2025年高考数学一轮复习讲义- 复数（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

专题31复数（新高考专用）

仰目录

【知识梳理】................................................................2

【真题自测】................................................................3

【考点突破】................................................................4

【考点1】复数的概念........................................................4

【考点2】复数的四则运算....................................................5

【考点3】复数的几何意义....................................................6

【考点4】复数与方程........................................................7

【分层检测】................................................................8

【基础篇】..................................................................8

【能力篇】..................................................................9

【培优篇】.................................................................10

1/10

考试要求：

1.理解复数的基本概念.

2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法及其几何意义.

4.能进行复数代数形式的四则运算.

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

・知识梳理

1.复数的有关概念

(1)定义：我们把集合&=｛。+历|0b©R｝中的数，即形如。十历(0b©R)的数叫做复数，其

中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).

⑵分类：

满足条件(。，6为实数)

历为实数Q6=0

复数的

a+bi为虚数obWO

分类

a+bi为纯虚数u>a=0且6数0

(3)复数相等：a+bi=c+di=a=c且b=d(a,b,c,dGR).

(4)共辗复数：a+bi与c+di共轲Qa=c,b=—d(a,b,c,dGR).

(5)模：向量能的模叫做复数2=a+历的模，记作屋土堀或团，即匕|=」+历|='/。2+|2(4,6GR).

2.复数的几何意义

复数z=a+历与复平面内的点Z(a,6)及平面向量b)(a,6©R)是---对应关系.

3.复数的运算

(1)运算法则：设zi=a+bi,Z2=c+di,a,b,c,dGR.

E/2]±出K(Q+6i)±(c+di)=(。±c)+(b±d)i

-/Z/Z24(a+历)(c+di)=(ac-ia)+(6c+ad)i

a+biac+bdbc-ad.,.,小

苞布7°)

Z2

(2)几何意义:

复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义

2/10-----------------

即a=应1+应2,ZiZ2=(9Z2-(9Zi.

常用结论

Li的乘方具有周期性

i4n=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4"+l+i4〃+2+i4"+3=0,〃@N*

2.(l±i)2=±2i,V=i；E=一1

1—11+1

3.复数的模与共扼复数的关系

z-z=|z|2=|z|2.

M真题自测

一、单选题

1.（2023•全国•高考真题）设QER,(q+i)(l_qi)=2,,则。=()

A.-1B.0C.1D.2

设2：i,贝匹=（）

2.（2023,全国・高考真题）

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

1-i_

3.（2023•全国•高考真题）已知Z—,贝Uz—z=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

4.（2023•全国•图考真题）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（2022•全国•高考真题）(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

6.（2022•全国・高考真题）右z--l+Gi,贝!J_1=()

zz—1

-1-V3iC.gn15

A.-1+V3iB.

3333

7.（2022・全国・高考真题）已知z=l-2"且Z+Q亍+6=0,其中Q,6为实数，则（

A.a=l,b=-2B.a=—1,b=2C.a=l,b=2D.q=—l,b=-2

8.（2022•全国•高考真题）若i(l-z)=l,则z+-=()

A.-2B.-1C.1D.2

3/10

2-i

9.（2。21•全国•高考真题）复数后在复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.（2021,全国局考真题）设2（z+z）+3（z—z）=4+6i,贝（jz=）

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

11.（2021•全国•高考真题）已知z=2—i,则z（z+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+21

