2024年中考数学复习：概率初步培优讲义

概率初步培优讲义

逐考点直击

1.确定事件和随机事件：

(1)确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和

不可能事件都是确定的.

⑵随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

(3)事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件.

2.随机事件发生的可能性(概率)的计算方法：

⑴可能性大小：

①必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1；

②不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0；

③如果A为不确定事件(随机事件)，那么0<P(A)<l.

理论计算分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算.第二种：通

过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：对游戏是否公平的计算.

实验估算分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频

率稳定于理论概率.

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.

(2)概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫作事件A

的概率，记为P(A)=p.

⑶概率的公式：随机事件A的概率P(A尸事件A可能出现的结果数一所有可能出现的结果数.

(4)几何概型的概率问题：设在空间上有一区域G,又区域g包含在区域G内，而区域G与g都是可以度量的(可求面积)，现随

机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量(长度、面积、体积等)

成正比，而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验(掷点),称为几何概型.关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一

个点M,点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P=g的测度/G的测度.简单来说：求概率时，

已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比、面积比、体积比等.

3.列举法和树状法：

(1)当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率.

⑵列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率.

(3)列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不

漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

(4)树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的

结果数n.

⑸当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.

4.游戏公平性：

⑴判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.

⑵概率=所求情况数一总情况数.

5.利用频率估计概率：

⑴大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用

频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

⑵用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

(3)当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.

6.模拟实验：

(I)在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验.

⑵模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样

的效果.

⑶模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，往往只要设计出一个模拟实验即可.

例题精讲

例1世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环(每个队都与该小组的其他队比赛一场)比赛，选出2个队进入16

强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.

(1)求每小组共比赛多少场？

(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件？

举一反三1下列事件为确定事件的是()

A.一个不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的3个红球和1个白球，均匀混合后，从中任意摸出1个球是红球

B.长度分别是4,6,9的三条线段能围成一个三角形

C.本钢篮球队运动员韩德君投篮一次命中

D.掷1枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上

举一反三2下列事件中是不可能事件的是()

A.守株待兔B.瓮中捉鳖C.水中捞月D.百步穿杨

例2口袋中有三个颜色的球共m个，其中白球(x+3)个，红球2x个，其他都是黑球，这些球除颜色和数字外完全相同.

⑴若m=24,摸到黑球的概率不少于玄则口袋中的红球最多有几个？

⑵若山=患，当摸到白球的概率最大时，袋中有几个黑球？

举一反三3从甲地到乙地有A,B,C三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情

况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：

频数

公交车用时/分钟

A线路B线路c线路

30<t<35595045

35<t<4015150265

40<t<45166122167

45<t<5012427823

早高峰期间，乘坐—（填“A”“B哦“C”）线路的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.

例3图1是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1,2,3,4,图2是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子

的方式玩跳棋游戏，规则如下：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图2中的A点开始沿着顺时

针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动.

⑴随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是一.

⑵随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率.

举一反三4密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0,1,2,…，9.小黄同学是9月份中旬出生，用生日月份+日期”设置

密码：99XX.

小张同学要破解其密码：

（1）第一个转轮设置的数字是9,第二个转轮设置的数字可能是一；

⑵请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；

⑶小张同学是6月份出生，根据（1）⑵的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数.

例4某综艺节目中,有一个精彩刺激的游戏——幸运大转盘，其规则如下：

①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20等份，并在其边缘标记5,10,15,…,100,共20个5的

整数倍数,游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本次游戏的得分；

②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本轮游戏的得分，若旋

转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分；

③若某选手游戏得分超过100分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100分的情况下，分数高者裁定为

月肌，

④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢.

现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题：

⑴甲已旋转转盘一次，得分65分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率.

⑵若甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分，则乙还有可能赢吗?赢的概率是多少？

(3)若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85分，乙得65分，你认为甲是否应选择旋转第二次?说明你的理由.

基础夯实

1.两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1,2,3.从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下

列事件为随机事件的是（）

A.两个小球的标号之和等于1

B.两个小球的标号之和等于6

C.两个小球的标号之和大于1

D.两个小球的标号之和大于6

2.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个

长为5m,宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的

次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他估计不规

则图案的面积大约为（）

小球落在不规则图案内的频率

C.8m2D.9m2

3.如图.随机闭合开关Ki&,K3中的两个，则能让两盏灯泡U,L2同时发光的概率为（）

4.小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点.如果小明投掷飞镖一次,则

飞镖落在阴影部分的概率为（）

5.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6,7,8,9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”

游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m,n满足|m-n区1,那么就

称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）

6.从3,0,一1,一2,一3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5—m2)x和关于x的方程(m+l)x2+mx+1=0中m的值，恰

好使所得函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为一.

7.小亮参加中华诗词大赛，还剩最后两题，如果都答对，就可顺利通关.其中第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选

项.小亮这两道题都不会，不过还有一个“求助”没有使用(使用求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).

⑴如果小亮第一题使用“求助”，那么他答对第一道题的概率是多少？

⑵他的亲友团建议：最后一题使用“求助”，从提高通关的可能性的角度看，你同意亲友团的观点吗?试说明理由.

8.在平面直角坐标系中给定以下五个点A(-2,0),B(l,0),C(4,()XD(-2,]),E(。,—6),从这五个点中选取二点，使经过二点的抛物线;两

足以y轴的平行线为对称轴.我们约定经过A,B,E三点的抛物线表示为抛物线ABE.

(1)符合条件的抛物线共有多少条?不求解析式，请用约定的方法一一表示出来.

(2)在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A,B,C,D,E代表以上五个点，玩摸球游戏，每次摸三个球.请问：摸一次，

三球代表的点恰好能确定一条符合条件的抛物线的概率是多少？

(3)小强、小亮用上面的五球玩游戏，若符合要求的抛物线开口向上，小强可以得1分；若抛物线开口向下，小亮得5分.你认为

这个游戏谁获胜的可能性大一些?说说你的理由.

^5"能力拓展

9.五羊象棋队有10名队员，比赛服上的号码是1号，2号，…，10号，现要选出一名队长和两名副队长，并使得队长的号码恰好

等于两名副队长的号码的平均数，则有（）种不同的选取方法.

A.20B.19C.18D.16

10.衣柜里有4种不同花色的手套，每种都刚好有3双.随意从衣柜里取手套，则至少要取只才能保证取到2只左右配对的同

色手套.

11.我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率.随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方

法对圆周率兀进行估计.用计算机随机产生m个有序数对（x,y）（x,y是实数，且OSxSlQSyWl）,它们对应的点在平面直角坐标系中全部在

某一个正方形的边界及其内部.如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计"的值为—（用含m,n的

式子表本）.