黑龙江省齐齐哈尔市桃李高级中学有限公司2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

桃李高中2024~2025学年上学期开学验收高二数学命题人：高二数学组分值：150分时间：2小时一、单选题（每题5分，40分）1.甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别为，，，现人各投篮次，是否投进互不影响，则人都投进的概率为．A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：利用相互独立事件的概率乘法公式即可.详解：利用相互独立事件的概率乘法公式.3人都投进的概率为.故选：A.点睛：本题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力.2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了对数函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.3.青岛二中戏剧节中，6个MT除人文MT有两个节目参加决赛外，其他MT各有一个节目参加决赛，一共7个节目，在决赛中，要从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，则人文MT两支队伍不同时被抽到的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，总共有种可能，人文两支队伍同时被抽到的共有2种情况，利用正难则反法，求出即可．【详解】解：从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，总共有种可能，人文两支队伍同时被抽到的共有2种情况，所以人文两支队伍不同时被抽到的概率为，故选：．【点睛】考查古典概型概率的应用，本题还用了对立事件求概率的方法，属于基础题．4.如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的中位线做出异面直线所成角，然后利用余弦定理计算即可.【详解】如图所示:连接A1C,交AC1于D,取BC的中点E,连接AE,DE,则DE//A1B,∴为异面直线A1B和AC1所成的角或其补角.由题意，可设该正三棱柱的棱长为2，易得,则AE=,∴,∴异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为，故选：B.5.已知复数z满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算，求出复数z，可求.【详解】由题意得，所以，所以，故，所以.故选：B.6.的内角、、的对边分别为、、，则下列说法不正确的是（）A.若，则B.若，，，则有两解C.若为钝角三角形，则D.若，，则ΔABC面积的最大值为【答案】C【解析】【分析】A.根据，得到，再由正弦定理求解判断；B.由判断；C.由为钝角三角形且C为钝角，利用余弦定理求解判断；D.由余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式求解判断.【详解】A.因为，所以，由正弦定理，得到，故正确；B.，则，所以有两解，故正确；C.为钝角三角形且C为钝角，则，则，故错误；D.由余弦定理与基本不等式得，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则面积的最大值为，故正确；故选：C7.在ΔABC中，，，分别是角，，的对边，且，则=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理化简条件式，结合余弦定理即可求得角A．【详解】∵∴由正弦定理可得，即.∴由余弦定理可得，整理可得.∴∵∴故选C.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．8.已知，为直线，为平面，下列结论正确的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线，线面的位置关系进行判断即可.【详解】由题可得，对于选项A，由直线与平面垂直的判定可知，直线必须垂直于平面内的两条相交直线，直线才能垂直平面，所以错误；对于选项B，由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项B正确；对于选项C，时或，所以错误；.当，有或或，所以错误.故选：B.二、多选题（每题6分，18分）9.在等腰直角中，，是的中点，若点为线段的三等分点，则的值可能为（）A.1 B.2 C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，分类讨论可能的情况，结合向量数量积的坐标运算公式求解答案.【详解】在等腰直角中，，则，如下图所示，以为坐标原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，则，①为线段靠近的三等分点，则，此时，，则；②为线段靠近的三等分点，则，此时，，则.所以的值可能为2或.故选：BD10.高一某次数学考试中，某班学生原始成绩最高分为100分，最低分为20分，现将每个学生的原始分数按（a，b为常数，）进行转换，是转换后的分数，转换后，全班最高分为100分，最低分为60分，则下列结论正确的是（）A.转换后分数的众数的个数不变B.转换后分数的标准差是原始分数标准差的0.5倍C.转换后分数的平均数一定大于原始分数的平均数D.