北师大版八年级上册数学 1.1 探索勾股定理 同步测试（附答案解析）

北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理同步测试班级：姓名：一、选择题1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，若BF=DE，AC=23DE，A．36 B．43 C．422．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若∠AOC=90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（）A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．6 B．7 C．8 D．94．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则AF的长为（）A．254cm B．152cm C．7cm D．5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连接AE，若AB=5，AC=13，则A．16 B．17 C．18 D．196．如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE长为（）A．4.8 B．5 C．5.8 D．67．如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（）A．24 B．20 C．12 D．228．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=213A．12 B．23 C．329．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2A．9 B．35 C．45 D．无法计算10．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，E是AC上一点，且DE=DA，若AB=15，BC=20，则EC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题11．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度相等，滑梯的高度BC=6m，BE=2m.则滑道AC的长度为m.12．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是.13．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC=25cm，底边BC的长48cm，那么衣架的高AD=cm.14．如图，在长方形纸片ABCD中，AD=8，AB=10，点M为BC上一点，将△CDM沿DM翻至△EDM，EM交AB于点G，ED交AB于点F，且BG=EG，则CM的长度是.15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A，C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，点E，连结AE，当AC=13，AB=5时，则△ABE的周长是三、解答题16．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC=8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度.17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连结AE，求BE的长.18．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于1219．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，已知BC=10，AD=12，求AC的长.四、综合题20．如图，点A在直线l上，在直线l右侧做等腰三角形ABC，AB=AC，∠BAC=α，点D与点B关于直线l轴对称，连接CD交直线l于点E，连接BE.（1）求证：∠ADC=∠ACD；（2）求证：∠BEC=α；（3）当α=90°时，求证：ED21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，作DE⊥AC于点E.（1）若AD=CD，求∠C的度数；（2）若AB=3，AC=5，求△ACD的面积.22．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=α，点D为AC边上的一个动点，连接BD，点A关于直线BD的对称点为点E，直线BD，CE交于点F．（1）如图1，当α=20°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当0°<α<45°时，用等式表示线段FC，EF，BC之间的数量关系，并证明．23．【问题背景】（1）如图1，点P是线段AB，CD的中点，求证：AC∥BD；（2）【变式迁移】

如图2，在等腰△ABC中，BD是底边AC上的高线，点E为△ABD内一点，连接ED，延长ED到点F，使ED=FD，连接AF，若BE⊥AF，若AB=10，EB=6，求AF的长；（3）【拓展创新】

如图3，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD，若AF=8，CF=3，请直接写出FD的长.

1．【答案】A【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB=90°，又BD=BD，∴△ABD≌△CBD(ASA)，∴AD=CD，AB=BC，∵E为AF的中点，∴CF=2DE，设DE=a，则AC=23a，AD=CD=3∴AB=BC=3a，在Rt△ABD中，(3a)2解得a=6∴AB=36故答案为：A.【分析】根据角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD，根据垂直的概念可得∠ADB=∠CDB=90°，利用ASA证明△ABD≌△CBD，得到AD=CD，AB=BC，由中点的概念可得CF=2DE，设DE=a，则AC=23a、AD=CD=32．【答案】B【解析】【解答】解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，∵∠AOC=∠AOF+∠COG=90°，∠AOF+∠OAF=90°，∴∠COG=∠OAF，在△AOF与△OCG中，∠AFO=∠OGC∠OAF=∠COG∴△AOF≌△OCG（AAS），∴OG=AF=BD=4米，设AO=x米，在Rt△AFO中，AF2+OF2=AO2，即42+（x-1）2=x2，解得x=8.5.则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）.故答案为：B.【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，由同角的余角相等可得∠COG=∠OAF，由题意可得AO=OC，利用AAS证明△AOF≌△OCG，得到OG=AF=BD=4米，设AO=x米，在Rt△AFO中，由勾股定理可得x的值，然后根据CE=GB=OB-OG进行计算.3．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝DC＝12在Rt△ABD中，AD＝AB2−B故答案为：C.【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝DC＝124．【答案】A【解析】【解答】解：∵把长方形纸片沿直线AC折叠，∴AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝90°，∵∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，∠CFE＝∠AFD，∴△CEF≌△ADF（AAS）∴CF＝AF，∵AF2＝DF2+AD2，∴AF2＝（8-AF）2+36，∴AF＝254故答案为：A.【分析】根据矩形的性质以及折叠的性质可得AE＝AB＝8cm，CE＝BC＝AD＝6cm，∠E＝∠B＝90°，利用AAS证明△CEF≌△ADF，得到CF＝AF，然后利用勾股定理进行计算.5．【答案】B【解析】【解答】解：由作法得ED垂直平分AC，∴EA=EC，在Rt△ABC中，BC=A∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+12=17.故答案为：B.【分析】由作法得ED垂直平分AC，则EA=EC，利用勾股定理可得BC的值，则可将△ABE的周长转化为AB+BC，据此计算.6．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

由折叠得BE=DE，

设DE=x，则AE=AB-BE=AB-DE=10-x，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，

∴42+（10-x）2=x2，

解得x=5.8.

