2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质单元测试卷一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1新20版练B1数学人教A版第三章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2024·河北衡水中学高一期中)下列各组函数中为同一函数的是()。A.f(x)=(x-1)2,gB.f(x)=x-1,g(t)=t-1C.f(x)=x2-1,g(x)=D.f(x)=x,g(x)=x答案:B解析:A,f(x)=(x-1)2=|x-1|的定义域是R,g(x)=x-1的定义域是R,对应关系不相同,所以不是同一函数;B,f(x)=x-1的定义域是R,g(t)=t-1的定义域是R,对应关系也相同,所以是同一函数;C,f(x)=x2-1的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞),g(x)=x+1·x-1的定义域是[1,+∞),定义域不同,不是同一函数;D,f(x)=x的定义域是R,g(x)=2.(2024·山西文水一中高一期末调研)已知f(x)=2x,x>0,f(x+1),A.-2B.4C.2D.-4答案:B解析:∵43>0,∴f43=2×43=83。∵-43<0,∴f-43=f-43+1=f-13=f-13+1=3.(2024·陕西凤翔高一期中调研)函数f(x)=-x2+15x+34A.[-17,0]∪(0,2] B.[-2,0]∪(0,17]C.(0,17] D.[-2,0)答案:C解析:要使函数有意义,需满意-x2+15x+34≥0,|x4.(2024·西北工大附中单元测评)函数y=(m2+2m-2)x1m-1是幂函数,则mA.1 B.-3C.-3或1 D.2答案:B解析:因为函数y=(m2+2m-2)x1m-1是幂函数,所以m2+2m-2=1且m≠1,5.(2024·河南信阳高一期中质检)函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则f(2-x)>0的解集为()。A.{x|x<-2或x>2} B.{x|-2<x<2}C.{x|x<0或x>4} D.{x|0<x<4}答案:C解析:∵函数f(x)=(x-2)(ax+b)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,∴二次函数f(x)图像的对称轴为y轴,∴-b-2a2a=0,且a≠0,即b=2a,∴f(x)=再依据函数在(0,+∞)上单调递增,可得a>0。令f(x)=0,求得x=2,或x=-2,故由f(2-x)>0,可得2-x>2或2-x<-2,解得x<0或x>4,故f(2-x)>0的解集为{x|x>4或x<0},故选C。6.(2024·安徽无为高一期末测试)设函数D(x)=x3,x≥01A.D(x)的定义域为R B.D(x)的值域为RC.D(x)是奇函数 D.D(x)是在各段内单调答案:C解析:当x>0时,-x<0,D(-x)=1-x≠-x3;当x<0时,-x>0,D(x)=(-x)3=-x3≠-1x。故D7.如图3-11所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=45°,AB=5,AD=3,点E由B沿折线B-C-D向点D移动,EM⊥AB,垂足为M,EN⊥AD,垂足为N,设MB=x,矩形AMEN的面积为y,那么y与x的函数关系图像大致是()。图3-11图3-12答案:C解析:∵EM⊥AB,∠B=45°,∴EM=MB=x,AM=5-x。当点E在BC上运动时,即当0<x≤3时,y=x(5-x)=-x-522+254;当点E在CD上运动时,矩形AMEN即为矩形AMED,此时3<x<5,y=-3x+15。所以y与x的函数关系为y=-8.(2024·福建惠安高一期中调研)设f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x1<0且x1+x2>0,则()。A.f(-x1)>f(-x2)B.f(-x1)=f(-x2)C.f(-x1)<f(-x2)D.f(-x1)与f(-x2)大小不确定答案:A解析:∵f(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,∴f(x)在(-∞,0)上是增函数,∵x1<0且x1+x2>0,∴-x2<x1<0,∴f(x1)>f(-x2),又∵f(-x1)=f(x1),∴f(-x1)>f(-x2)。故选A。9.f(x)满意对随意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则f(2)f(1)+f(4)A.2024 B.2024 C.4034 D.4036答案:B解析:∵f(x)满意对随意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)·(b),∴令b=1,得f(a+1)=f(a)·f(1),∴f(a+1)f(a)=f(1)=2,∴f(2)f∴原式=1009×2=2024,故选B。10.(2024·重庆大足一中高一期中测试)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是(A.(-∞,0)∪(0,1] B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,+∞) D.(0,1]答案:D解析:∵f(x)=-x2+2ax图像的对称轴为直线x=a,在区间[1,2]上是减函数,∴a≤1①。又∵g(x)=ax+1在区间[1,2]∴a>0②,由①②可得0<a≤1,故a的取值范围是(0,1],故选D。11.若函数f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在(-∞,0]上是增函数,则f14与fa2-a+A.f14>fB.f14<fC.f14≥fD.f14≤f答案:C解析:函数f(x)是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在(-∞,0]上是增函数,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数。∵a2-a+12=a-122∴f14≥fa2-12.(2024·山西侯马高一期末)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数,且f(x)·ff(x)+1x=1,则fA.1+52 C.1+52或1-答案:B解析:令x=1,得f(1)f(f(1)+1)=1,令t=f(1),则tf(t+1)=1,所以f(t+1)=1t,f(x)·ff(x)+1x=1中,令x=t+1,则f(t+1)·ff(t+1)+1t+1=1tf1t+1t+1=1,所以f1t+1t+1=t=f(1),因为函数f(x)为定义在(0,+∞)上的增函数,所以1t+1t+1=1,变形可得t2-t-1=0,解得t=1+52或t=1-52,所以f(1)=1+52或f(1)=1-52。令x=2,得f(2)·ff(2)+12,令t=f(2),则tft+12=1,所以ft+12=1t,令x=t+12,则ft+12·fft+12+1t+12=1tf1t+2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在题中的横线上)13.(2024·山东寿光一中高一月考)若定义运算a☉b=b,a≥b,a,a<b,则函数f答案:(-∞,1]解析:由题意知,x☉(2-x)表示x与2-x两者中的较小者,借助y=x与y=2-x的图像(如图所示),不难得出f(x)的值域为(-∞,1]。14.(2024·甘肃兰州高一检测)已知定义在R上的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=-x3+1,则f(-2)·f(3)的值为。

