2024年高考数学重点题型训练：导数与切线（解析版）【艺体生专供】新高考

专题23导数与切线

一、考向解读

考向：导数中的一个重要考点即是切线，经常以小题或者大题第一问出现，属于导数中

为数不多较为简单的考点，必定要掌握！

考点：导数与切线

导师建议：抓住切线的本质是一条直线，利用点斜式考虑问题，主要解决切点和斜率！

二、知识点汇总

1.导数的概念

(1)函数尸於)在X=XO处的导数：(函数尸於)在X=X()处的瞬时变化率)

空Hxo+Ax)—,1...AyX%o+Ax)-/(xo)

M―一旭b瓦，记作了(词或y|x=xo，即Bn/(xo)一小鼻心二小叫瓦•

⑵导数的几何意义：

函数人x)在点X0处的导数/(次)的几何意义是在曲线y=/(x)上点P(xo,州)处的切线的斜率.相

应地，切线方程为y—yo=/(xo)(x—xo).

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

»=%«(«eQ*)f(x)=n-xn~i

J(x)—sinx/(x)=cosX

fix)=cosXf(x)=­sinx

fix)=ax(a>Q)f(x)=axlna

Hx)=e"/W=ex

fix)=logaX((2>0,且存1)/(“)—xlna

1

y(x)=lnx/W=~

3.导数的运算法则

(i)g)土ga)1=/a)土g，a)；

(2)[/(x).g(x)y=/(x)g(x)+%)g，(x)；特别的Mx)]，=4Xx)；

3_/(x)g(x)—Ax)g'(x)

(g(x)和).

⑶£(%)」—[g(x)]2

4.复合函数的导数

复合函数y=/(g(x))的导数和函数M=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'-Ux,即y对x的导

数等于y对M的导数与M对x的导数的乘积.

【常用结论】

1.“在”点(%，%)处的切线(已知切点)

①斜率=左=/5)

②切线y-%=/'(Xo)(X-Xo)

2.“过”点(为,%)的切线(不知道切点)

①设切点(%,%);

②写切线方程y-/(%)=/@)(》-%)

③代点可得：y「/(Xo)=7'(Xo)(X1-Xo)上;

④解得为,回代②得切线.

三、题型专项训练

目录一览

①求曲线的斜率

②求在曲线上某一点的切线方程

③求过一点的切线方程

④已知切线(斜率)求参数

⑤两条切线平行、垂直、公切线问题

高考题精选

题型精练，巩固基础

①求曲线的斜率

一、单选题

1.曲线y=/—3x在点（1,-2）处的切线的倾斜角为（）

A.工B.工C.上D.工

6433

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义求解.

【详解】因为y'=4/_3,所以y'L=l,故所求切线的倾斜角为］.

故选：B.

2.函数y=e、x在x=0处的切线的斜率为（）

A.0B.1C.2D.e

【答案】A

【分析】将函数求导，由导数的几何意义即可得到结果.

【详解】函数尸e―x的导数y'=e“_l,

由导数的几何意义，可知：

在x=0处的切线的斜率为6。一1=1一1=0.

故选:A.

3.函数〃尤）=岑（e是自然对数的底数）图象在点（0,/（0））处的切线的倾斜角是（）

,兀c兀—3兀2兀

A.—B.-C.—D.—

4243

【答案】C

【分析】求出/''（0）,从而可得在点（0,7（。））处的切线的倾斜角.

-sinx-e%-e%-cosx-sinx-cosx

【详解】尸（x）=

所以在点（0,7（0））处的切线的倾斜角是手.

故选:C.

4.函数/（x）=e"（sinx+cosx）在％=0处切线的斜率为（

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义，求出导函数在该点处的值即可求解.

【详解】因为函数/(x)=e"(sinx+cosx),

则/'(%)-e"(sinx+cosx+cosx-sinx)=2excosx,

所以广(0)=2,也即函数/(x)=e飞inx+cosx)在x=0处切线的斜率左=2,

故选：B.

