1.1.3直线的方程（第1课时直线方程的点斜式斜截式）课件高二上学期数学北师大版选择性

1.3

直线的方程第1课时直线方程的点斜式、斜截式第一章直线与圆北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.3.会用直线方程的点斜式与斜截式解决直线的平行与垂直问题.基础落实·必备知识一遍过知识点1

直线方程的点斜式1.直线的方程一般地,如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解,并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,那么这个方程称为

.

2.直线方程的点斜式已知直线l经过点P(x0,y0),且斜率为k,设Q(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点,因为点P,Q都在直线l上,所以,即

,称为直线方程的点斜式.

直线l的方程

y-y0=k(x-x0)名师点睛1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴所在直线方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴所在直线方程是x=0.思考辨析已知直线l经过点P(0,3),且斜率k=2,Q(x,y)为直线l上的任一点,试推导x,y满足的关系式.提示

当点Q与点P不重合时,有

=2,即y=2x+3;当点Q与点P重合时,把P(0,3)代入y=2x+3,式子成立,故x,y满足的关系式为y=2x+3.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)y轴所在直线方程为y=0.(

)(2)直线y-10=k(x+6)恒过定点(-6,10).(

)(3)经过点P0(x0,y0)的所有直线都能用直线方程的点斜式来表示.(

)×√×2.[2024四川绵阳期末]已知直线l过点(1,1),且倾斜角为90°,则直线l的方程为(

)

A.x+y=1 B.x-y=1C.y=1 D.x=1D解析

因为直线l的倾斜角为90°,所以该直线斜率不存在,与x轴垂直,又因为直线l过点(1,1),所以直线l的方程为x=1.故选D.3.[人教A版教材习题]写出下列直线的点斜式方程.(3)y-3=0.知识点2

直线方程的斜截式若直线l经过点(0,b)且斜率为k,则点斜式中的点P(x0,y0)就可以为点(0,b),所以该直线方程的点斜式为y-b=k(x-0),即y=kx+b.该方程中的k为直线l的斜率,b为直线l在y轴上的

.称y=kx+b为直线方程的斜截式.

注意与一次函数的区别

名师点睛1.直线方程的斜截式是直线方程的点斜式的特殊情况.2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,在y轴上的截距为-1.截距思考辨析直线l过点P(0,b)且斜率为k,如何表示直线l的方程?提示

根据直线方程的点斜式有y-b=k(x-0),即y=kx+b.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.(

)(2)直线y=kx-b在y轴上的截距为b.(

)(3)斜率相等,在y轴上的截距相等的两直线重合.(

)×××2.[人教B版教材习题改编]根据下列直线方程,分别求出直线的斜率及在y轴上的截距.(1)y-2=x+1;(2)y+4=(x-2);(3)4x+y-3=0.3.[人教B版教材习题]写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率是,在y轴上的截距是-2;(2)斜率是-2,在y轴上的截距是4.(2)y=-2x+4.重难探究·能力素养速提升探究点一直线方程的点斜式【例1】

写出下列直线方程的点斜式.(1)经过点(2,5),倾斜角为45°;(2)直线l经过点(1,1),且l的一个方向向量为(1,2);(3)经过点C(-1,-1),且与x轴平行;(4)经过点D(1,1),且与x轴垂直.解

(1)因为倾斜角为45°,所以斜率k=tan

45°=1,且过点(2,5),所以直线的方程为y-5=x-2.(2)由题意,得直线l的斜率为2,又l过点(1,1),所以直线l的点斜式方程为

y-1=2(x-1).(3)由题意知,直线的斜率k=tan

0°=0,所以直线方程的点斜式为y-(-1)=0,即y+1=0.(4)由题意可知直线的斜率不存在,所以直线的方程为x=1,该直线方程没有点斜式.规律方法

求直线的点斜式方程的步骤

[注意]当斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x=x0.变式训练1求满足下列条件的直线方程的点斜式.(1)过点P(-4,3),斜率k=-3;(2)过点P(3,-4),且与x轴平行;(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.解