答案:182 解析:∵x>0,f(x)=-x3+1,∴f(3)=-33+1=-26,f(-2)=f(2)=-23+1=-7。∴f(-2)·f(3)=(-26)×(-7)=182。15.已知函数f(x)对随意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=1,则f12=答案:-1 解析:令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,又f(1)=f2×12=f(2)+f12,所以f12=f16.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知定义在R上的函数g(x)=[x]+[2x],若A={y|y=g(x),0≤x≤1},则A中全部元素的和为。

答案:4解析:很明显函数y=[x],y=[2x]均为单调不减函数,据此可得g(x)单调不减,且g(0)=[0]+[0]=0,g(1)=[1]+[2]=3,且g(0.5)=[0.5]+[1]=1,函数无法使函数值为2,否则[x]=0,[2x]=2或[x]=1,[2x]=1,这是不行能的,则集合A={0,1,3},综上可得A中全部元素的和为4。三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2024·江西兴国一中高一期中质检)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x+1。(1)求f(x)的解析式;答案:当x=0时,f(x)=0,当x<0时,-x>0,那么f(-x)=2(-x)+1,即f(x)=2x-1。综上,f(x)=2(2)当x<0时,方程f(x)=x2+tx+2t仅有一个实根(若有重根按一个计算),求实数t的取值范围。答案:将f(x)代入方程,得2x-1=x2+tx+2t,化简,得x2+(t-2)x+2t+1=0,记g(x)=x2+(t-2)·x+2t+1,设g(x)=0的两实根分别为x1,x2,当x1<0<x2时,有g(0)<0,即2t+1<0,∴t<-12;当x1<0=x2时,有g(0)=0,即t=-12,此时x2-52x=0,∴x=0或x=52(不符合,舍去);当x1=x2<0时,有Δ18.(12分)已知定义在R上的函数f(x),对随意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),当x<0时,f(x)>0。(1)推断f(x)的奇偶性;答案:令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0,令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,即-f(x)=f(-x),所以f(x)为奇函数。(2)若f(-kx2)+f(kx-2)>0对随意的x∈R恒成立,求实数k的取值范围。答案:任取x1,x2∈R,且令x1<x2,则f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x1-x2)+f(x2),f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0,f(x1)>f(x2),f(x)是单调减函数。∵f(-kx2)+f(kx-2)>0,即f(-kx2+kx-2)>f(0)=0恒成立,∴-kx2+kx-2<0恒成立,当k=0时,-2<0恒成立,当k≠0时,-k<0,综上,0≤k<8。19.(12分)(2024·北京海淀外国语学校高一期中)已知函数f(x)=x2+2x+a(1)当a=12时,求函数f(x)的最小值答案:当a=12时,f(x)=x+12x+2,x∈[1,+∞),设∀x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2+x2-x12x1x2=(x1-x2)1-12x1x2<0,∴f(x1)<f(x2(2)若对随意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围;答案:f(x)=x2+2x+ax>0对x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x恒成立,又∵y=-x2-2x在[1,+∞)上单调递减,当x=1(3)探讨函数的单调性。(只写出结论即可)答案:当a≤0时,f(x)=x+ax+2,为增函数;当0<a≤1时,f(x)在[1,+∞)上为增函数;当a>1时,f(x)在[1,a)上为减函数,在[a,+∞)20.(12分)(2024·山东肥城一中高一期末质检)已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)满意当x∈[0,2]时,f(x)=-x+23-(1)求函数f(x)的解析式;答案:设x∈[-2,0],则-x∈[0,2],∴f(-x)=x+23+x∵f(x)在定义域x∈[-2,2]上是偶函数,∴f(x)=f(-x)=x+23+x∴f(x)=x(2)设函数g(x)=ax-2-a(a>0),若对于随意的x1,x2∈[-2,2],都有g(x1)<f(x2)成立,求实数a的取值范围。答案:由题意得“对随意x1,x2∈[-2,2],都有g(x1)<f(x2)成立”等价于“g(x)max<f(x)min”。又因为f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数。所以f(x)在区间[-2,0]和区间[0,2]上的值域相同。当x∈[-2,0]时,f(x)=x+23+x设t=3+x,则t∈[1,3]令h(t)=t2+2t-3=(t+1)2-4,t∈[1,3]。则当t=1时,函数h(t)取得最小值h(1)=0,所以f(x)min=0。又g(x)max=g(2)=a-2,由a-2<0,解得a<2,因此实数a的取值范围为(0,2)。21.(12分)(2024·武汉模块统考)已知函数f(x)=x2(1)证明:函数f(x)是偶函数;答案:证明:∵对随意实数x,有f(-x)=(-x)2(-x)2+1=x2x2(2)记A=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024),B=f(1)+f12+f13+…+f12017,求A+答案:解:当x≠0时,f(x)+f1x=x2x2+1+1x21x2+1=x2x2+1+1x2+1=1。∴A+B=[f(1)+f(1)]+f(3)若实数x1,x2满意f(x1)+f(x2)>1,求证:|x1x2|>1。答案:证明:由f(x1)+f(x2)>1⇒x12x⇒x12(x22+1)+x22(⇒x12x22>1⇒|x22.(12分)(2024·广东广州执信