②求在曲线上某一点的切线方程

5.函数/(幻==一的图象在点(0,7(0))处的切线方程为()

X+1

A.7x+y+5=0B.7x+y-5=0C.7x-y-5=0D.7x—y+5=0

【答案】c

【分析】首先求出函数/(x)在x=0处的切线斜率，再利用点斜式写出方程即可.

【详解】f'(x)=2(二1)一斤一5)=,贝！］广(0)=7,而/(0)=-5,故函数7•(幻=生不在(0,-5)处的

(x+l)(x+l)X+1

切线方程为y+5=7x,则7x-y-5=0.

故选：C

6.曲线y=/+l在点(-1,a)处的切线方程为()

A.3元-y+3=0B.3x-y+l=0

C.3尤+y+l=0D.3x+y+3=0

【答案】A

【分析】根据切点和斜率求得切线方程.

3

【详解】t/=(-l)+i=o,故切点为

y=3x2,yu=3,即切线的斜率为3,

所以切线方程为y=3(x+l),即3x-y+3=0.

故选：A

7.函数"x)=ln(3x-2)-2x的图象在点处的切线方程是()

A.x+y+l=0B.x+2y+3=0

C.x-2y-3-0D.x-y-3-0

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式可求出结果.

□

【详解】r（x）=」-2,则切线的斜率是r（i）=i,/（i）=-2,

则切线方程是k（一2）=卜（元一1）,即x-y_3=0.

故选：D

8.已知〃x）=xex+3sinx,则曲线＞=/（尤）在点（0,/（0））处的切线方程为（）

A.y=xB.y=3xc.y=2xD.y=4x

【答案】D

【分析】求出在点（0，/（0））处的导数即为切线的斜率，直接写出切线方程即可.

【详解】因为/（x）=xe*+3sinx,所以/（0）=0,/'（x）=e*+xe*+3cosx,

所以切线的斜率％=/'（。）=1+3=4,

所以曲线V=/（x）在点（0,7（0））处的切线方程为V=4x,

故选：D.

9.若y（x）=[+3/⑶，则曲线“X）在X=2处的切线方程为（）

A.5%+2y+4=0B.5%+2y-4=0

C.5x-2y+4=0D.5x-2y-4=0

【答案】A

2

【分析】求出原函数的导函数，取x=3,解得r⑶=_》4贝！|〃司=3V_二Qv，求得〃2）=-7,尸⑵=-十S

可得切点坐标和切线斜率，利用直线方程的点斜式得答案.

2

【详解】〃幻=++3犷'⑶，/'（x）=x+3r（3）,

令x=3J'（3）=3+3/'⑶，解得广（3）=-；.

所以=4-算，/（x）=x-?，贝!J〃2）=-7"。）=一|

所以曲线“X）在x=2处的切线方程为"7=-3（X一2）,即5x+2y+4=0.

故选：A.

10.若点A（a,a）,5仅,e"）（a,beR）,则A、B两点间距离|明的最小值为（）

A.1B.且C.J2D.2

2

【答案】B

【分析】根据切线方程的求解，转化成两条直线间的距离即可求解.

【详解】点4（%）在直线y=x,点B仅，巧在y=e，上，y=e\y=e\设第=e，的切线的切点为（如%）,

令y，=lne而=ln%=0,所以y=e，在点（0,1）处的切线为y=x+l,此时切线y=x+l与直线y=x平行,

直线y=x与y=x+l之间的距离」="为|明的最小值，

V1+12

故选：B

③求过一点的切线方程

11.已知函数〃%）=依3+X+1的图像在点（I"⑴）的处的切线过点（2,11）,则"=（）.

35

A.—B.—C.1D.2

24

【答案】D

【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可.

【详解】解：函数/（力=/+》+1的导函数为/（%）=3加+1,

r（l）=3a+l,而“l）=a+2,

切线方程为y_q_2=（3a+i）a-1）.

因为经过点（2,11）,所以11—a—2=（3a+l）（2—1）,

解得a=2.