转换后分数的中位数一定大于原始分数的中位数【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，列出方程，求出得值，由此分析选项是否正确即可.【详解】根据题意，由于，由，解得即转换规则为，由此分析选项：对于,转化后分数的众数的个数不变，正确；对于，由于转化规则为，转换后分数的方差是原始分数方差的倍，故转化后分数的标准差是原始分数标准差的倍，正确；对于,设原始分数的平均数为，必有，则转化后的平均数为，所以，正确；对于,反例：当中位数成绩为时，其转化后的成绩的中位数也为错误.故选：11.已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（）A.若相互独立， B.若事件，则C.若是对立事件，则 D.若是互斥事件，则【答案】ABD【解析】【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C，D作答.【详解】对于A，随机事件相互独立，则，，A正确；对于B，事件，，，B正确；对于C，因是对立事件，则，，C不正确；对于D，因是互斥事件，则，，D正确.故选：ABD三、填空题（每题5分，15分）12.__________________．【答案】【解析】【分析】分母完全平方展开，利用，在利用分母实数化处理，即可求出答案.【详解】．故答案为：.13.棱长都是3的三棱锥的高等于______.【答案】【解析】【分析】顶点P在底面上的射影为，在直角三角形中，利用勾股定理求棱锥的高.【详解】如图，三棱锥棱长都是3，

设顶点P在底面上的射影为，则是等边的中心，为外接圆半径，，则在直角三角形中，，所以三棱锥的高，故答案为：14.平面向量与的夹角为60°，，，则等于______.【答案】【解析】【分析】先求向量，再根据向量模的运算求.【详解】因为，所以，又因为与的夹角为，，所以；所以.故答案为：.四、解答题15.用平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为，圆锥母线的长为．（1）建立与的函数关系式，并写出的取值范围；（2）圆锥的轴截面为正三角形，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可知，制作该容器需要的铁皮面积，即圆锥的表面积，得到方程，分离出即可，利用求出定义域；（2）利用母线与底面所成的角大小为，结合（1）所得，求出底面半径和圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出所制作的圆锥形容器容积即可．【小问1详解】根据题意，因为圆锥的表面积，，，，解得，即，.【小问2详解】圆锥的轴截面为正三角形，设圆锥高为h，则，，，由（1）知，即，解得，．16.已知向量满足．（1）若，求与的夹角；（2）若与共线，求的坐标．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）结合向量垂直的性质，以及平面向量的夹角公式，即可求解；（2）根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解．【小问1详解】，则，设与的夹角为，,，因为，，则，解得，故；【小问2详解】与共线，，则，由，故，解得，故或．17.在中，已知内角成等差数列，边.设内角，的周长为．（1）求函数y=f（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质求得的大小，利用正弦定理求得，由此求得的解析式和定义域.（2）利用两角差的正弦公式和辅助角公式，化简，根据的范围求得的范围，由此求得的最大值.【小问1详解】因为成等差数列，所以，又，所以.由，得，即.由正弦定理得：，所以，所以.【小问2详解】.因，所以，所以当时，取得最大值为.18.某高校为了解即将毕业男大学生的身体状况检测了960名男大学生的体重（单位：），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示.图中从左到右的前3个小组的频率之比为.（1）求这960名男大学生中，体重小于的男大学生的人数；（2）从体重在范围的男大学生中用分层抽样的方法选取6名，再从这6名男大学生中随机选取2名，记“至少有一名男大学生体重大于”为事件，求事件发生的概率.【答案】（1）360人（2）【解析】【分析】（1）由所有频率之和为1求得前3个小组的频率，然后可得体重小于的频率，从而得人数；（2）由频率分布直方图，求出体重在与的各抽取的人数，把6人编号，用列举法列举出任取2人的所有基本事件，同时得出事件包含的基本事件的个数，求得概率．【详解】解：（1）设这个小组对应的频率为.∵对应的频率为，∴.解得.∴对应的频率为0.375，从而所求人数为（人）.（2）∵男大学生体重在与的频率之比为，∴这6名男大学生体重在与的人数分别为4，2.分别记他们，，，，，，从中随机选取2名的所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中事件包含9个基本事件，∴.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型．用列举法写出所有基本事件是解决古典概型的常用方法．19.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°.（1）求AC1的长;（2）证明:AC1⊥BD．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）直接根据向量的加法把所求问题分解，再平方计算出模长的平方，进而求出结论；（Ⅱ）以，，为基底表示，，通过向量数量积的运算证明⊥，可证得AC1⊥