河北省2024届高三大数据应用调研联合测评（VⅢ）数学试题含答案

绝密★启用前

河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评（皿）

数学

班级姓名

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题G%选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮橙干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效；

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

4—；

1.已知复数Z==T（i为虚数单位八；则复数2在复平面内对应的点所在的象限为

O0J

A.第一象限“第工象限C.第三象限D.第四象限

2.抛物线1=2力＜.0九点B（2,2）,则其准线方程为

A.j=-B.J-=——C.y=^

3.已知集合A={z|，+l&0},B={?”og2(H+2,,C={彳|尸+2]一3<0},则(储)D

(BAC)=

A.{xI—3<x^-1)B.{T\—2<Zx&-1)

C.(x|-l<a:<l}D.巨|一1<才V2)

4.在△ABC中，/|汽为|=6,\AC\=3,AM=2MB,C—=NM,则

AN•CB=

c17

A.-9B.5

BL

C.9D.18

5.设a＞0,a#l，若函数/（工）=（品三1+。）1。氏\＜）是偶函数）则。=

A4B-fD.3

6.在正三棱锥P-ABC中，AB=2,M，N分别是PB,BC的中点，AM1PN,则三棱锥

P-ABC的体积为

A76n75c瓜nV2

A-TB-TC-TD-T

高三数学第1页（共4页）

7.已知椭圆Ca+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为F）,入，过色向圆，+/」/引切

线交椭圆于点P,0为坐标原点，若IOP|=|OFJ，则椭圆的离心率为

A.｝B.与C，4D.|

8.已知函数/Cz）=ln々扣1—az有两个零点为，且不〈孙，则下列命题正确的是

2]

A.a>lB.ii+rr2V—C.x\•了2<1D.z?—nJ〉---1

aa

二、选择题（卷题哄3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求，物选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.后知函数/（?）=sin信工一卷）的图象向左平移;个单位后得到g（z）的图象，则下列结论正

确的是

A/、/4,2TV\

A.g（x）=cosl—J：+—I

'OJ/

B.gGr）的图象关于对称

C.g（z）的图象哭多上一堂,0）对称

D.g（z）在（一，,9）上单调递增

10.已知4（0,原'）,8（0，亨），动点尸（才,心满愿Ml三原'IPBI,则下列结论正确的是

A.点P的轨迹围成的图形面积为"

B.IPBI的最小值为11

C.P,,P是诙的住每两个位置点，则NPiAPzW?

2O

D.过点lx，R的直线与点P的轨迹交于点M,N,则MN的最小健身笈

11.已知数列｛a"是公差为d（d¥0）的等差数列，若它的前，物（1自”1）项的和S2nl=0,则下列结

论正确’的是

A.若d<0,使a“>0的最大〃的值为m

B.S“是S”的最小值

C.3二+。工+2=。"+3a：+i

D.4m—1+。小。小+|+^^+2

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分）

12.已知tana=72，则cos2a=.

13.已知正项等比数列｛a"的前n项和为S“，若加GN.且22ms3„,+S„,=（2级+1与2巾，则数列

｛a„｝的公比为.

高三数学第2页（共4页）

14、一个I.两个2,三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为;相同数字

不相邻的概率为

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小期满分13分）某公司招聘大学生的笔试测试题有一道五分的不定项选择题,共有AJ3、

C三个选项，该不定项选择题正确答案最少一个选项，最多三个选项，全•部选对得6分，部分

选对得部分分.即若有三个划项正确，某同学选择了两个正确选项，可得4分,选择一个正确

选项可得2分，有逅错的相。分，若有两个正确选项,选择一个正确选项可得3分,有选错的

得0分.某同学七个选项均不会做，只能够运气猜，每个选项选与不选的概率均占已知该

同学对该意选挣了若干个答案.不会不选.

।邙该同学对该题选择两个答案的概率；

力若该题正确答案是BC,求该同学得分X的分布列和数学期望.

16.（本小题满分,在校长均相等的正三棱柱ABC-AiBC.帜4喔就：的中点，E是AC

的三等分点，且力E=2EC.

⑴在梭AC上找一点F,使BF〃平面EDC~

（2）在（1）的条件下，求平面DFC1与平面D£C,夹序的余弦值.

17.（本小题满分15分）如图，在平面四边形ABCD中，人用中》卜沙2乙CAB,

120°.设/DAC=O.

（1）若AD=2,求BD的长；

（2）若NADB=15°.求tan9.