故选：D.

【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，属于基础题.

12.若曲线y=«的一条切线经过点（8,3）,则此切线与曲线的切点坐标为（）

A.（4,2）B.（9,3）C.（4,2）或（9或）D.（4,2）或（16,4）

【答案】D

【分析】先求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求出切线方程，由切线经过点（8,3）,代入曲线方程

中，即可求切点坐标.

【详解】设切点为y'=2^'2^—=，工。+8=6,

；.(%_4)5—16)=0,

/.无。=4或16,.•.切点坐标为(4,2)或(16,4),

故选:D

【点睛】此题考查导数的几何意义，求出函数的导数即可求出切线斜率，注意区分直线过点的切线和在某

点处的切线的区别，属于基础题.

13.过点(0,-1)作曲线f(x)=xlnx的切线，则切线方程为

A.x+y+l=0B.尤-y-l=0

C.x+2y+2=0D.2x-y-l=0

【答案】B

【解析】设切点为(%,%),再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.

【详解】/'(X)=lnx+1,

设切点为(%，%),，%=与山/，

%+1

:.=lnxO+1,

%

/.xOlnxO+l=xOlnxO+xO,:.xO=l,/.yO=O,

所以％=/'(%)=1,

切线方程为y=x-l,即x-y-l=O,

故选：B.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平.

14.若过原点的直线/与曲线y=2+ln无相切，则切点的横坐标为

A.—B.—C.2D.e

2e

【答案】B

【解析】设切点坐标，求导，求出切线的斜率，用点斜式写出切线方程，把原点坐标代入切线方程，即可

求出切点坐标.

【详解】设切点坐标为,2+lnx°),由y'=,，

x

切线方程为y-2-ln%=L(龙-/)，

原点坐标代入切线方程,

得2+ln/=l,解得尤。」.

e

故选:B

【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

15.过坐标原点作曲线y=(x-4)e,.的切线，则切线有()条

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】设切点为(为,%),利用导数的几何意义表示出切线方程，将(0,0)代入方程，即可求得答案.

【详解】由y=(x-4)e*可得y=(x-3)e]

过坐标原点作曲线y=(x-4)e'的切线，设切点为(%,%),则切线斜率为k=(x°-3)e'。,

切线方程为V-%=(%-3)3(彳-%),又%=(5-4)十，

所以一(将一4)1。=(%-3)e-(-x0),即X；-4%+4=0,

所以演=2,即切线有I条.

故选：B.

16.曲线y”尤在方；处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()

c兀

7D.-

A・喑2

【答案】A

【分析】根据同角的三角函数关系式，结合导数的运算法则、导数的几何意义进行求解即可.

【详解】y=tanx=s^nx-ny=cos2x+sin2x1

COSXcos2xcos2X

因此该曲线在方处的切线的斜率为-7

4

所以切线方程为：y—tanf=2(x——1=2%—

442

TT

令x=0,得y=l-,,

1jr

令y=0,#x=-(--l),

因此三角形的面积为〈x：x(g-l)x1一g=生留，

222216

故选：A

④已知切线(斜率)求参数

17.已知函数〃x)=ei+依2+1的图象在％=1处的切线与直线x+3yT=0垂直，则实数。的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出。的值.

【详解】由/(x)=e，-+ax?+1,得/(x)=ei+2ax,

因为函数AxXei+^+l的图象在x=l处的切线与直线x+3y-l=0垂直，

所以尸(1)=1+2。=3,则a=l.

故选：A.

18.若曲线y=@*在点(1,。)处的切线与直线/"+y+5=0平行，则实数。=()

A.!B.1C.-D.2

22

【答案】D

【分析】求出原函数的导函数，可得函数在x=l处的导数值，再由两条直线平行与斜率的关系列式求解.

qlnx+tz,1-lnx-tz-.

【详解】由＞=------，得y'=——j一，y

XX

曲线丫=生匕在点(l,a)处的切线与直线/：x+y+5=0平行，

X

:A—a=—l9即〃=2.

