第05讲 圆的面积（一）-2023年六年级上册数学暑假衔接课（北师大版）

第05讲

圆的面积（一）【知识梳理】1、圆的面积计算公式的推导将圆转化成学过的平行四边形，求面积。圆的面积=平行四边形的面积。如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式可以表示为S=πr2【典型例题】例1在解决下面四个问题时，都运用了（

）策略。a．如图①方式，推导三角形面积公式的过程。b．如图②方式，推导圆面积公式的过程。c．计算1.2×3.6时，先看成12×36，再在积中添上小数点。d．计算12÷时，可以这样算12÷＝12×。A．画图 B．替换C．倒推 D．转化【详解】A．如图①方式，推导三角形面积过程，把两个相同的三角形转化为一个平行四边形，利用平行四边形面积公式，推导出三角形面积公式，用了转化策略；B．如图②方式，是圆的面积公式的推导，把圆的面积转化为近似长方形面积，再根据长方形面积推导出圆的面积，运用了转化策略；C．计算1.2×3.6时，先看成12×36，再在积中添上小数点，把小数乘法转化成整数乘法，运用了转化策略；D．计算12÷时，根据除以一个数等于乘这个数的倒数，可以转化为12÷＝12×，此处运用了转化策略。综上所述，四个问题都运用了转化策略。故答案为：D【点睛】转化在是学习新知识的时候常用的策略，通过把新知识转化为旧的知识来解答，再根据用旧知识解答的过程形成新知识的解决方案。例2在学习圆的面积计算公式时，是通过转化的思想，把圆转化成长方形后推导出来的。小明把一个圆转化成近似长方形后，发现圆的周长比长方形周长少8厘米，如图，那么原来圆的面积是()平方厘米。【分析】拼成的长方形的两个长的和是圆的周长，长方形的两个宽的和是圆的直径；长方形的周长比圆的周长多一条直径的长，所以可用计算出圆的半径，再根据圆的面积公式求解。【详解】圆的半径：圆的面积：所以圆的面积是：50.24（平方厘米）【点睛】本题的关键是理解转化的长方形的长是什么，宽是什么，再根据圆的面积公式求解，需要学生有一定的空间想象能力。例3如图所示，把一个圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形。如果长方形的周长是16.56厘米，圆的面积是多少平方厘米？我是这样想的：从如图可以看出长方形的长近似于圆的（

），宽近似于圆的（

）。因为长方形的周长＝（长＋宽）×2，如果用r表示圆的半径，那么长方形的周长也可以用含有字母r的式子表示为：［πr＋（

）］×2＝16.56，这样就可算出r＝（

），从而就可以求出圆的面积来。【分析】把一个圆平均分成若干份，然后，拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，拼成的长方形的周长＝圆的周长＋2个半径；设半径为r，由此求出半径，再根据圆的面积公式s＝πr2，列式解答。【详解】解：设圆的半径为r厘米（πr＋r）×2＝16.564.14r×2＝16.568.28r＝16.56r＝2圆的面积是：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）答：圆的面积是12.56平方厘米。【点睛】此题解答关键是通过把圆转化成近似长方形，根据拼成的长方形的周长＝圆的周长＋2个半径；列方程求出半径，再根据圆的面积公式解答。【过关检测】一、选择题1．如图，阴影部分是一个正方形，这个正方形的一个顶点与圆的圆心重合，已知正方形的周长是12厘米，那么圆的面积是（

）平方厘米。A．56.52 B．37.68 C．28.26 D．18.842．如图，阴影部分的小正方形面积是8cm2，图中圆的面积是（

）cm2。A．12.56 B．6.28 C．50.24 D．25.123．一个圆的半径扩大到原来的3倍，那么这个圆的面积扩大到原来的（

）。A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．9.42倍4．要剪一个面积是的圆形纸片，至少需要面积是（

）的正方形纸片（取3.14）。A． B． C． D．5．如图是“禁止驶入”交通标志，标志中有一个尺寸是70cm×12cm的白色长方形，其余部分是红色。计算这个交通标志中红色部分的面积（