高三数学第3页（共4次）

18.(本小题满分17分)已知圆尸：(工-2)2+/=12](—2,0),过E的直线与圆F交于A,B

两点，过E作AF的平行线交直线BF于H点.

(1)求点H的轨迹C的方程；

(2)过F作两条互相垂直的直线/】交曲线C于B,Q),Z2交曲线C于P”Qz，连接弦

PiQ)的中点和P9的中点交曲线C于M,N,若或•两=瞿,求。的斜率.

1O

19.(本小题满分17分)过点PCa力)可以作曲段牛I的两条切线，切点为A，8.

(1)证明：a(6—〃)>—"■；

e

(2)设线段AB中点坐标为匕1_,「人证明：〃+义>6+工0.

河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评(VID)

数学参考答案及解析

题号1234567891011

答案ADCCDBCDBCDABDACD

(4—17-1-17111

1.A【解析】==­；.、*」_<=右*=5+右，・・・复数「在复平面内对应的点所在的象限为第一象

限，故选A.

2.D乂解析】将P点坐标代入抛物线方程得力=1,故抛物线的准线方程为,=一处.故选D.

3.C【解析】A=(-8,-11，B=(-2,2),C=(-3,l),则(CI(A)n(BnC)=(-l,l),故选C.

4.C［解析］如图，俞/+:而?=*福丽7-CB=(yXc+jAB)(AB-AC)=

-^-AB2+—AB,AC—T-ACZ=12+-^-X6X3X5—1*=9,故选C.

3oZ6ZL

5.D【解析】设g（£）=J-g+a,h（a，）Tog。G/M+l—z），，/2（—£）=—〃（1）"（1）是奇函数，

a-I

a2—3/—a

.”（•r）也是奇函数，则g（—1）=-g（;r）r;--+a=----;~--a，解得a=3.故选>

a—1a

6.B【解析】取PC中点H,连接MH交PN于2,・・・尸/7_1_乂"/31_平面人乂•，・・・人。_1口/\/,£）是

W，v=

PN的中点，二PA=AN=6■，设AABC的中心为O,二=-AO'=

:X4XZ'X半=咚，故选B.

J4Oo

7.C【解析】设切点为M,连接PF-由已知IOPI=|OFzl=|OB|,・・・PF」PF2，・・・OM，PF2，・・・OM〃

2z222

PF},IPF|I=b,IPF21=2a—b,*.bF（2a—6）=4c=4（a—6）,—=-^-,e=—=-^-.故选C.

a6ao

InJ'+1In.7'+1

8.D【解析】由/a)=°可得”;丁，令g(z)=丁，其中z>。,

则直线y=a：与函数g(工)的图象有两个交点,g'Cr)

由g'Cr)>0可得OVzVl,即函数g(z)的单调递增区间为(0,1),

由/(工)<0可得了>1,即函数8包)的单调递减区间为(1,+8).

且当0<7<,时，目包)=应？+1<0,当工>工时，gGr)=①©1>0,如下图所示:

exex

由图可知，当0<a<l时，直线_y=a与函数gCr)的图象有两个交点，故A错误;

高三数学参考答案第1页(共6页)

由图可知，,VR1VIV尤2，

e

11—ftT*11

因为/'Cr）=一一a=——二，由/（工）＞0可得OVhV-,由/'（z）V0可得Z〉一,

xxaa

所以，函数/（z）的增区间为（0,?）,减区间为（：，+8）,则必有0＜叫＜5＜孙，

121

所以，0V]i＜一，则---1]＞一,

aaa

—n)—Inx+ax，其中OVzV一，

'a

1

j------

则/(J')=」T—!+2a、aV0,则函数A（z）在（0,；）上单调递减.

X--------*9

所以，/,（叫）＞/＞（!）=0,即/（2一叫）一/（叫）＞0,即/（为）〈/（?一工），

又/（叫）=0,可得一工J，、

因为函数/Cr）的单调递减区间为则一以，即为+4＞?，故B错误

axx=lnJ*.+1—...』一，.ln(X]X)+2

由，两式相加整理可得以2

+1a

axz=lnx2+1

所以，m（以比2）＞0、可得了「科》1，故C错误；

由图可知工'＜了|，则一工1〉—1,又因为孙＞^■，所以，叫一1.上一1.故D正确.故选D.