故选：D.

19.若函数/a)=e'+lnx+a的图象在点(11(1))处的切线方程为＞=6-1,贝心=()

A.1B.0C.-1D.e

【答案】B

【分析】求导得到左=/'(l)=e+l,再利用*l)=e+a=I=e,求出。的值.

【详解】因为1(x)=e'+J,所以尸6=e+l,故左=e+l

又/(l)=e+a=Z-l=e,所以q=0.

故选：B

20.已知曲线丫=号且在点(0,4)处的切线方程为v=x+),则4+6=()

A.2B.eC.3D.2e

【答案】A

一，Y+9—（1

【分析】根据导数的几何意义，求出导函数>'=，令x=0结合切线的斜率求出a，再将点坐标代入切

e

线方程求出6即可得到结果.

【详解】根据导数的运算公式

,_2e“-（2x+〃）e"-2x+2-a

，

y=ee

当x=0时,y'=2-。，

•e-2—Q=1,即a=l.

（o,i）满足方程y=%+3

即〃=1,

:.a+b=2.

故选:A.

21.若曲线y=Y+依+0在点尸（0,加处的切线方程为x-y+l=0,贝/，6的值分别为（）

A.1,1B.-1,1C.1,-1D.-1,-1

【答案】A

【分析】利用切点处的导数等于切线斜率，结合切点在切线上可得.

【详解】解：因为y=2%+%所以川.。=〃

曲线y=%2+ox+b在点（0*）处的切线X—y+l=0的斜率为1,

..a=l,又切点（。,〃）在切线%-丁+1=。上，

0—Z?+l=0:.b=\.故选：A.

22.已知根〉0,n>0,直线y=,x+加+1与曲线y=ln%—〃+2相切，则工+工的最小值是（）

emn

A.16B.12C.8D.4

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出仅〃的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.

【详解】对y=lnx-〃+2求导得y」，

X

由y'='=，得x=e,贝!!!・e+m+l=lne—〃+2,即加+〃=1,

xee

^fl^—+-=（m+H）f—+->|=2+—+—>2+2=4,

mn\mn）mn

当且仅当〃?=〃=：时取等号.故选：D.

⑤两条切线平行、垂直、公切线问题

23.曲线＞=工与曲线＞=-%2的公切线方程为()

X

A.y=-4x+4B.y=4x-4

C.y=-2x-b4D.y=2x-4

【答案】A

【分析】画出图象，从而确定正确选项.

【详解】画出y=Ly=-尤2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合.

X

故选：A

A,1

24.函数/(%)=改+9的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线/=＞的切线，则。—匕=()

%3

A.1B.3C.6D.2

【答案】C

【分析】根据导数得出函数/■(%)与抛物线在点(1,3)处的切线的斜率，根据已知两切线相同即可得出答案.

【详解】f^=ax+-,贝!|尸(无)=“-与，则在点(L3)处的切线的斜率为匕=1(1)=，4=“-。，

无2=gy，则y'=6x,则在点(1,3)处的切线的斜率为a=6,

1-.1

函数/(%)=改+9的图象在点(1,3)处的切线也是抛物线-=：y的切线，

则左1=%2，即Q—b=6,

故选：C.

25.已知函数〃x)=xlnx,g(x)^ax2-x.若经过点A(1,O)存在一条直线/与曲线y=/(x)和y=g(x)都

相切，则"=()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】先求得/⑺在A(LO)处的切线方程，然后与g(X)=^2—工联立，由△=()求解

【详解】解析：・・・/(%)=九Inx,・・・r(x)=l+lnx,・・.7”)=l+lnl=l,・••左=1,・••曲线y=/(x)在A(1,O)

处的切线方程为V=%-1,由1’2得♦-2%+1=0,由△=4—4i=。，解得〃=1.

