江苏省南通市海安高级中学2024届高三上学期1月学情调研《数学》试题（解析版）

第第页2024学年第一学期高三1月份学情调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解.【详解】由得当时，，故选项A不正确；，当时，，故选项B不正确；当时，，故选项C不正确；因为，所以，故选项D正确.故选：D.2.已知向量，，若与反向共线，则的值为（）A.0 B.48 C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量反向共线求得，再应用向量线性运算及模长的表示求.【详解】由题意，得，又与反向共线，故，此时，故.故选：C.3.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑､园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为米，侧棱长为5米，则其体积为（）立方米.A. B.24 C. D.72【答案】B【解析】【分析】作图，根据正四棱锥的性质求解高即可得体积.【详解】如图所示，在正四棱锥中，连接于，则为正方形的中心，连接，则底面边长，对角线，.又，故高.故该正四棱锥体积为.故选：B4.若幂函数在区间上单调递增，则（）A. B.3 C.或3 D.1或【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果.【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，所以且，由，得或，当时，，满足题意；当时，足，不符合题意.综上.故选：A.5.若n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】根据第六十百分位数，结合二项式通项公式进行求解即可.【详解】因为n为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，，所以，二项式的通项公式为，令，所以常数项为，故选：A6.某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（）A.72 B.84 C.90 D.96【答案】B【解析】【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由四边形为矩形，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再在中利用余弦定理即可求解.【详解】如图，因为四边形为矩形，所以（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为.直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，由解得，或所以，或，.不妨设，，又，所以，.在△AMN中，，由余弦定理得，即，则，所以，则，所以.故选C.8.在平面直角坐标系中，设都是锐角，若的始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与圆交于点，且，则当最大时，的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意的始边都与轴的非负半轴重合，得出，最后计算即可.【详解】，，.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知复数，，则下列结论正确的是（）A.方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆B.方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆C.方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支D.方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线【答案】AC【解析】【分析】根据复数模的几何意义，及椭圆、双曲线的定义逐项分析即可.【详解】由复数模的几何意义知，表示复平面内点与点之间的距离为定值2，则在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；由复数模的几何意义知，表示复平面内点到点和的距离之和为，又，不满足椭圆的定义，故B不正确；由复数模的几何意义知，表示复平面内点到点和的距离之差为1，又，满足双曲线的定义，故C正确；对于D，可化为，表示复平面内点到点和的距离相等，轨迹是直线，故D不正确，故选：AC.10.数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中满足关系式：，则（）A.B.数据的平均数为C.若数据，则D.若，数据不全相等，则样本点的成对样本数据的样本相关系数为【答案】AD【解析】【分析】利用平均数的定义相关公式以及方差的定义相关公式即可判断选项ABC，结合样本相关系数的概念即可判断选项D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，其平均数为，故B错误；对于C，，因为，故，而当时，，满足条件，但此时可以不都相等，故C错误；对于D，由样本相关系数的概念可知，D正确.故选：AD11.袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求解公式逐项验证.【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，故；从而，故选项A正确；，，，故选项B错误，C正确；，故选项D正确；故选：ACD.12.已知菱形边长为2，．将沿着对角线折起至，连结．设二面角的大小为，则下列说法正确的是（）A.若四面体为正四面体，则B.四面体体积最大值为1C.四面体的表面积最大值为D.当时，四面体的外接球的半径为【答案】BCD【解析】【分析】取中点，连接，证得为二面角的平面角，即．然后根据的大小判断ABC，D中需要找到外接球球心，求出半径判断．【详解】如图，取中点，连接，则，，为二面角的平面角，即．若是正四面体，则，不是正三角形，，A错；四面体的体积最大时，平面，此时到平面的距离最大为，而，所以，B正确；，易得，，未折叠时，折叠到重合时，，中间存在一个位置，使得，则，，此时取得最大值2，所以四面体的表面积最大值为，C正确；当时，如图，设分别是和的外心，在平面内作，作，，则是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面与平面、平面垂直，即四点共面，，则，，，为球半径，D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查已知二面角，四面体的体积，表面积，外接球等等．解题关键是确定二面角的平面角，利用二面角判断．对外接球关键是找到球心，而三棱锥的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数满足方程：，则______．【答案】3【解析】【分析】由题知和是的一对共轭虚根，由韦达定理可得结果.【详解】依题意可知和是一元二次方程一对共轭虚根，由韦达定理和复数的性质得，所以.故答案为：3.14.向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则＝____.【答案】【解析】【分析】设出互相垂直的两个单位向量，表示出，利用数量积的运算律求解即可【详解】设网格中方向向右，向上的单位向量分别为，且，，则，则，则.故答案为：15.已知定义在上的奇函数满足．当时，，则直线与函数的图象的交点的个数为_______．【答案】7【解析】【分析】根据函数的性质可知函数为周期函数，作出函数的图象，利用数形结合求解.【详解】,的图象关于对称，又奇函数满足，，，，即函数为的周期函数，又当时，，作出函数与的图象，如图，由图可知，直线与函数的图象的交点的个数为7个，故答案为：716.设点是椭圆：上的动点，点是圆：上的动点，且直线与圆相切，则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】数形结合将转化为，问题转化为求椭圆上一点到圆心E的距离，采用函数方法即可求解.【详解】由题可知，＝1，设，，，则，∴当时，.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．17.如图，在平面四边形中，，，.（1）若的面积为，求的长；（2）若，.求的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求，然后在中，利用余弦定理求解；（2）设，易知，再由，，然后在中，利用正弦定理求解.【详解】（1）在中，因为，，的面积为，所以，解得，在中，由余弦定理的，所以.（2）设，则，在中，因为，所以，在中，，由正弦定理，可得，即，所以，因为为锐角，所以，解得，即的值为.18.已知数列满足：，，.（1）记，求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）353【解析】【分析】（1）令n取代入已知条件可以得到，从而求出数列的通项公式（2）先分奇偶求出数列的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到【小问1详解】因为，令n取，则，即，，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以【小问2详解】令n取2n，则，所以，由（1）可知，；；所以19.已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.（1）若点是棱上的动点，且满足，证明：平面；（2）若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，.【解析】【分析】（1）利用空间向量证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，设，由平面平面解出即可.【小问1详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，,因为点是棱上靠近的三等分点，即，则，则，，，设平面的一个法向量为，满足令，则，则．，∴，又平面，所以平面．【小问2详解】存在．设，则，，，设平面的一个法向量为，满足令，则，故取．，，设平面的法向量为，满足令，则，故取，若平面平面，则，即解得，此时为的中点，则．20.为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）（1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；（2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；（3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率.【小问1详解】事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，其中相互独立.又甲队明星队员前四局不出场，故，，所以.【小问2详解】设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛，由全概率公式知，，因为每名队员上场顺序随机，故，，所以.【小问3详解】由（2），.21.在平面直角坐标系中,动点与两点连线斜率分别为,且满足,记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的标准方程;（2）已知点为曲线在第一象限内的点,且,若交轴于点交轴于点,试问:四边形的面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】（1）（2）是定值,定值为【解析】【分析】(1)设出点坐标,根据题意将关于点坐标的方程列出,化简即可,注意坐标需要满足的条件;(2)设出点坐标,有得出,的直线方程,得到,点的坐标,由于四边形对角线垂直,其面积为对角线乘积的一半,计算出结果,判断是否为定值