2023九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数第1课时 正切教案 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切教案（新版）北师大版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2023九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切教案（新版）北师大版教材分析《2023九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切教案》是北师大版数学教材的重要内容，本课时主要围绕锐角三角函数中的正切概念及其应用进行展开。通过本节课的学习，使学生理解正切的定义，掌握正切函数的基本性质，能够运用正切解决直角三角形中角度与边长关系的问题。课程设计紧密结合课本，以教材中的实例为引导，通过直观的图形和具体的计算，让学生在实际操作中感受数学知识的形成过程，培养他们的观察、分析、解决问题的能力，同时为后续学习其他三角函数打下坚实的基础。核心素养目标1.理解与分析：使学生能够准确理解正切函数的定义，把握其在直角三角形中的应用，培养几何直观和空间想象能力。

2.推理与论证：培养学生运用正切函数进行逻辑推理，解决实际问题的能力，加强数学论证的严谨性。

3.数学建模：通过实际问题的引入和解决，让学生学会构建数学模型，体会数学与现实生活的联系，提高数学建模素养。

4.数学运算：加强学生对正切函数的计算能力，熟练运用公式进行准确计算，培养高效、准确的数学运算素养。

5.创新意识：鼓励学生在解决问题时，探索多种解题思路，激发创新思维，提高解决复杂问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了直角三角形的基本概念和性质，了解了锐角三角函数的基本概念，特别是正弦和余弦函数的定义和应用。他们在之前的学习中，通过直观的图形和实例，对直角三角形的边角关系有了初步的认识，这为学习正切函数打下了基础。

2.学生对数学学习的兴趣参差不齐，但整体上，九年级的学生已经具备了一定的抽象思维能力，能够理解并运用数学公式进行问题求解。他们的学习能力较强，尤其是逻辑推理和数学运算能力，但需要更多的实际例题来激发学习兴趣和增强自信心。学生的学习风格多样，有的喜欢通过直观图形理解，有的则偏好通过公式和逻辑推理。

3.学生在学习正切函数时可能遇到的困难和挑战包括：对正切函数定义的理解不够深入，导致在实际问题中无法灵活运用；对于正切函数在不同象限的符号变化理解不够清晰；在解决实际问题时，可能会因为对题目条件分析不够充分，导致建立数学模型和运用正切函数解决问题的能力受限。此外，对于数学基础较弱的学生，可能会在计算过程中出现错误，需要教师在教学中给予更多的关注和指导。教学资源准备1.教材：

-确保每位学生都备有《2023九年级数学下册》教材，特别是第一章“直角三角形的边角关系”的相关内容。

-准备教学辅导书和练习册，供学生预习和课后巩固使用。

-提供课堂讲义，包括正切函数的定义、性质、图形和例题，以便学生跟随课堂进度。

2.辅助材料：

-准备直角三角形、锐角三角函数的动态演示PPT，通过动画形式展示正切函数的生成过程和应用。

-收集和制作与正切函数相关的实际情景图片、图表和视频，如建筑物的倾斜度、物体的运动轨迹等，以增强学生对正切函数实际应用的感知。

-设计和打印正切函数的函数图像和表格，供学生观察和分析函数的增减性和周期性。

-准备一些含正切函数的实际问题案例，用于课堂讨论和小组活动。

3.实验器材：

-准备三角板、量角器、直尺等绘图工具，以便学生在纸上绘制直角三角形并进行测量。

-若条件允许，可以使用几何画板或电子白板等互动教学软件，让学生通过操作来直观感受正切函数的变化。

4.教室布置：

-将教室座位按照小组合作学习的方式排列，每组配有一个讨论桌，方便学生进行小组讨论和协作。

-在教室前方设置一个演示区，用于教师演示和解释复杂的数学概念。

-如果涉及实验操作，确保实验操作台的安全性和易用性，并在操作台附近放置必要的实验器材。

-在教室墙壁上张贴与正切函数相关的图表和提示，为学生提供视觉参考。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：激发学生对正切函数的兴趣，建立新旧知识之间的联系。

过程：通过回顾之前学习的正弦和余弦函数，引导学生思考直角三角形中第三个角度（锐角）与边长之间的关系。用生活中的实例（如坡度问题）引入正切函数的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

2.新课讲解（10分钟）

目标：使学生掌握正切函数的定义和性质。

过程：详细讲解正切函数的定义，用图形和实例展示正切函数的计算方法。通过对比正弦和余弦函数，引导学生发现正切函数的独特性质，如正切值为正、随角度增大而增大等。

3.案例分析与练习（20分钟）

目标：培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。

过程：提供几个含正切函数的实际问题，引导学生运用所学知识进行分析和计算。通过讲解和示范，帮助学生掌握解题步骤和方法。随后让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作意识和解决问题的能力。

过程：将学生分成小组，针对案例分析和练习中遇到的问题进行讨论。鼓励学生相互交流、分享解题思路，共同解决困难。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：检验学生的学习效果，提高学生的表达能力和自我评价能力。