¥a

9.BCD【解析】g(i)=sin=sin(9+/上手外"+尹方)=-cos佶z+巧,

\JJ/

故A错误；由8倍）=1,得B正确；由g（—9）=0,在C正确；由2后44%+等47：+2后,得一怖+

'of0＜5/

/

竽入学工,当k=0时,一,工」〈亍•卷D1E确.故选BCD.

10.ABD【解析】由|PA|=®iPBi得:工+(^-V2)2=2x2+，即储+1=1,面积为K.A

正确；点B在圆内,由图知|PB|最小值为1一冬,B正确，过A向圆引切线,两条切线夹角为三.C不正

确.过点I的直线与点P的轨迹交于点M.N,则MN的最小值为&,D正确，故逸ABD.

11.ACD【解析】由已知得*_]+amJrZ=am+%+1=0,若IV0・a0,明,、、0,A正确；当IV。时，S.

是Sn的最大值，B不正确;3J(aOT-i+am+2)=3J(am+am+i-).Alaaw-i)(««-1+%+2)=3(um-i

。切）（。切+。切+1），；・3a：+a：+2+3Q，],C正肺[同理a+am+l（6,+2+a,"），两边乘以

2d得(a-]+々”,i)(%+])=—(a1M+2+£沙口—2一々《,)，整理得a.i+a：=a：+i+a：+2，故D

正确.故选ACD.

2_

12.【答案】

3

cos2a-sin，1-tan，1

【解析】cos2a=cosa—sinwa

si/a+cos，1+tan，3,

13.【答案】｝

高三数学参考答案第2页（共6页）

【解析】方法一：令7〃=1,・=4(。1+^2+。3)+。I=5(。I+々2)，々2=4々3，q=t".

方法二：22'“(S3,”~~s2m)=s21rt~s,„，:・(1='s'"'[s'"=(十)，•二q=7p

14.【答案】10(2分)《(3分)

【解析】先将122排好，有三种排法122,212,221,然后将三个3插入，对于122,先将两个2中间插入一

个3,将剩下的两个3插入三个空隙有C：=3种插法，同理，221也有3种插法，对于212,四个空隙,插入

三个3,有C；=4种插法,共有10种.而这6个数组成的六位数共有gr=60种，其概率为瞿=《.

AjAj606

15.【解】(1)设“该同学对该题不会空选”为事件A,“该同学选择两个选项”为事件B,且BUA.……1分

P(A)=l-(y)=9,............................................................................................................................2分

P(B)=CI(|)3=|,............................................................................................................................3分

P(AB)=P(B),....................................................................................................................................4分

由条件概率,P(BlA)=》P(A*R')=右3....................................................6分

(2)由已知，X=0,3,6,......................1...................................................................................................7分

\2/1

P(X=6)=P(A)=7..............................................................................................2......................8分

2(9)2八

P(X=3)--p^y=y,........................................................................................................................9分

4

P(X=0)=y..............................................................................，：..............................10分

其分布列为

X036

£2

P777

E(X)=0Xa+3乂7+6义：=争........................................................13分

16.【解】(1)方法一；连接FC,交CE于H,连接DH,......................................................................1分

TBFU平面BFC,BF〃平面DEC,,

平面BFCPI平面DEC|=DH,

:.BF//DH.......................................................................................3分

'."FCJ/EC,

：.FC、=EC,..........................................................4................................................................................5分

：.AiF=2FCt,

.•.F是A|G的靠近点C1的三等分点......................................................6分

方法二：取AE的中点G,连接BG,

：.BG//DE,...........................................................................................................................................1分

过G作GF〃EG交AG于F,连接BF,

高三数学参考答案第3页(共6页)

...BG〃平面DEC）,GF〃平面DEC,,

J.平面BGF〃平面DECi,...............................................................3分

••.BF〃平面DEC,,.....................................................................................................................................4分

GE』FG=%G，

••.F是AC的靠近点G的三等分点......................................................6分

（答出A,F=2FC,等也给分）

（2）设棱长为6.以DA、DB为z、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

C（0,-3,0）,Ct<0.-3,6）,E（V3,-2,0）,F（V3,-2,6）................7分

DC]—（0.-3.6）,DE=（乃，-2.6）»DF=（73»—2,6）,...........8分

设平面DFQ的法向量为，”=（心，"，zi）,

.Jm-DF=0,2ZL2W+6ZI=O,

IAW•DC）=0»l—3y]+6z[=0,

令£i=1，工加=（1,一氐、一........................................10分

设平面DEG的法向量为〃=（孙，山，如），

.,•DE=0,悴孙一2yz=0，

In,DC।=0.I—3y2+6z2=0,

12分

14分

所以平面DFg与平面DEC1夹角的余弦值为15分

boy

17.【解】（1）在△AC。中,由正弦定理得：

AC_AD

sinZADC=sinZACD

即sin120°=sinNACD，..............'.............................................................................................................2分

