-|MF|<|EF|=7(3-2)2+(l-0)2=72,

当点M在线段用的延长线上时等号成立，...IMEI-I龙4I的最大值为0,故B错误；

如图所示，过点M,E分别作准线/的垂线，垂足分别为A,B,

贝!J|ME|+|MV|=|ME|+|MA因£B|=5,当点M在线段£B上时等号成立，

.•.|腔|+|9|的最小值为5,故C不正确；

设点〃(x。,几)，线段M尸的中点为，则无0=¥=子，

二以线段上4为直径的圆与y轴相切，D正确.

故选：AD

12.定义在R上的函数〃力满足：/(x)+r(x)>l,/(0)=4,则关于不等式//(力>^+3的表述正确的

为()

A.解集为(0,+8)B.解集为(YO,0)U(3,~HX>)

C.在［-2,2］上有解D.在［-2,2］上恒成立

【答案】AC

【解析】构造函数g(x)=e［f(x)-l］,求导后可推出g(x)在R上单调递增，由"0)=4,可得g(0)=3,

原不等式等价于g(x)>g(O),从而可得不等式的解集，结合选项即可得结论.

【详解】令g(x)=e[/(x)-l],xeR,则g，(x)=,

.•.g'(x)>0恒成立,即g(x)在R上单调递增.

••,"0)=4,

.•.g(0)=e°[/(0)-l>3.

不等式，于(x)>e*+3可化为叫〃尤)-1]>3,等价于g(力>g(0),

.,.x>0,即不等式式exf(x)>e'+3的解集为(0,+“)，

则在[-2,2]上有解，故选项AC正确.

故选：AC.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学

生的转化思想.逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

第口卷(非选择题)

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.+的展开式中，常数项为_____

kxJx

【答案】-40

【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】由二项式展开式的通项公式可得+的展开式的通项公式可知通项公式为:

Tr+l=G（2x）“[J=C；x2,-453，

由于（x-J（2x+75=«2犬+1）--x^2x+—,

令5-2丁=1可得尸=2,令5-2尸=—1可得r=3,

据此可得其常数项为：Cfx25-3-C^x25-2=-40.

14.人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从TB(1TB=1O24GB)级别跃升到

PB(1PB=1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，

2008年全球产生的数据量为Q500ZB,2010年增长到L125ZB.若从2008年起，全球产生的数据量产与年份

f的关系为尸=稣。-2颐，其中心,°均是正的常数，则2023年全球产生的数据量是2022年的倍.

【答案】L5

【分析】通过题目数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解.

【详解】由题意，1.125=O.5«2010-2008,所以。=1.5,所以尸=0515-2008,

所以2022年全球产生的数据量为05153则2023年全球产生的数据量0S1.5、

所以2023年全球产生的数据量是2022年的"=1.5倍.

故答案为：1.5

15.己知函数/(x)=lnx,g(x)=］,写出斜率大于［且与函数y=/(x),y=g(x)的图象均相切的直线/

的方程：.

【答案】y=x-i

【分析】公切线问题，求导，再利用斜率相等即可解题.

【详解】=g(x)=J

=Jg(x)=^x,

设相切的直线/与函数y=/(x),y=g(x)的图象的切点分别为a，inxj,卜，・］，

111

且一f2＞-9

xl22

A1_1_n%,-T,且0＜大＜2,%〉］,

2xl-x2

解得=1,%2=2,

・・・两切点分别为(l,o),(2,1)

・•・与函数y=〃x),y=g(x)的图象均相切的直线/的方程为：忤％-1.

故答案为：y=x-i.

16.已知空间四边形ABCD的各边长及对角线5。的长度均为6,平面平面C5D,点M在AC上，

且AM=2MC,过点M作四边形ABCD外接球的截面，则截面面积的最小值为.

【答案】12兀

【分析】先由面面垂直的性质得到平面CBD,求得AE、CE、OH、AH,从而求得外接球的半径,

再由平行线分线段成比例的推论证得”,O,M三点共线，从而求得。拉，从而求得截面面积的最小值.