(1)∵直线过点P(-4,3),斜率k=-3,由直线方程的点斜式得直线方程为y-3=-3(x+4).(2)与x轴平行的直线,其斜率k=0,由直线方程的点斜式可得直线方程为y-(-4)=0×(x-3),即y+4=0.(3)过点P(-2,3),Q(5,-4)的直线的斜率又直线过点P(-2,3),∴直线方程的点斜式为y-3=-(x+2).探究点二直线方程的斜截式【例2】

已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.(1)求直线l的方程;(2)当m为何值时,直线过点(1,1)?解

(1)利用直线方程的斜截式,可得方程为y=2x+m.(2)将点(1,1)代入直线y=2x+m,有1=2×1+m,所以m=-1.变式探究1将本例的条件“在y轴上的截距为m”改为“在x轴上的截距为m”,如何求直线的方程?解

直线在x轴上的截距为m,即直线过点(m,0),又已知直线的斜率为2,则由直线方程的点斜式,可得所求直线方程为y-0=2(x-m),即y=2x-2m.变式探究2本例的条件不变,试问m为何值时,直线与坐标轴所围成的三角形的面积为1?规律方法

求直线的斜截式方程的策略(1)直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况,其适用前提是直线的斜率存在,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示.(2)直线方程的斜截式y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需知道参数k,b的值即可.(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活,如果已知斜率k,只需引入参数b;同理如果已知截距b,只需引入参数k.变式训练2求满足下列条件的直线方程的斜截式.(1)在y轴上的截距为-6,且与y轴的夹角为30°;(2)过点(2,3),(0,2).

学以致用·随堂检测促达标12345678910111213141516A级必备知识基础练1.[探究点一·2024河南开封月考]直线l经过点(2,5),斜率为-2,则直线l的方程的点斜式为(

)A.y+5=-2(x+2) B.y-5=-2(x-2)C.y-5=2(x+2) D.y-5=-2(x+2)B解析

经过点(2,5),斜率为-2的直线,其方程的点斜式为y-5=-2(x-2).故选B.17123456789101112131415162.[探究点一]已知直线的方程是y+7=-x-3,则(

)A.直线经过点(-3,7),斜率为-1B.直线经过点(7,-1),斜率为-1C.直线经过点(-3,-7),斜率为-1D.直线经过点(-7,-3),斜率为1C17123456789101112131415163.

[探究点二]已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线的方程为(

)D17123456789101112131415164.

[探究点一]斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a=

.

417123456789101112131415165.[探究点二]将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程的斜截式是

.

17123456789101112131415166.[探究点二·2024北京海淀质检]直线y=-x-2的倾斜角是

,在y轴上的截距为

.

-217123456789101112131415167.[探究点一]根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线,并写出倾斜角α:(1)P(1,2),k=1;(2)P(-1,3),k=0;(3)P(0,-2),k=-;(4)P(1,2),斜率不存在.17123456789101112131415161712345678910111213141516B级关键能力提升练8.(多选题)[2024四川乐清质检]方程y=ax+对应的直线可能是(

)AB1712345678910111213141516B171234567891011121314151610.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为(

)A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3)C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1)D171234567891011121314151611.直线l1:y=ax+b与直线l2:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是(

)D171234567891011121314151612.(多选题)下列四个结论,其中正确的为(

)BC17解析

对于A,方程

,表示的直线不含点(-1,2),方程y-2=k(x+1)表示的直线过点(-1,2),故这两个方程表示不同的直线,A错误;对于B,直线l过点P(x1,y1),倾斜角为

,直线垂直于x轴,则其斜率不存在,其方程为x=x1,B正确;对于C,因为斜率为0,故方程为y=y1,显然正确;对于D,斜率不存在的直线就没有点斜式方程.故D错误.12345678910111213141516171234567891011121314151613.直线y+2=-(x+1)的倾斜角为

,其在y轴上的