12.（2021•全国•高考真题）已知（1—i）2z=3+2i,则2=（）

333

A.-1——iB.-l+-iC.——+i

222

LL考点突破

【考点1】复数的概念

一、单选题

1.（2023•黑龙江佳木斯•三模）复数2=1+212+3『+鬃@202412°24的虚部是（）

A.1012B.1011C.-1011D.-1012

2.（2024•河南郑州•三模）复数z=a+6i（。]€：»且。/0）,若（l+2i”为纯虚数，贝！]（）

A.a=-2bB.a=2bC.2a=bD.2a=-b

二、多选题

3.（2024•福建莆田•三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（）

A.若z+z=0,则二=iB.若z-z=2忖，则忖=2

z

C.若2]=z,则Z]=zD.若|z+zJ=0,贝Z]+=0

4.（2024•山东济宁•三模）已知复数4，4，则下列说法中正确的是（）

A.|平2卜㈤忆|

B.k+z2|=k|+h|

（2."2仔2€区"是"4=^"的必要不充分条件

D."㈤=团〃是“z；=z”的充分不必要条件

三、填空题

4/10

5.（2024•贵州黔南•二模）i为虚数单位，若z是以2+i的实部为虚部、以2i+l的虚部为实部的复数，贝心的

共朝复数的模长为.

6.（2024・湖北荆州■三模）棣莫弗定理：若"为正整数，则［r（cos0+is%0）］"=/'+,其中

i为虚数单位，己知复数Z=2。即丽（siq+icos3，则产/,产）的实部为.

反思提升：

1.复数2=。+历（a,b©R）,其中a,6分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部6=0,与实

部a无关；若2为虚数，则虚部6W0,与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且6W0.

2.复数z=a+历（a,6£R）的模记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+6i|=-\/^PP.

3.复数2=a+历（a,b©R）的共机复数为2=。一历，贝Uz，z=02=©2,即匕|=|z|=Jz,2,若2WR,

则2=Z.

【考点2】复数的四则运算

一、单选题

1.（2024•江西鹰潭•二模）已知Z=O+1），则I的虚部为（）

1-i

A.2iB.-2iC.-2D.2

2.（2023・云南•模拟预测）已知％,z?是方程一一2x+2=0的两个复根，则忖一；卜（）

A.2B.4C.2iD.4i

二、多选题

3.（2024・河南•二模）已知复数2=工，［是z的共软复数，则下列说法正确的是（）

1-i

A.z的实部为:

B.复数三在复平面中对应的点在第四象限

C・z>z

-1

D.Z'Z-—

2

4.（2023・重庆•二模）已知复数为，z2,则下列结论中正确的是（）

A.若Z/2GR,则Z2=4B.若2仔2=0,则Z]=0或Z2=0

C.右Z/2—Z/3且Z]W0,则Z?—Z、D.若z；=z；,则㈤=%|

三、填空题

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5.（22-23高三上•天津南开•期中）己知竺出（i为虚数单位，aeR）为纯虚数，则。=.

1+i

6.（2024•福建厦门•三模）复数z满足2+7=2,zz=4,贝!J|z—z|=.

反思提升：

（1）复数的乘法类似于多项式的乘法运算；

（2）复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共相复数.

【考点3】复数的几何意义

一、单选题

1.（2024•全国•模拟预测）如图，复数z对应的向量为应，且|z-i|=5,则向量方在向量而上的投影向

2.（2。24•湖南长沙•一模）复数z=比在复平面内对应的点位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多选题

3.（2021•全国•模拟预测）已知z是复数，且二为纯虚数，则（）

z-1

A.口=1B.z-z-\

C.z在复平面内对应的点不在实轴上D.|二-2-2i|的最大值为百

4.（2024•江西•二模）已知复数2=0+1（aeR且a>0,i为虚数单位），若（z+DR+l）=10,则下列说法

正确的是（）

A.7在复平面上对应的点位于第四象限

B.\z+z\=2\[5

D.若复数均满足则在复平面内马对应的点构成的图形的面积为兀

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三、填空题

5.（21-22高三上•北京西城•期中）在复平面内，复数z所对应的点的坐标为（1,-1）,则.

6.（2024•安徽・模拟预测）若复数z=（a+4）-（a+5）i在复平面内对应的点位于第三象限，则实数。的取值范

围是■

反思提升：

1.复数2=a+bi（a,b©R）一—一对应一Z（q,b）一—一对应玄=（口,b）.