[y=ax-x

故选：B

26.若函数“尤)=2alnx+l与8(”=公+1的图像存在公共切线，则实数。的最大值为()

2

A.eB.2eC.—eD.e2

2

【答案】A

【分析】分别设公切线与g(x)=f+l和〃x)=2alnx+l的切点(无“尤;+1),(%,241nx2+1),根据导数的几

何意义列式，再化简可得。=2只-2*111X2,再求导分析/心)=2/-2婿111X。>0)的最大值即可

【详解】g'(x)=2x,尸(无)=干，

设公切线与g(x)=犬+1的图像切于点(%,尤;+1),

与曲线f(x)=2alnx+l切于点(%2,2alnx2+l),

所以2尤3=(2°111々+1)-(龙；+1)=2aln/x；,

x2x2—xxx2—x1

故a=y,所以2占=2^^,

龙2.玉

所以石=2X2-2X2-Inx2,

因为a=x1x2,故4=2%；-2x|Inx2,

设h(x)=2x2-2x2-Inx(x>0),

贝()〃(x)=2Ml—21nx),令//(%)=Onx=&

当〃(九)>0时，XG(0,5/e),当〃(%)<0时，XG(A/C,+CO),

所以"(x)在(0,&)上递增，在(加\+8)上递减，

所以/z(x)1mx=7i(Ve)=e,

所以实数a的最大值为e,

故选:A.

⑥多选题与填空题

二、多选题

13

27.在曲线/（x）=:上切线的倾斜角为（乃的点的坐标为（）

A.(1,1)B.(—1,-1)C.P2D.

【答案】AB

【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点

3

【详解】切线的斜率％=3不=-1,

设切点为（%，%）,贝!ir（Xo）=T,

又（（无）=一］

所以，

所以％=1或%=-1,

所以切点坐标为（L1）或

故选：AB.

28.过点尸（-2,1）的直线与函数/（劝=丁+1的图象相切于点2（%,%）,则％的值可以是（）

A.0B.2C.3D.-3

【答案】AD

【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.

【详解】因为/（x）=V+l,所以尸（x）=3f,

由题意得直线PQ的斜率k=/U）=口，

即3"点，解得V。或』7

故选:AD.

29.已知曲线〃尤）=2（x+l『+l,则曲线过点尸（0,3）的切线方程为（）

A.6x+y-3=0B.6x-y+3=0

C.5x-2y+6=0D.3x—2y+6=0

【答案】BD

【分析】设出切点坐标，对函数求导求出切线斜率，利用点斜式方程写出切线，将网。,3)代入，解方程计

算出切点坐标，进而得出切线方程.

【详解】设切点坐标为卜0,2(%+1)3+1),

2,2

f'(x)=6(x+l),切线斜率为k=/(x0)=6(x0+l)

切线方程为y-[2(%+iy+1]=6(%+1『(xf)

曲线过点尸(。,3),代入得3-[25+1)3+1卜6伍+1)2(-天)

可化简为(%+1丫-3%伉+1)2=1,即-2X；_3X；=0,解得%=。或％

贝(I曲线过点尸(0,3)的切线方程为6x-y+3=0或3x-2y+6=0

故选：BD

30.函数“x)=d+x-2的图象在点p处的切线平行于直线y=4x-l,则尸点的坐标可以为()

A.(1,0)B.(2,8)C.(-1,-4)D.(1,4)

【答案】AC

【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得尸点的横坐标，进而求得P点的坐标.

【详解】依题意，令八尤)=3炉+1=4,解得x=±l

/(1)=0,/(-1)=-4,

故P点的坐标为(1,0)和(-1,T),

故选：AC

31.已知函数〃尤)=』-l+lnx,则()

X

A.“外在x=l处的切线为x轴B."%)是(0,+⑹上的减函数

C.尤=1为八%)的极值点D.“X)最小值为0

【答案】ACD

【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断A；结合函数的单调性与导数的关系，判断B;根据

导数的正负与函数极值的关系，判断C,继而判断D.