过程：各小组选派代表进行课堂展示，讲解解题过程。教师对学生的解答进行点评，指出优点和不足，引导学生进行自我评价和反思。

6.课堂小结（5分钟）

目标：帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识体系。

过程：教师带领学生回顾本节课所学内容，总结正切函数的定义、性质和实际应用。鼓励学生提出疑问，解答学生的困惑，为课后巩固打下基础。教学资源拓展1.拓展资源：

-推荐阅读：《数学史上的直角三角形》，了解直角三角形在数学发展史上的重要地位和贡献。

-探索活动：组织学生进行户外测量活动，如测量学校旗杆的高度、建筑物之间的距离等，实际应用正切函数。

-专题讲座：邀请数学专家或资深教师讲解锐角三角函数在实际工程和科学中的应用，如航海导航、建筑设计等。

-视频资料：观看与正切函数相关的教学视频，如“正切函数的图像与性质”、“正切函数在生活中的应用”等，帮助学生更直观地理解正切函数。

2.拓展建议：

-鼓励学生通过绘制正切函数的图像，观察并总结正切函数的性质，如周期性、对称性等。

-建议学生收集和整理与正切函数相关的实际应用案例，开展小组分享活动，提高学生的实际应用能力。

-引导学生尝试解决一些含正切函数的复杂问题，如涉及多个锐角三角形的综合应用题，提升学生的解题能力。

-鼓励学生开展自主学习，查阅相关资料，了解正切函数与其他数学知识（如三角恒等式、导数等）的联系，拓展知识面。

-建议学生参与数学社团或兴趣小组，与其他同学共同探讨和解决与正切函数相关的问题，提高团队合作能力。教学反思与总结在本次教学过程中，我尝试了多种教学方法和策略，有收获也有反思。通过引入生活中的实例，激发学生对正切函数的兴趣，我发现学生们对新知识的接受程度较高，能够主动参与到课堂讨论中。同时，将学生分组合作，培养他们的团队协作能力，这一策略也取得了较好的效果。

然而，在课堂教学中，我也发现了一些不足之处。首先，对于正切函数性质的讲解，可能过于依赖图形和实例，导致部分学生对其理解不够深入。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生从理论角度去理解和掌握这些性质。

其次，在学生小组讨论环节，我发现部分学生在解决问题时仍存在困难。这可能是因为我在前期教学中对学生的引导不够，没有帮助他们充分掌握解题方法。针对这一问题，我计划在今后的教学中加强对学生的个别辅导，关注他们的学习需求，提高他们的解题能力。

此外，课堂展示与点评环节，我发现学生在表达能力和自我评价方面有所欠缺。为了提高学生的表达能力，我将在今后的教学中多给予他们机会进行课堂展示，并及时给予反馈和指导。同时，引导学生学会自我反思，培养他们的自我评价能力。

在教学总结方面，本节课学生在知识、技能和情感态度方面都取得了明显的进步。学生们掌握了正切函数的定义、性质和应用，能够运用正切函数解决实际问题。在技能方面，学生的合作意识和解决问题的能力得到了提升。情感态度方面，学生们对新知识充满好奇心，学习积极性较高。

针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

1.加强对正切函数理论知识的讲解，结合图形和实例，帮助学生深入理解。

2.在小组讨论环节，加强对学生的引导和个别辅导，提高他们的解题能力。

3.多给予学生课堂展示的机会，培养他们的表达能力和自我评价能力。

4.关注学生的学习需求，及时调整教学策略，提高教学效果。重点题型整理题型一：求直角三角形中的未知角度

例题：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6cm，求AC和AB的长度。

解答：由∠A=30°知，∠B=60°。根据正切函数的定义，tan60°=AB/BC，即AB=BC*tan60°=6cm*√3=6√3cm。由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(6√3²+6²)=12cm。

题型二：求直角三角形中的未知边长

例题：在直角三角形DEF中，∠F=90°，∠D=45°，DF=10cm，求DE和EF的长度。

解答：由∠D=45°知，tan45°=DE/DF，即DE=DF*tan45°=10cm*1=10cm。由勾股定理得EF=√(DF²-DE²)=√(10²-10²)=0cm，注意此处EF实际上为0，表明点E与点F重合。

题型三：实际问题中的应用

例题：某建筑物的倾斜度为30°，即tan30°=AB/BC，已知BC=20m，求建筑物的高度AB。

解答：tan30°=AB/BC，即AB=BC*tan30°=20m*(1/√3)=20/√3m。

题型四：含正切函数的方程求解

例题：已知在直角三角形中，tanA=3/4，求角A的度数。

解答：由于tanA=3/4，我们可以使用反正切函数（arctan）求解，即A=arctan(3/4)。使用计算器得到A≈36.87°。

题型五：正切函数的性质应用

例题：已知tanα=2/3，求tan(α+45°)的值。

解答：根据正切函数的和角公式，tan(α+45°)=(tanα+tan45°)/(1-tanα*tan45°)=(2/3+1)/(1-2/3*1)=5/1=5。

1.求直角三角形中的未知角度：

-在求解过程中，需运用正切函数的定义和特殊角的三角函数值。

-对于非特殊角度，可使用计算器求出角的正切值，再通过反正切函数求解角度。

2.求直角三角形中的未知边长：

-根据正切函数的定义，已知角度和一条直角边的长度，可求解另一条直角边的长度。

-在求解过程