解得NACD=30°,.........................................................................................................................................3分

在△ABD中.由余弦定理得BDZ=i2+4-2X2X2痣cos150°=28,................................................5分

BD=241...........................................................................................................................6分

（2）由已知NBAD=120°+0,；NADB=15",........................................................................................7分

.•.在中，上Z-分

aABDsin15sm（120+。）..................................................................................................8

NDBA=45°-<9,NCBD=0-15°,

ZBDC=105°,ZBCD=9O°-6>,.............................................................................................................11分

...在△BCD中，sEi05°=sin（90°一夕）'...................................................”分

_6cos02石sin（120°+。）

cos150sin150

高三数学参考答案第4页（共6页）

/.tan^=6-3V3.................................................................................................................................15分

18.【解】（D如图，・・・EH〃AF"・NHEB=NFAB,.................................................................................1分

又・・・AF=BF,・・・HE=HB,................................................................................................................2分

A

即以,fHE=BF=26■，当A,B两点互换时，HE—HF=26\.....................................................4分

•.笈殖的轨迹是以E、F为焦点，实轴长为2居的双曲线,a=6;c=2,b=l,即《一y2=l...........6分

⑵显然I与"的斜率存在,且不为0.设乙：»=MH-2）,巳（Hi，w）,Q1（Z2，，z），

将4的方程代入C中整理得式1-3/）储+12公工一。於，+3）=0,..............................................7分

J1-34W0,

则］

lzl=144^,+4（l-3^2）（12^2+3,）<，

.I12及2.44.r>AX“Id.,/6/2k\c八

••小=中点为..................8分

1.6—2k\

用一M代换A可得匕Q的中点,励丁丁・丁丁，.......................................9分

k'3一々3—4'

2k-2k

“2_1Q—L22b

；・MoNo俏斜率也是MN的斜率=---------=——-----1・...............................10分

64“63（4^11

3-—1-3一-

...MN的方程为/_力号]=-&“?1、（工一:，•当y¥0时.H=3.

34—13（々一1）\我1

；・MN恒过点（3,0）,..........................................................................................................................11分

设MG?，八）/NG।,yi）,MN的方程为/Y工-3,

代入C中整理得：（〃一3））2+6x*信u,......................................................................................12分

,一3瓷0,

[△=36〃-24（12—3，”，

；■》3+y4=一.….、、*----,............................................・“・・・7”・.•…13分

—18—27—3/2

X+JT=/（v十v）+6=-------=-------------；--------,...............................…・・・e・.ei・・+....................14分

34/­—3厂—3

―►―>619

•••FM•FN=（x-2）（x12）+y3M=1+《一""；=

3t—3lo

解得〃=16"=±4,满足②，.............................................................15分

二一二^=士4,解得/=士3或4=士;，满显功人

.•决=±3或&=士....................................................................17分

19.【解】（1）设切点A（，，e'+，），y'=l+e'，.............................................................................................1分

八=1+3=吐包」，即关于，的方程（（一。一1）3+。一。=0有两个不相等的实数根.......2分

t-a

设/（£）=（2-a—De'+6-a,・•・/'（/）=（，一a）e'=0,z=a,.............................................................3分

高三数学参考答案第5页（共6页）

故/（Z）在Z=a处取得极小值也是最小值/（a）=。一a—e0,.....................................................4分

当/f+8时,/Q）f+8,当/f—8时,/Q&，若满足方程有两个不相等的实数根,

•'•OV6—aVe",a>ln(6——a),a(Z?——a)>(5——a)ln(6——a),...............................................................6分

设g(«r)=zlnn,；・g'(x)=l+ln%=O,z=-^-,.....................................................................................7分

e

；・gCr)在力=工处取得最4值g(')=—,・.〃(〃—)>—........................................................8分

e\e/ee

(2)设A(』i4wJ.8(^2,32)，；・*=9(、1+,2)=9(e「+e，)+io.................................................9分

A—/7b—(1

由<1)知•人一(a+DT-T-二。』-(。+1H—7—=0,................................................................10分

ee2

(r—1)e,F

两式相减整理得山一a='1「2'—・...........................................................11分

e1—e2

(彳】一i2)e”1,e!4ke-e

(6-a)—(y-XQ)=------7------7-------------(e'e)=7------7—2(^j—x)

Qe*-e2-2(e*-e2)L2e.