【详解】由题意知〃无)=1-1+依,(彳＞0),故[⑺=_5+：=*

故"X)在x=l处的切线的斜率为了'⑴=0,而/⑴=l-l+lnl=0,

故在x=l处的切线方程为、-0=0(无-1),即y=0,

所以〃x)在x=l处的切线为x轴，A正确；

当0<x<l时，/'(x)<。，当x>l时，/^)>0,

故/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,内)上单调递增，B错误；

由此可得x=l为〃尤)的极小值点，C正确；

由于在(0,+8)上〃x)只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，

最小值为/。)=。，D正确，

故选：ACD

32.已知函数f(x)=xln(l+x),则()

A.f(x)在(0,+00)单调递增

B./⑺有两个零点

C.曲线y=Ax)在点V：)处切线的斜率为T—ln2

D.f(x)是奇函数

【答案】AC

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性

的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：/(x)=xln(l+x),定义域为(—1,+8),贝(J/'(x)=ln(x+l)+士，

由y=ln(x+l),y=缶=1-占都在单调递增，故V=f(无)也在单调递增，

又八0)=0,故当了《一1,0)时，f\x)<0,/(x)单调递减；当xw(O,—)时，/(x)>0,/(%)单调递增;

故A正确；

对B：由A知，/(x)在(-1,0)单调递减，在(0,+s)单调递增，又"0)=0,

故了(无)只有一个零点，B错误；

对C尸(-g)=ln：-l=-lTn2,根据导数几何意义可知，C正确；

对D：/(%)定义域为(-1,+/),不关于原点对称，故/■("是非奇非偶函数，D错误.

故选：AC.

33.函数〃x)=lnx+l,g(x)=e£-l,下列说法正确的是()

A.存在实数抗，使得直线y=x+7〃与y=相切也与y=g(x)相切

B.存在实数%,使得直线>=丘-1与y=/(x)相切也与y=g(x)相切

C.函数g(x)-“X)在区间c,+，(上单调

D.函数g(x)-/(X)在区间[g+oo)上有极大值，无极小值

【答案】ABC

【分析】设切点分别为尸(为，必)，。(均必)，根据导数的几何意义列出方程，化简得(萨-1)氏-1)=0,解得尤2=。

或七=1,得到公切线的斜率为％=1或左=e,得出切线方程可判定A、B正确；令//(x)=g(x)-〃x),求

得〃(x)=e=j令°(x)=e，-：,x>0,利用导数求得所以°(x)单调递增，得到"⑴单调递增，结合

〃'(|)>0,得出〃(力在区间弓,+8)上单调递增，可判定C、D错误.

【详解】设直线分别与V="%)与尸g(x)分别相切于点P(占,%),。(々，％)，

则)=/(玉)=比芯+1，%=e'2—1且/'(x)=g,g'(x)=ex,

Inx,+l-e%2+1

所以j且1

xi-x2

化简得(小-1)(受-1)=0,解得々=0或X2=l,

当％=。时，可得g'(0)=0,即切线的斜率为左=1,且g(o)=o,即切点坐标为Q(o,o),

此时切线的方程为y=x；

当％=1时，可得g")=e,即切线的斜率为左=e,且g6=e-l,

即切点坐标为。(l，e-l),此时切线的方程为.v-(e-l)=e(x-l),即、="-1,

故公切线方程为>=*或>="-1,所以选项A、B正确；

令/z(x)=g(x)-/(x)=e£-lnx-2,可得，

令=e*-！，尤>0,可得夕'(x)=e*+[>0,

XX

所以°(尤)单调递增，即“(X)单调递增，

又由“(2)=£-3,因为「一多>0,所以泾)>0,

32o3

O9

即X呜收）时,hr（x）>0,所以〃（x）=g（x）-/（x）在区间号+8）上单调递增，

所以C正确；

由C知，函数”（X）单调递增，所以函数Mx）无极值，所以D错误.

故选：ABC.