故答案为：C.

【分析】根据矩形的性质得∠A=90°，由折叠得BE=DE，设DE=x，则AE=AB-BE=AB-DE=10-x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程，求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°，∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB=CE，BC=DE，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC即Sb故答案为：B.【分析】根据正方形的性质得AC=CD，∠ACD=90°，根据同角的余角相等得∠BAC=∠DCE，从而用AAS判断出△ACB≌△CDE，根据全等三角形对应边相等得AB=CE，BC=DE，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2最后结合正方形的面积计算方法即可得出答案.8．【答案】B【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=A即底边上的高为23故答案为：B．

【分析】过点A作AD⊥BC于点D，先求出BD=CD=19．【答案】C【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，

在Rt△BDM和Rt△CDM中，

BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，

∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2

又∵AB=6，AC=9，

∴MC2-MB2＝45．

故答案为：C．【分析】在Rt△ABD和Rt△ADC中分别表示出BD2和CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别表示出BM2和MC2，然后等量代换并作差得到MC2-MB2＝AC2-AB2，再代入数据计算即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴A∵BC=20，AB=15，∴AC=25，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°．∵S∴1∴BD=12，在Rt△ABD中，AD=A∵DE=DA，∴AE=2AD=18．∴EC=AC−AE=25−18=7．故答案为：B.

【分析】根据S△ABC=S11．【答案】10【解析】【解答】解：设AC=AE=xm，∵BE=2m，∴AB=AE−BE=(x−2)m，∵BC=6m，∴在Rt△ABC中，AC即x2=(x−2)故答案为：10.【分析】设AC=AE=xm，则AB=(x-2)m，接下来在Rt△ABC中，利用勾股定理计算即可.12．【答案】3【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，∴BC=A∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴CD=DE，∵BD=BD，∠C=∠DEB=90°，∴Rt△DCB≌Rt△DEB(HL)，∴BC=BE=3，∴AE=AB−BE=5−3=2，设CD=DE=x，则AD=4−x，∵∠DEA=90°，∴AE∴22解得x=3在Rt△DEB中，∠DEB=90°，∴BD∴BD=3故答案为：35【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根据角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，则AE=AB-BE=2，设CD=DE=x，则AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.13．【答案】7【解析】【解答】解：∵AB=AC=25cm，AD⊥BC，BC=48cm，∴BD=CD=12BC=24cm在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=A故答案为：7.【分析】根据等腰三角形的性质可得BD=CD=1214．【答案】20【解析】【解答】解：设CM=x，则BM=8−x，由题意得：DE=DC=AB=10，∵∠E=∠B=90°，∠FGE=∠MGB，BG=EG，∴△GMB≅△GFE（AAS），∴MG=GF∵BG=EG∴MG+GE=GF+BG∴EM=BF∴ME=BF=CM=x，EF=BM=8−x，在Rt△ADF中，AD即：82解得：x=20故答案为：203【分析】设CM=x，则BM=8-x，由题意得DE=DC=AB=10，利用AAS证明△GMB≌△GFE，得到MG=GF，结合BG=EG以及线段的和差关系可得EM=BF，则ME=BF=CM=x，EF=BM=8-x，然后在Rt△ADF中，由勾股定理进行计算即可.15．【答案】17【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=13，AB=5，∴BC=A由作法得MN垂直平分AC，∴EA=EC，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=5+12=17.故答案为：17.【分析】利用勾股定理可求出BC的值，由作法得MN垂直平分AC，则EA=EC，进而可将△ABE的周长转化为AB+BC，据此计算.16．【答案】解：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为(x+2)米，在Rt△ABC中，BC=8米，AB∴x2解得x=15，∴攀岩墙AB的高为15米.【解析】【分析】设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立方程，求解即可.17．【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝AC∵DE垂直平分线AB，∴AE＝BE，设BE＝AE＝x，则CE＝12-x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，AE2＝AC2+CE2，即x2＝92+（12-x）2，解得x＝758即BE的长为758【解析】【分析】由勾股定理求出AB=15，由DE垂直平分AB可得AE=BE，设BE＝AE＝x，则CE＝12-x，在Rt△ACE中，由勾股定理建立关于x方程并解之即可.

