2024秋高中数学第三章不等式3.4基本不等式第1课时基本不等式达标检测含解析新人教A版必修5

PAGE1-基本不等式A级基础巩固一、选择题1．(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有()A．当x<0时，x＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（－x）＋\f(1,－x)))≤－2·eq\r(（－x）·\f(1,－x))＝－2，故x<0时的最大值是－2B．当x>1时，x＋eq\f(2,x－1)≥2eq\r(x·\f(2,x－1))，当且仅当x＝eq\f(2,x－1)取等号，解得x＝－1或2，又由x>1，所以取x＝2，故x>1时的最小值为2＋eq\f(2,2－1)＝4C．由于x2＋eq\f(9,x2＋4)＝x2＋4＋eq\f(9,x2＋4)－4≥2eq\r(（x2＋4）·\f(9,x2＋4))－4＝2，故x2＋eq\f(9,x2＋4)的最小值是2D．当x，y>0，且x＋4y＝2时，由于2＝x＋4y≥2eq\r(x·4y)＝4eq\r(xy)，所以eq\r(xy)≤eq\f(1,2)，又eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f(1,x)·\f(1,y))＝eq\f(2,\r(xy))≥eq\f(2,\f(1,2))＝4，故当x，y>0，且x＋4y＝2时，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为4解析：对于A项，依据基本不等式，可判定是正确的；对于B项，当x>1时，x－1＋eq\f(2,x－1)＋1≥2eq\r(（x－1）·\f(2,x－1))＋1＝2eq\r(2)＋1，当且仅当x－1＝eq\f(2,x－1)取等号，即x＝eq\r(2)＋1时，最小值为2eq\r(2)＋1，所以B项不正确；对于C项，由于x2＋eq\f(9,x2＋4)＝x2＋4＋eq\f(9,x2＋4)－4≥2eq\r(（x2＋4）·\f(9,x2＋4))－4＝2，当且仅当x2＋4＝eq\f(9,x2＋4)，即x2＋4＝3时，此时不成立，所以C项不正确；对于D项，两次基本不等式的等号成立条件不相同，第一次是x＝4y，其次次是x＝y，所以不正确．答案：BCD2．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则()A．ab≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析：因为a2＋b2≥2ab，所以(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，所以a2＋b2≥2.答案：C3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则()A.eq\f(a＋d,2)＞eq\r(bc) B.eq\f(a＋d,2)＜eq\r(bc)C.eq\f(a＋d,2)＝eq\r(bc) D.eq\f(a＋d,2)≤eq\r(bc)解析：因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2eq\r(bc)，故eq\f(a＋d,2)＞eq\r(bc).答案：A4．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是()A．a2＋b2≥2|ab|B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋b2≤2|ab|D．a2＋b2＞2|ab|解析：因为a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．答案：A5．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A.eq\f(2ab,a＋b)<eq\f(a＋b,2)<eq\r(ab) B.eq\f(a＋b,2)≥eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)C.eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b) D.eq\r(ab)<eq\f(2ab,a＋b)<eq\f(a＋b,2)解析：a>b>0，eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，eq\f(2ab,a＋b)<eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).从而eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b).答案：C二、填空题6．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则eq\f(1,2)logat____logaeq\f(t＋1,2)(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a2＋a－2>0，所以a>1或a<－2(舍)，所以y＝logax是增函数，又eq\f(t＋1,2)≥eq\r(t)，所以logaeq\f(t＋1,2)≥logaeq\r(t)＝eq\f(1,2)logat.答案：≤7．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))≥4；③(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；④a2＋9>6a.其中恒成立的是________(填序号)．答案：①②③8．若0＜a＜b且a＋b＝1，试推断eq\f(1,2)、a、b、2ab、a2＋b2的大小依次：_________________________________________________.解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，所以a＜eq\f(1,2)＜b，①2ab＜a2＋b2，②下面找寻②中数值在①中的位置．因为a2＋b2＞2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，a2＋b2＝a·a＋b2＜a·b＋b2＝(1－b)b＋b2＝b，所以eq\f(1,2)＜a2＋b2＜b.又2ab＜2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)，2ab＞2×eq\f(1,2)a＝a，所以a＜2ab＜eq\f(1,2).所以a＜2ab＜eq\f(1,2)＜a2＋b2＜b.答案：a＜2ab＜eq\f(1,2)＜a2＋b2＜b三、解答题9．已知a，b，c都是非负实数，试比较eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)与eq\r(2)(a＋b＋c)的大小．解：对eq\r(a2＋b2)，eq\r(b2＋c2)，eq\r(c2＋a2)分别利用不等式2(a2＋b2)≥(a＋b)2，即可比较出二者的大小．因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，当且仅当a＝b时，等号成立．又因为a，b都是非负实数，所以eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，当且仅当a＝b时，等号成立.同理eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)，当且仅当b＝c时，等号成立，eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(c＋a)，当且仅当a＝c时，等号成立．所以eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝eq\r(2)(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．故eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．10．已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc＝1.求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(1,ab))＝2eq\r(c)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,bc))＝2eq\r(a)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))＝2eq\r(b)，以上三个不等式相加，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥2(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))，因为a，b，c为不全相等实数，所以eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).B级实力提升1．(多选)设a，b∈R，则下列不等式肯定成立的是()A．a2＋b2≥2ab B．a＋eq\f(1,a)≥2C．b2＋1≥2b D．|eq\f(b,a)|＋|eq\f(a,b)|≥2解析：当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab成立，故A项正确；当a>0时，a＋eq\f(1,a)≥2，等号成立的条件是a＝1，当a<0时，a＋eq\f(1,a)≤－2，等号成立的条件是a＝－1，故B项不正确；当b∈R时，b2＋1－2b＝(b－1)2≥0，所以b2＋1≥2b，故C项正确；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))>0，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>0，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))≥2eq\r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))×\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))))＝2，等号成立的条件是当且仅当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))，即a2＝b2，故D项正确．答案：ACD2．有下列不等式：①a2＋1>2a；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≥2；③eq\f(a＋b,\r(ab))≥2；④x2＋eq\f(1,x2＋1)≥1，其中正确的是________(填序号)．解析：因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以a2＋1≥2a，故①不正确．对于②，当x>0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x＋eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x<0时，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－x－eq\f(1,x)≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，所以②正确．对于③，若a＝b＝－1，则eq\f(a＋b,\r(ab))＝－2<2，故③不正确．对于④，x2＋eq\f(1,x2＋1)＝x2＋1＋eq\f(1,x2＋1)－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．答案：②④3．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤eq\f(1,3)；(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2