）。A．×（80÷2）2π B．（80÷2）2π－70×12C．×802π D．802π－70×12二、填空题6．手工课上，笑笑简要一个周长为6.28m的圆形纸片，圆规两脚分开的距离应是()cm，纸片的面积是()cm2。7．在一个长8分米，宽6分米的长方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径是()分米，周长是()分米，面积是()平方分米。8．把一个圆分成若干等份后拼成近似的长方形。已知圆的半径为r厘米，那么长方形的长是()厘米，长方形的宽是()厘米。9．探究圆的面积时，圆等分的份数越多，拼出的图形就越接近平行四边形。如图，将一个半径为6cm的圆平均分成32份，拼成近似的平行四边形的底是()cm。10．如图，大圆的半径是()cm，小圆的半径是()cm，大圆的面积比小圆大()cm2。三、计算题11．求图中阴影部分的面积。（单位：cm）（取3.14）12．如图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）四、解答题13．如图，用一根铁丝围成一个长方形，再用一根同样长的铁丝围成一个圆，圆的面积是多少平方厘米？14．如图，张大伯利用一面墙壁，用竹篱笆围成了一个半圆形养鸭场。养鸭场的面积是多少平方米？15．冰壶的底面是一个圆形，直径30厘米，底面的周长是多少厘米？面积是多少平方厘米？16．想一想，做一做。（1）如图，把圆沿着半径剪开，分成了16等份，拼成了一个近似的梯形，在这个转化过程中，两个图形的（