34.若存在过点0（0,0）的直线/与曲线/（%）=丁-3/+2x和y=/+。都相切，则。的值可以是（）

A.1B.—C.—D.-----

643264

【答案】AB

【分析】根据题意，分点。是切点与点。不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到

相应的切线方程，从而得到。的值.

【详解】由题意可得，f'（x）=3x2-6x+2,

因为（0,。）在直线1上，当0（0,0）为的切点时，

则广（0）=2,所以直线1的方程为y=2x,

又直线1与y=—+a相切，

所以％之+。一2%=0满足A=4-4a=0,得a=l；

当。（0,0）不是“冷的切点时，

设切点为（％，片-3x：+2%）（飞20）,

则/伍）=3片一6%+2,

所以'-3x；+2*=3*一6%+2,得

/2

所以所以直线/的方程为y=一;尤・

由<,49得X?H—x+u—09

y=x2+a4

由题意得A=^-4a=0,所以a=[.

1664

综上得。=1或"士.

64

故选:AB

三、填空题

35.曲线小)=》+3》在点已了倒处的切线斜率为,

【答案】0

【分析】求出点［I"1］：的导数，即该点处切线斜率.

【详解】解:由题知〃冷=x+cosx,

所以尸(x)=l-sinx,所以*j=0,

故在点。佃1处的切线斜率为0.

故答案为：0

36.曲线y=丹在点(1,-2)处的切线方程为.

【答案】y=-3%+1

【分析】利用导数的几何意义求解即可.

【详解】因为y=言，所以y=一1定，

x-2(x-2)

3

所以曲线了=三在点(1,-2)处的切线的斜率左=-03=-3,

Y-4-1

所以曲线＞=若在点(1,-2)处的切线方程为y-(-2)=-3x(x-l),

整理得y=-3x+i,

故答案为：y=-3x+l

37.由线y=2x-ln2x在x处的切线方程是.

【答案】y=i

【分析】首先求导得y'=2-：,求出切点为切线斜率为o,则得到切线方程.

【详解】％=1时,y=i,则切点为=

2k27x

故切线斜率£^一-7/——1一-0、

2

所以切线方程:化简得y=L

故答案为：y=L

38.函数〃x)=%-，在x=l处的切线与直线y=2x平行，贝IJ〃=.

【答案】1

【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.

【详解】因为=所以尸(无)=1+/,

所以函数=在X=1处的切线斜率为广⑴=1+4,

因为该切线与直线y=2尤平行，故1+。=2,解得。=1

故答案为：1

39.若函数〃x)=x-alnx的图象在点(I"⑴)处的切线恰好经过点(2,3),则。=.

【答案】-1

【分析】先求导,然后分别求出/'(I),/。)，表示出切线方程，最后将点(2,3)代入切线方程即可求出

答案.

【详解】由题可知((x)=l-，，则尸⑴=1-匹

又"1)=1,所以〃尤)的图象在点(L〃l))处的切线方程为y—i=(i-4)(x—l),即y=(l—。)x+a.因为点

(2,3)在切线上，所以3=2-2a+a,解得a=-1.

故答案为：-1.

40.过点4(-3,0)作曲线y=(lr)e,的切线，则切线方程是.

【答案】x-ey+3=O

【分析】确定点A(TO)不在曲线上，设切点为(%,%),利用导数的几何意义表示出切线方程，将A(-3,0)

代入，求得切点坐标，即可求得答案.

【详解】由题意可知，当x=-3时,」=41，0,故点A(-3,0)不在曲线y=(l-x)e"上,

由y=(l-x)e'nT^/=-xev,

过点A(TO)作曲线y=(l-x)e'的切线，设切点为(%,%),

则切线斜率为左=r°e'。，则切线方程为丫-%=-%6'。(尤-尤。)，

将4(-3,0)坐标代入得：-%=-%-(-3-尤。)，

即=-Xoe为(3+5),即若+2X(,+1=0,;.X。=-1,贝！)>0=26一‘

故切线方程是=e-(x+l),即x-ey+3=0,

故答案为：x-ey+3=0

41.已知函数/(x)=e'与函数g(x)=lnx+b存在一条过原点的公共切线，则匕=.