2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复

数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

【考点4】复数与方程

一、单选题

2

1.（2024•湖南长沙•二模）关于x的方程x+x+l=0在复数范围内的两个根4、z2,贝!!（）

11.z,

A.zt+z2=]B.乎2=-1C.—+一=1D.­=1

Z1Z2

2.（2024•河北邢台•二模）已知复数句，z1,下列说法正确的有（）

A.若zj+z：=0,则4=z?=。

B.若z=1+2,是关于x的方程/+px+q=0（p,qeR）的一个根，贝！|〃+q=7

C.若Z[Z]=z?Z2,则㈤=%|

D.若|句一闻=团,贝”=0或Z2=2z

二、多选题

3.（2024・辽宁沈阳・模拟预测）已知。,6eR,方程/-3/+6-方=0有一个虚根为1+i,i为虚数单位，另

一个虚根为Z,则（）

A.。=3B.该方程的实数根为1

20241012

C.z=2-iD.Z=2

4.（2024•浙江温州•三模）已知4/2是关于x的方程尤2+pr+q=0（p,qeR）的两个根，其中z1=l+i,则（）

=

A.=z2B.z；=z；C.p=-2D.q2

三、填空题

5.（2023•河南•三模）已知（l+i）z=2i（i为虚数单位），z为实系数方程/+0式+4=0的一个根，则

p.q=.

7/10

6.（2024•广东广州•二模）若1+i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程/+履+2=0的一个虚根,

则实数后二.

反思提升：

（1）对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.

（2）对复系数（至少有一个系数为虚数）方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.

分层检测

【基础篇】

一、单选题

1.（23-24高一下•浙江•期中）若复数z满足（3+4i）z=|4+3i|,贝l]z的虚部为（）

4

A.-4B.——

5

4.

C.-4iD.—1

5

2.（2024•江西景德镇•三模）下列有关复数Z?的等式中错误的是（）

A.B+Z2=W+"

B.zx+z2=z{+z2

C(Z]*Z1~2],Z]D.

若2=瞿之为纯虚数，则加=（）

3.（2024•江西宜春•模拟预测）

3i-2i

A.2B.4C.-2D.-4

4.（2024・辽宁大连•模拟预测）已知（l-i）2=2（i为虚数单位），贝心的虚部是（）

A.iB.-iC.1D.-1

二、多选题

5.（2024•河北沧州•模拟预测）复数z=a-3i（a»0）,则下列说法正确的有（）

A.z在复平面内对应的点都位于第四象限

B.z在复平面内对应的点在直线y=-3上

C.z-z=-6i

D.|z+i|的最小值为4

6.（2024•福建泉州•模拟预测）若匕-=则（）

A.|z+l|=|z+i|B.Iz-ll=|z+i|

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C.z+z=oD.z2是纯虚数

7.（2024•福建福州•三模）已知复数4/2,下列结论正确的是（）

A.若2]=z?,则z；=z；B.Zj-z2=Zj-z2

C.若平2=0,则Z]=0或Z2=0D.若Z[W0且Z]=Z2，则平2=匕「

三、填空题

8.（2024・湖北武汉•模拟预测）已知复数z满足|z-i|=&，贝!|巧|的最小值为.

9.（2024•河北唐山•二模）已知i为虚数单位，复数z满足（1-3i）-z=|3+4i|,则复数z的虚部为.

10.（2024・北京•三模）若/1是纯虚数，则实数。的值为_________.

1-ai

四、解答题

11.（22-23高一下•福建三明•阶段练习）已知复数Zi=-2+bi/2=a+i.

⑴若4=z2,求a和6的值；

（2）a=-2,6=4,求」.

Z2

2+4i

12.（22-23高三•全国•对口高考）已知复数z=a+bi（q,Z?GR）,存在实数,,使彳二------3函成立.

t

⑴求证：2a+6为定值；

（2）若|z-2区。，求Q的取值范围.

【能力篇】

一、单选题

1.（2024・河南商丘•模拟预测）已知