）相等，梯形的上下底之和相当于圆的（

），梯形的高相当于圆的（

），梯形的面积＝，所以圆的面积：S＝＝（

）。（2）我们运用了转化思想推导出了圆的面积公式。想想在以前的学习过程中，除了平面图形面积的推导，哪些地方还用到了这种思想？请举出两处例子。参考答案1．C【分析】根据正方形的周长是12厘米，可求出正方形的边长，即圆的半径，再利用圆的面积S＝πr2计算即可解答。【详解】正方形的边长是（即圆的半径）：12÷4＝3（厘米）所以圆的面积是：3.14×32＝28.26（平方厘米）故答案为：C【点睛】本题主要考查圆与正方形的周长公式的计算应用，解答此题的关键是明确正方形的边长是圆的半径。2．D【分析】通过观察图形可知，阴影部分正方形的边长等于圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【详解】3.14×8＝25.12（cm2）图中圆的就是25.12cm2。故答案为：D【点睛】此题主要考查正方形、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。3．C【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，设圆的半径是1，则扩大后是3，分别求出面积，再用扩大后的面积除以原来的面积，即可求解。【详解】3.14×12＝3.14×1＝3.143.14×（1×3）2＝3.14×32＝3.14×9＝28.2628.26÷3.14＝9即这个圆的面积扩大到原来的9倍。故答案为：C【点睛】本题考查圆的面积公式的灵活运用，要重点掌握。4．C【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，已知圆的面积可以求出半径的平方，根据正方形内接圆的特征，在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，根据正方形的面积公式：边长×边长，即正方形的面积＝2r×2r＝4r2，把数据代入公式解答。【详解】4×（12.56÷3.14）＝4×4＝16（cm2）故答案为：C【点睛】此题主要考查圆的面积公式、正方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。5．B【分析】通过观察图形可知，红色部分的面积等于圆的面积减去长方形的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：长×宽，把数据代入公式解答。【详解】圆的面积：3.14×（80÷2）2π长方形的面积：70×12所以红色部分的面积：（80÷2）2π－70×12故答案为：B【点睛】此题主要考查圆的面积公式、长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。6．13.14【分析】半径决定圆的大小，画圆时，圆规两脚之间的距离等于所画的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。【详解】6.28÷3.14÷2＝1（cm）3.14×12＝3.14×1＝3.14（cm2）圆规两脚分开的距离应是1cm，纸片的面积是3.14cm2。【点睛】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。7．618.8428.26【分析】根据题意可知，长方形内剪最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据求出圆的周长；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。【详解】直径是6分米周长：3.14×6＝18.84（分米）面积：3.14×（6÷2）2＝3.14×32＝3.14×9＝28.26（平方分米）在一个长8分米，宽6分米的长方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径是6分米，周长是18.84分米，面积是28.26平方分米。【点睛】解答本题的关键明确长方形内剪最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。8．πrr【分析】把一个圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的底相当于圆周长的一半，用字母表示是πr；高相当于圆的半径，用字母表示是r。【详解】长方形的长是πr厘米，长方形的宽是r厘米。【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长公式及应用。9．18.84【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆沿半径分成若干份，拼成近似的平行四边形，这个平行四边形的底等于圆周长的一半，高等于圆的半径，据此即可解答。【详解】3.14×6＝18.84（cm）拼成近似的平行四边形的底大约是18.84cm。【点睛】此题主要考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用以及平行四边形的周长公式的应用。10．3215.7【分析】通过观察图形可知，大圆的半径等于长方形宽的一半，小圆的半径等于长方形的长与宽的差的一半，据此求出大小圆的半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出大小圆的面积差即可。【详解】6÷2＝3（cm）10－6＝4（cm）4÷2＝2（cm）3.14×32－3.14×22＝3.14×9－3.14×4＝28.26－12.56＝15.7（cm2）大圆的半径是3cm，小圆的半径是2cm，大圆的面积比小圆大15.7cm2。【点睛】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。11．15.48cm2【分析】看图，阴影部分面积＝长方形面积－半圆面积。长方形面积＝长×宽，半圆面积＝πr2÷2，据此列式计算即可。【详解】12÷2＝6（cm）12×6－3.14×62÷2＝72－56.52＝15.48（cm2）所以，阴影部分的面积是15.48cm2。12．22.26平方厘米【分析】通过观察0图形可知，阴影部分的面积等于底是（6＋4）厘米，高是6厘米的三角形面积减去空白部分①的面积，空白部分①的面积等于边长6厘米的正方形面积减去半径6厘米的圆的面积的，根据圆的面积公式：S＝r2，正方形的面积公式：S＝a2，三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答。【详解】三角形面积：（6＋4）×6÷2＝10×6÷2＝60÷2＝30（平方厘米）空白部分①的面积：6×6－3.14×62÷4＝36－28.26＝7.74（平方厘米）阴影部分面积：30－7.74＝22.26（平方厘米）阴影部分的面积是22.26平方厘米。13．28.26平方厘米【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形周长＝圆的周长，圆的周长÷π÷2＝圆的半径，π×半径的平方＝圆的面积，据此解答。【详解】（4＋5.42）×2＝9.42×2＝18.84（厘米）3.14×（18.84÷3.14÷2）2＝3.14×9＝28.26（平方厘米）答：圆的面积是28.26平方厘米。【点睛】解答此题的关键是计算出长方形的周长也是圆的周长，然后再根据圆的周长公式计算出圆的半径即可。14．25.12平方米【分析】养鸭场的面积＝×半径2÷2；其中，半径＝直径÷2。【详解】8÷2＝4（米）3.14×42÷2＝50.24÷2＝25.12（平方米）答：养鸭场的面积是25.12平方米。【点睛】本题考查了圆的面积的灵活运用。15．周长：94.2厘米；面积：706.5平方厘米【分析】（1）根据圆周长＝，代数解答即可；（2）根据圆面积＝，代数解答即可。【详解】（1）3.14×30＝94.2（厘米）答：底面的周长是94.2厘米。（2）3.14×（30÷2）2＝3.14×225＝706.5（平方厘米）答：面积是706.5平方厘米。【点睛】此题主要考查学生对圆周长和面积公式的实际应用，牢记公式，根据具体情况，选择合适的公式进行解答。16．（1）面积；周长的一半；半径的2倍；r；2r；r2（2）见详解【分析】（1）由图可知，圆的周长被平均分成16份，拼成梯形的上底占3份，下底占5份，则上下底的和占其中的8份，那么上下底的和相当于圆周长的一半，梯形的高相等于半径的2倍，把含有字母的式子代入梯形的面积计算公式，最后推导出圆的面积计算公式，据此解答。（2）计算小数除法时，运用“转化”思想，计算分数除法时，运用了“