江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

2024-2025学年第一学期高三年级期初学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，3．设集合，，若，则a＝（）A．2B．-1C．1D．-24．已知a，b，c为实数，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．已知函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（）A．B．C．D．（3，＋∞）6．若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知函数，若，则的最小值为（）A．B．3C．2D．8．已知函数f（x）的定义域为R，且满足，f（x）的导函数为g（x），函数为奇函数，则g（2024）＝（）A．1B．3C．-1D．-3二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．的一个必要不充分条件是B．若集合中只有一个元素，则C．若，使得成立是假命题，则实数m的取值范围为D．已知集合，则满足条件的集合N的个数为410．已知，，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．11．设函数，则下列说法正确的是（）A．若函数f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（-∞，0]B．若函数f（x）有3个零点，则实数a的取值范围是（8，＋∞）C．设函数f（x）的3个零点分别是，，（），则的取值范围是D．任意实数a，函数f（x）在（-1，1）内无最小值三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上．12．已知随机变量，且，则的值为________．13．设，，，则a，b，c的大小关系为________（用“＜”连接）．14．若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合，．（1）分别求，；（2）已知集合，若，求实数a的取值范围．16．（15分）已知函数．（1）若不等式的解集为（1，2），求f（x）的表达式；（2）解关于x的不等式．17．（15分）随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取500人进行调查，得到如下表的统计数据：周平均锻炼时间少于6小时周平均锻炼时间不少于6小时合计60岁以下8012020060岁以上（含60）60240300合计140360500（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？（2）现从60岁以上（含60）的样本中按周平均锻炼时间是否少于6小时，用分层随机抽样法抽取10人做进一步访谈，再从这10人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少于6小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式及数据：，其中．α0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82818．（17分）如图，四棱锥P-ABCD中，，，，．（1）若，证明：；（2）若，且二面角A-CP-D的正弦值为，求AD．19．（17分）设函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“一阶有界函数”．（1）判断函数和是否为R上的“一阶有界函数”，并说明理由：（2）若函数f（x）为R上的“一阶有界函数”，且f（x）在R上单调递减，设A，B为函数f（x）图像上相异的两点，直线AB的斜率为k，试判断“”是否正确，并说明理由；（3）若函数为区间[0，1]上的“一阶有界函数”，求a的取值范围．参考答案1．C2．D3．C4．B5．B6．D7．A8．A9．AD10．BCD11．BCD12．0.313．14．15．（1）∵，∴∴∴（2）因为集合，，当时，，满足条件；当时，，则，即，综上所述，．16．（1）∵的解集为（1，2），∴1，2是方程的根且∴∴∴（2）当时，，∵∴，∴当时，，即，即当时，，∴或当时，（ⅰ）当时，无解（ⅱ）当时，（ⅲ）当时，综上所述：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为17．（1）提出假设：周平均锻炼时长与年龄无关联，由列联表中的数据，可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联；（2）抽取的10人中，周平均锻炼时长少于6小时的有（人），不少于6小时的有（人），则X所有可能的取值为1，2，3，所以，，，所以随机变量X的分布列为：X123P所以数学期望．18．（1）因为，而，所以，又，，，所以，而，所以．因为，所以，根据平面知识可知，又，，所以．（2）法一：以DA，DC为x，y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz：令，则A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），，，设平面ACP的法向量，所以，设，则，，所以，设平面CPD的法向量为，所以，设，则，，所以，因为二面角A-CP-D的正弦值为，则余弦值为，又二面角为锐角，所以，解得，所以法二：如图所示，过点D作于E，再过点E作于F，连接DF，因为，所以，而，所以，又，所以，根据二面角的定义可知，即为二面角A-CP-D的平面角，即，即．因为，设，则，由等面积法可得，，又，而为等腰直角三角形，所以，故，解得，即．注：其他做法相应给分．19．（1），在R上恒成立，故是R上的“一阶有界函数”；，，当时，，故不是R上的“一阶有界函数”．（2）正确．若函数f（x）为R上的“一阶有界函数”，则，又f（x）在R上单调递减，即，所以，令，，所以F（x）在R上单调递增，设，，其中，故；又f（x）在R上单调递减，所以，，故；（3）函数，若h（x）为区间[0，1]上的“一阶有界函数”，则，对恒成立则，，；，，，则．令