---------------|2(为一i2)-e•—,・•............................................................................................13分

2(e-e)L

不妨设乃>12，〃[=不•1••，，・■・--------->0.则力(〃2)=2〃?一(e'”-e)...................14分

2(e—e)

/1‘(〃z)=2-LE-，"、2—2=0,.........................................................................................................15分

；・h(m)在mW<0,T~0°)上单调递减，:・h("?X/z(0)=0,..................................................................16分

ACb——a)——(v——)V0,即a+)。>6+10........................................................................................17分

高三数学参考答案第6页（共6页）

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数学

班级姓名

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题G%选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮橙干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效；

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

4—；

1.已知复数Z==T（i为虚数单位八；则复数2在复平面内对应的点所在的象限为

O0J

A.第一象限“第工象限C.第三象限D.第四象限

2.抛物线1=2力＜.0九点B（2,2）,则其准线方程为

A.j=-B.J-=——C.y=^

3.已知集合A={z|，+l&0},B={?”og2(H+2,,C={彳|尸+2]一3<0},则(储)D

(BAC)=

A.{xI—3<x^-1)B.{T\—2<Zx&-1)

C.(x|-l<a:<l}D.巨|一1<才V2)

4.在△ABC中，/|汽为|=6,\AC\=3,AM=2MB,C—=NM,则

AN•CB=

c17

A.-9B.5

BL

C.9D.18

5.设a＞0,a#l，若函数/（工）=（品三1+。）1。氏\＜）是偶函数）则。=

A4B-fD.3

6.在正三棱锥P-ABC中，AB=2,M，N分别是PB,BC的中点，AM1PN,则三棱锥

P-ABC的体积为

A76n75c瓜nV2

A-TB-TC-TD-T

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7.已知椭圆Ca+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为F）,入，过色向圆，+/」/引切

线交椭圆于点P,0为坐标原点，若IOP|=|OFJ，则椭圆的离心率为

A.｝B.与C，4D.|

8.已知函数/Cz）=ln々扣1—az有两个零点为，且不〈孙，则下列命题正确的是

2]

A.a>lB.ii+rr2V—C.x\•了2<1D.z?—nJ〉---1

aa

二、选择题（卷题哄3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求，物选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.后知函数/（?）=sin信工一卷）的图象向左平移;个单位后得到g（z）的图象，则下列结论正

确的是

A/、/4,2TV\

A.g（x）=cosl—J：+—I

'OJ/

B.gGr）的图象关于对称

C.g（z）的图象哭多上一堂,0）对称

D.g（z）在（一，,9）上单调递增

10.已知4（0,原'）,8（0，亨），动点尸（才,心满愿Ml三原'IPBI,则下列结论正确的是

A.点P的轨迹围成的图形面积为"

B.IPBI的最小值为11

C.P,,P是诙的住每两个位置点，则NPiAPzW?

2O

D.过点lx，R的直线与点P的轨迹交于点M,N,则MN的最小健身笈

11.已知数列｛a"是公差为d（d¥0）的等差数列，若它的前，物（1自”1）项的和S2nl=0,则下列结

论正确’的是

A.若d<0,使a“>0的最大〃的值为m

B.S“是S”的最小值

C.3二+。工+2=。"+3a：+i

D.4m—1+。小。小+|+^^+2

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分）

12.已知tana=72，则cos2a=.

13.已知正项等比数列｛a"的前n项和为S“，若加GN.且22ms3„,+S„,=（2级+1与2巾，则数列

｛a„｝的公比为.

高三数学第2页（共4页）

14、一个I.两个2,三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为;相同数字

不相邻的概率为

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小期满分13分）某公司招聘大学生的笔试测试题有一道五分的不定项选择题,共有AJ3、

C三个选项，该不定项选择题正确答案最少一个选项，最多三个选项，全•部选对得6分，部分

选对得部分分.即若有三个划项正确，某同学选择了两个正确选项，可得4分,选择一个正确

选项可得2分，有逅错的相。分，若有两个正确选项,选择一个正确选项可得3分,有选错的

得0分.某同学七个选项均不会做，只