18．【答案】解：如图所示：连接EC，由作图方法可得：MN垂直平分AC，则AE=EC，∵AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD=DC=3，AD⊥BC，在Rt△ABD中，AD=A设DE=x，则AE=EC=4−x，在Rt△EDC中，DE即x2+32=∴AE=AD−DE=4−7故答案为：258【解析】【分析】设DE=x，则AE=EC=4−x，利用勾股定理可得x2+319．【答案】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=1∵AD=12，∴AC=A故AC的长为13.【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，BD=CD=5，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长即可.20．【答案】（1）证明：∵点D与点B关于直线l轴对称∴AD=AB，∵AB=AC，∴AD=AC，∴∠ADC=∠ACD（2）证明：如图，设DC与AB交于点F∵点D与点B关于直线l轴对称∴AD=AB，DE=BE，AE=AE，∴△ADE≌△ABE(SSS)，∴∠ADE=∠ABE，∵∠ADC=∠ACD；∴∠ABE=∠ACD，∵∠DFB=∠AFC（对顶角相等）；∴∠BEC=∠BAC=α；（3）证明：当α=90°时，在△BEC中，由勾股定理可知：EB∵△ADE≌△ABE∴ED=BE.∴ED在△ABC中，由勾股定理可知：AB又∵AB=AC，故2AB∴ED【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质可得AD=AB，结合AB=AC可得AC=AD，据此证明；

（2）设DC与AB交于点F，根据轴对称的性质可得AD=AB，DE=BE，利用SSS证明△ADE≌△ABE，得到∠ADE=∠ABE，由（1）可知∠ADC=∠ACD，则∠ABE=∠ACD，根据对顶角的性质可得∠DFB=∠AFC，结合内角和定理可得∠BEC=∠BAC，据此解答；

（3）当α=90°时，由全等三角形的性质可得ED=BE，在Rt△BEC、Rt△ABC中，结合勾股定理证明即可.21．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=CD，∴∠CAD=∠C，∴∠BAD=∠CAD=∠C，∵∠B=90°，∴∠BAC+∠C=3∠C=90°，∴∠C=30°；（2）解：∵AD平分∠BAC，∠B=90°，DE⊥AC，∴DB=DE，∵AD=AD，Rt△ABD≌Rt△AED(∴AE=AB=3，CE=AC−AE=5−3=2，∵AB=3，AC=5，∠B=90°，∴BC=A设BD=DE=x，∴CD=4−x，∵DE∴x解得x=3∴DE=3∴△ACD的面积为：12【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠C，则∠BAD=∠CAD=∠C，∠BAC=2∠C，由∠BAC+∠C=90°可得∠C的度数；

（2）根据角平分线的性质可得DB=DE，利用HL证明△ABD≌△AED，由全等三角形的性质可得AE=AB=3，CE=AC-AE=2，利用勾股定理可求出BC的值，设BD=DE=x，则CD=4-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理求出x的值，接下来根据三角形的面积公式进行计算.22．【答案】（1）解：延长BD，关于BD作A点的对称点E，连接CE和BD延长线交于F点，如下图，∠BFC=45°（2）解：猜想线段FC，EF，BC之间的数量关系是：EF证明：连接AF，BE．∵点E和点A关于BD对称，∴AF=EF，AB=BE，∠AFB=∠EFB，∠ABF=∠EBF=α，∵∠ABC=90°，∴∠EBC=90°−2α，∵AB=BC，AB=BE，∴BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=45°+α，∵∠BEC=∠FBE+∠BFE，∠FBE=α，∴∠BFE=45°，∴∠AFE=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=2在Rt△AFC中，由勾股定理得，AF∴EF∴EF【解析】【解答】解：（1）延长BD，关于BD作A点的对称点E，连接CE和BD延长线交于F点，如下图，连接BE，∵A点、E点关于BD对称，∴BF是AE的中垂线，∴AB=BE，∵∠ABD=α，α=20°，∴∠ABD=∠FBE=20°，∴∠AEB=(180°−2×20°)÷2=70°，∵AB=BC，∴BC=BE，∵∠ABC=90°，∴∠EBC=90°−40°=50°，∴∠ECB=(180°−50°)÷2=65°，∴∠FBC=∠FBE+∠EBC=20°+50°=70°，∴∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°−70°−65°=45°，∴∠BFC=45°．

【分析】（1）延长BD，关于BD作A点的对称点E，连接CE和BD延长线交于F点，先求出∠FBC=∠FBE+∠E