【答案】2

【分析】由导数的几何意义分别表示公切线方程，再由公切线过过原点得出人

【详解】设该公切线过函数〃x)=e，、函数g(x)=lnx+6的切点分别为G，e,)，(X2，lnx2+b).

因为r(x)=e],所以该公切线的方程为y=)+炉=e'x+e』f炉

同理可得，该公切线的方程也可以表示为V='(x-X2)+lnx2+b=--x+lnx2+b-l

J1

e'1=—

%1

因为该公切线过原点，所以e"(If)=0,解得玉=1,%」力=2.

e

Inx2+Z?-1=0

故答案为：2

42.曲线y=e，与y=ln尤的公共切线的条数为.

【答案】2

【分析】设公切线关于两函数图像的切点为(40)，(%,In%),则公切线方程为:

31

e玉=__

y=6%(无一xj+e^1

In%，则无2

%1

e(1-xJ=lnx2-1

(x2-1)Inx2-x2-1=0,则公切线条数为/z(x)=(x—l)lnx—x—l零点个数.

【详解】设公切线关于两函数图像的切点为L，e],(%,In%),则公切线方程为:

x1

e1=——

百—X1—(x-+InX?,

y=e+e则x2

X

2一eX|(1一玉)=ln%2-1

注意到马31=1，%=—In%,则由9(1-%)=ln%2-1,可得

1+Inx2=x2Inx2-x2=^>(x2-1)Inx2-x2-1=0.

则公切线条数为方程(％-1)In%--1=。的根的个数，

即函数/z(x)=(x-l)lnX-X-1的零点个数.

1111

〃(%)=lnx一,令p(x)=lnx——,则//(%)=—+-y>0,

XXXX

得"(x)=p(x)在(0,+8)上单调递增.因〃⑴=-1<o,^(e)=1-1>0,

则淞e(l,e),使得〃'(%)=In%0--=0.则九⑴在(0,与)上单调递减，在伉，+<»)上单调递增，

%0

故，(x)min=h(%)=(%-1)I11%-%-1=一,一七<0,

xo

又注意到A(e-2)=2(1-e-2)-e^2-1=1->0,

222222

/?(e)=2(e-1)-e-1=e-3>0,贝门/e(e-,%),3x4G(%,e),

使得〃(毛)=//优)=0,得/?(可有2个零点，即公共切线的条数为2.

故答案为：2

【点睛】关键点点睛：本题涉及研究两函数公切线条数，难度较大.

本题关键为将求公切线条数转化为求相关函数零点个数，又由题演有范围，故选择消掉为，构造与Z有关

的方程与函数.

四、高考真题精选

一、单选题

1.(2020•全国•统考高考真题)函数=W的图像在点(1,/⑴)处的切线方程为()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y-2x+l

【答案】B

【分析】求得函数y=/(x)的导数「(x),计算出/■⑴和广。)的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简

即可.

【详解】/(X)=X4-2X3,^=r(l)=-2,

因此，所求切线的方程为丫+1=-2(尤-1),即y=-2x+l.

故选：B.

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

2.(2020•全国•统考高考真题)若直线/与曲线y=&和尤2+y2=g都相切，则/的方程为()

A.y=2x+lB.y=2x+gC.y=^x+lD.y=^-x+^-

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义设出直线/的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】设直线/在曲线y=4上的切点为(尤。,仄)，则无。>0,

函数y=«的导数为丫'=/，则直线/的斜率左=去，

设直线/的方程为禽=2也(无一尤o),即x-2衣y+尤0=。，

cc141

由于直线/与圆d+y2=相切，则/*=­,

5，1+4%,5

两边平方并整理得5焉-4%-1=0,解得％=1,(舍)，

则直线/的方程为x-2y+l=0,即y=：x+：.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

3.(2021•全国•统考高考真题)若过点(a,6)可以作曲线y=e、的两条切线，则()

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ehD.0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数