7.4直线平面平行的判定与性质

7.4直线、平面平行的判定与性质课标要求精细考点素养达成1.抽象出直线与平面、平面与平面的位置关系的定义2.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理和性质定理的含义3.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理4.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理和性质定理证明一些空间线面平行、面面平行的简单问题直线与平面、平面与平面的位置关系通过直线与平面、平面与平面的位置关系的判定,培养逻辑推理、直观想象素养直线与平面平行的判定与性质通过求解直线与平面平行的判定与性质问题,培养逻辑推理、直观想象素养平面与平面平行的判定与性质通过求解平面与平面平行的判定与性质问题,培养逻辑推理、直观想象素养1.(概念辨析)(多选)下列结论正确的有().A.若一条直线平行于平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面平行B.若一条直线和一个平面平行,则这条直线和这个平面内的无数条直线平行C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行D.过直线外一点有无数个平面与这条直线平行2.(对接教材)有一正方体木块如图所示,点P在平面A'B'C'D'内,棱BC平行于平面A'B'C'D',要经过点P和棱BC将木块锯开,锯开的面必须平整,有n种锯法,则n为().A.0 B.1 C.2 D.无数3.(对接教材)下列命题正确的是().A.若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行B.若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行C.若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行D.若两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行4.(易错自纠)已知平面α∥平面β,直线PA分别交α,β于点A,C,直线PB分别交α,β于点B,D,若PA=2,CA=3,AB=1,则CD=.

5.(真题演练)(全国Ⅱ卷)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是().A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面直线与平面、平面与平面的位置关系典例1(多选)给出下列四个命题,其中正确的命题有().A.若一条直线不在平面内,则这条直线与该平面平行B.若一条直线和一个平面相交,则这条直线和这个平面内任意直线不平行C.若一条直线和一个平面平行,则这条直线和这个平面内的直线平行或异面D.若分别在两个平面内的两条直线异面,则这两个平面平行判断直线与平面、平面与平面的位置关系的常用方法(1)运用定义;(2)反证法、举反例;(3)构建模型.训练1空间被三个平面分成的块数可能为.(填序号)

①4;②6;③7;④8.直线与平面平行的判定与性质一、判定定理典例2如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,E,F分别为AD,PC的中点.求证:EF∥平面PAB.1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β).2.空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质定理,即a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.(2)利用平行公理推论:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(3)利用垂直于同一个平面的两条直线互相平行.(4)平面几何中的证明方法.3.特别提醒(1)一定要强调直线a不在平面内,直线b在平面内,且a∥b,否则会出现错误.(2)一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行,也可能异面.(3)在用线面平行判定定理时,作辅助线找线线平行,往往是用性质定理,即过要证的直线作平面与直线平行的平面相交,交线即为所要的辅助线.训练2如图,在三棱锥PABC中,D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点.求证:MN∥平面BDE.二、性质定理典例3如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H.求证:PA∥GH.1.线面平行的性质定理是证明两条直线平行的常用方法.2.在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平行.3.线面平行的判定定理和性质定理使用的区别:若结论中有a∥α,则要用判定定理,在α内找与a平行的直线;若条件中有a∥α,则要用性质定理,找(或作)过a且与α相交的平面.训练3如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是线段AD,PB的中点,过EF的平面交平面PCD于GN.求证:EF∥GN.面面平行的判定与性质典例4如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别在AB,AC,A1B1,A1C1上.(1)若E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:①B,C,H,G四点共面;②平面EFA1∥平面BCHG.(2)若平面EFA1∥平面BCHG,求证:EF∥GH.1.证明面面平行的常用方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.2.还可以用以下结论判定面面平行(解答题慎用)(1)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.3.面面平行的性质主要用于证明线线平行和线面平行.训练4如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1是平行六面体.(1)求证:平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,求证:B1D1∥l.平行关系中的动态问题平行关系中的动态问题,往往是通过平行探究动点的位置,或者是将动态的线面平行转化为面面平行.典例(多选)如图,四边形ABCD为矩形,AD=2AB,E是BC的中点,将△BAE沿AE翻折至△PAE的位置(点P∉平面AECD),设线段PD的中点为F.则在翻折过程中,下列论断正确的是().A.CF∥平面AEPB.CF的长度恒定不变C.AE⊥DPD.异面直线CF与PE所成角的大小恒定不变平行关系中的动态问题,处理策略主要有两种途径:1.动中求定,通过在动态过程中寻求不变平行关系来解决问题;2.轨迹思想,点动成线,线动成面,通过寻找动点的轨迹来解决问题.训练如图,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,AB=BC=12AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于点O,G是线段OF上一动点.求证:(1)AP∥平面BEF;(2)GH∥平面PAD.一、单选题1.(2023·江苏宿迁统测)已知平面α,β,γ,直线l,m,n,α∩β=l,α∩γ=m,β∩γ=n,则下列命题不正确的是().A.若l∥m,则l∥n,m∥n B.若n∥α,则l∥mC.若l⊥n,则l⊥m D.若m∩n=P,则P∈l2.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,则α∥β的一个充分条件是().A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α3.若平面α截三棱锥所得的截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有().A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条4.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且DEEB=DFFD1=12,G在CC1A.12 B.13 C.23 二、多选题5.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是(). ABCD6.(2024·江苏南京校考测试)在下列四棱雉中,底面为平行四边形,A,B,C,M,N是四棱雉的顶点或所在棱的中点,则MN平面ABC的有(). ABCD三、填空题7.下列有五个命题:①若直线a∥平面α,a∥平面β,α∩β=m,则a∥m;②若直线a∥平面α,则a与平面α内任何直线都平行;③若直线a∥平面α,平面α∥平面β,则α∥平面β;④如果a∥b,a∥平面α,那么b∥平面α;⑤对于异面直线a,b存在唯一一对平面α,β使得a⊂平面α,b⊂平面β,且α∥β.其中正确的命题是.(填序号)

①0②1③2④38.在三棱锥PABC中,PB⊥AC,且PB=6,AC=3,G为三角形PAC上一点(不在边界上),过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的面积的最大值为.

、解答题9.如图,在几何体ABCDEF中,已知四边形ABCD是正方形,ED∥FC,AD=ED=2FC=4,M,N,Q分别为AD,CD,EB的中点,P为ED上靠近点D的四等分点.(1)证明:FQ∥平面ABCD.(2)证明:平面PMN∥平面EBF.10.如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,AB⊥AD,AB=3,CD=2,PD=AD=5,E是PD上的一点.(1)当PEED(2)若E是PD的中点,过点E作平面EMNF,分别交CD,AB,PA于点M,N,F,若平面EMNF∥平面PBC,求FAFP图111.如图所示,