【详解】由题意知和△3CD为等边三角形，取3D中点为E,连接

则AE1BD,

由平面ABDJ_平面CBD,平面ABDc平面CBD=BD,AEu平面ABD

故平面CBD,AE=VAD2-DE2=762-32=373»则易知CE=4E=3g,

易知球心O在平面5co的投影为△BCD的外心。1,

在AE上作O/7LAE于H,易得OH//QE,OO"/HE,

则在RtAO/M中，OH=®AH=26,

所以外接球半径r=yJOH2+AH2=715）连接OM，

因为AH=2HE,OHIICE,AM=2MC,

所以三点共线，所以OM=MH-OH=^CE-OH=6,

当"为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为Jr?-。”="&可（石『=26,截面面积为

兀（2小了=12兀.

故答案为：12%.

四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分，解答应写出必要的文字说明、

证明过程及验算步骤。

17.在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知Af为8C边的中点，AM-CB=^~^-.

（1）求角C的大小;

(2)若一AfiC的面积为46，求ABC周长的最小值.

【答案】(i)c=1

⑵12

【分析】(D由平面向量的线性运算可得AM-CB=，/-〃)，由题意可得片+从一°2=必，结合余弦定

理计算即可求解；

(2)根据三角形的面积公式可得必=16,由(1),结合基本不等式计算即可求解.

【详解】(1)因为AM=g(A3+AC),CB=AB-AC，

所以AM.GB=g(A/_Ac2)=；d_62).

由=得上/一⑹

整理，得/+62一°2="，由余弦定理，得cosC=="工，.

2ab2

又0£(0,兀)，故0

C

(2)由J1BC的面积为43，得;QbsinC=46,即必=16.

由(1)^c2=a2+b2-abt

所以a+b+c=〃+/+/?-ab>l^fab+Vlab-ab=12-

所以当且仅当a=A=c=4时，等号成立，

此时ABC的周长最小，且最小值为12.

18.已知等差数列｛%｝满足％+%=4,且a见，生成等比数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)记7.为数列｛?｝前〃项的乘积，若%<0,求，的最大值.

【答案】⑴。"=2或。"=2"一11

(2)945

【分析】(1)利用4+%=4,和%&，%成等比数列结合等差数列和等比数列知识，从而求出首项和公差,

从而求解.

(2)根据(1)中结果并结合题意进行分情况讨论，从而求解.

【详解】(D设也,｝的公差为d,由%+%=4,得：24+114=4；

2

由6，%,生成等比数列，得：tz4=axa5,即：(q+3d)2=.(%+4d),整理得：d(2q+9d)=0.

j2《+lld=4Jq=2J%=-9

由卜(2q+9d)=(V解得:]d=0或1=2,

所以:a｝的通项公式为。“=2或%=2a-11.

(2)因为q<0,所以：4=2--11,

得：当〃45时,〃〃<°；当〃26时,。〃>0.

从而爪0,(>0,j0,幻0,公<0,7；<0(«>5),

又因为：5=o1a2=63,7；=%。2a3%=945,所以:1的最大值为工=945.

故，的最大值为945.

19.目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分

笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2022年共有10000名考生参加了中小学教师资

格考试的笔试，笔试成绩A~N(60,102),只有笔试成绩高于70分的学生才能进入面试环节.

(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取6人，求这6人中至少有一人进入面试的概率；

(2)现有甲、乙、丙3名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为32;设1这3名学生中通过面试的人

数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据:若X~N(〃02),则

尸(〃-O-<X<//+CT)«0.6827,P("—2b<X<//+2b)«0.9545,P("—3a<X<//+3b)«0.9973,

0.841356®0.3547,0.97725s»0.8710.

【答案】⑴。.6453

23

(2)随机变量X的分布列见解析；期望为工

【分析】(D由正态分布的对称性有尸监w70)=匕处/求各学生能进入面试的概率，再由独立事

件的乘法公式及对立事件的概率求法，求6人中至少有一人进入面试的概率.

（2）求出X的可能取值为0」,2,3的概率，写出分布列，由分布列求期望即可.

【详解】（1）记“至少有一人进入面试”为事件A,由已知得:〃=60,10,

所以P（JW70）="尸（囚；〃归。）。1+。,7=084135,

贝！|P⑷=1-0.841356»1-0.3547=0.6453,

即这6人中至少有一人进入面试的概率为0.6453.

（2）X的可能取值为0』,2,3,

11

24

11

24

P(X=3)=：xgxg=

4

则随机变量X的分布列为:

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，Bl_L平面ABCZ),A。〃BC,A。_La),且AO=CZ)=20,JBC=4拒，PA=4.

C

⑴求证；ABLPC,

(2)在线段尸£>上是否存在一点M,使得二面角M-AC-。的大小为45。，如果存在，求