2024年中考数学复习：-二次函数与几何图形综合题 初三数学

二次函数与几何图形综合题

类型1与线段有关的问题

考向1线段数量关系

解决二次函数线段问题的关键是化斜为直.>

竖直线段长度=纵坐标之差，即PE=%-如.

y0D

将斜线段转化为竖直线段：PF=PEcosZEPF=PEcosZOBC./p

1.(2022辽宁丹东)如图1抛物线y=ax2+x+c(a丰0)与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点与y轴交于点C,点P是第一象限

内抛物线上的一个动点，过点P作PD±x轴，垂足为D,PD交直线BC于点E,设点P的横坐标为m.

图1图2

⑴求抛物线的表达式；

⑵设线段PE的长度为h,请用含有m的代数式表示h;

⑶如图2,过点P作PFLCE,垂足为F,当CF=EF时,请求出m的直

(4)如图3,连接CP,当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q,使原点O关于直线CQ的对称点O”恰好

落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标.

考向2利用对称性质求线段最值

2.(2022黑龙江牡丹江、鸡西朝鲜族学校)如图，已知抛物线y=i(x-2)(x+a)(a〉0)与x轴交于点B、C,与y轴交

于点E,且点B在点C的左侧.

⑴若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，解答下列问题：

①求出ABCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标.

考向3利用垂线段最短求线段最值

3.(2022广西梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=--4分别与x轴，y轴交于点A,B,抛物线y=

^-x2+bx+c恰好经过这两点.

lo

⑴求此抛物线的解析式；

⑵若点c的坐标是(0,6),将△AC0绕着点C逆时针旋转90。得到.AECF,点A的对应点是点E.

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点P是y轴上的任意一点，求|江+EP取最小值时，点P的坐标.

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类型2与图形面积有关的问题

(1)求坐标系中三角形的面积时常常将平行于坐标轴的边或者是坐标轴上的边作底边.

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SOBC~,CDSQBC=gBC•OA

⑵若三角形的三边都不与坐标轴平行或在坐标轴上，则常通过割补的方法将面积转化.

S产SMOn+S

01DX

SAOF

SAOB=Sn翻DET~-SOBD-SABE

考向1求面积最值

4.(2022江苏连云港)已知二次函数y=x2+(m-2)x+m-4,其中m>2.

⑴若该函数的图象经过原点0(0,0),求此时函数图象的顶点A的坐标；

(2)求证：二次函数y=%2+(m-2)%+m-4的图象的顶点在第三象限；

(3)如图，在⑴的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的

负半轴的交点为B,求AAOB面积的最大值.

考向2面积等量关系

5.（2022四川成都）如图，在平面直角坐F标系xOy中直线y=kx-3（k#））与抛物线y=-/相交于A,B两点（点A在

点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B1.

⑴当k=2时，求A,B两点的坐标；

⑵连接OA,OB,AB;BB^ABAB的面积与AOAB的面积相等，求k的值；

（3）试探究直线AB是否经过某一定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

备用图

类型3角度问题

考向1角度等于定值

6.（2022上海）已知抛物线y=^x2+bx+c经过点A（-2,-l）,B（0,-3）.

⑴求函数解析式；

⑵平移抛物线使得新顶点为P（m,n）（m>0）.①若S°PB=3,且在x=k的右侧，两抛物线都上升，求k的取值范围；

②点P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于点Q,当NBPQ=120。时，求P点坐标.

考向2角度数量关系

7.（2022江苏苏州）如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+l（m是常数，且m>0）的图象与x轴交于A,B两点（点A在点

B的左侧），与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC.BD.

（备用图）

⑴求A,B,C三点的坐标(用数字或含m的式子表示),并求/OBC的度数；

(2)若/ACO=/CBD,求m的值；

⑶若在第四象限内二次函数.y--%2+2mx+2m+l(m是常数，且m>0)的图象上，始终存在一点P,使得/ACP=75。,

请结合函数的图象，直接写出m的取值范围.

类型4与特殊三角形判定有关的问题

考向1等腰三角形判定问题

8.(2022广西贺州)如图抛物线y=-x2+bx+c过点A(-l,0),B(3,0),与y轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当APCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得SBCM=Seep?若存在，求出点M的横坐标；若不存

在，请说明理由.

9.(2022山东济南)抛物线y=a/+?久_6(a4o)与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点与y轴交于点C,直线y=kx-6经过点

4

B.点P在抛物线上.设点P的横坐标为m.

⑴求抛物线的表达式和t,k的值；

⑵如图1,连接AC,AP,PC,若AAPC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

(3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQLBC,垂足为Q,求CQ+的最大值.

考向3等腰直角三角形判定问题

等腰直角三角形问题常常通过作辅助线得到一线三垂直模型，利用全等解决问题.

10.(2022山东枣庄)如图①，已知抛物线L-.y=%2+bx+c经过点A(0,3),B(l,0),过点A作AC〃x轴交抛物线于点C,Z

⑴求抛物线的关系式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO,当AOPE的面积最大时，求出P点坐标;

⑶将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在AOAE内(包括AOAE的边界),求h的取值范

围；

⑷如图②，F是抛物线的对称轴1上的一点，在抛物线上是否存在点P,使APOF成为以点P为直角顶点的等腰直角三

角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

考向4等边三角形判定问题

11.(2022广西玉林)如图，已知抛物线y=-2%2+bx+c与x轴交于点A,B(2,0)(A在B的左侧),与y轴交于点C,对称

⑵若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形?请说明理由；

⑶过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M,垂足为点H,若以P,M,C为顶点的三角形与ABMH相似，求点P的

坐标.

类型5与特殊四边形判定有关的问题

考向1平行四边形判定问题

12.(2022湖南娄底)如图,抛物线y=-2久-6与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C.

(1)请直接写出点A,B,C的坐标；

⑵点P(m,n)(0<m<6)在抛物线上，当m取何值时，APBC的面积最大?并求出APBC面积的最大值；

(3)点F是抛物线上的动点，作FEMC交x轴于点E,是否存在点F,使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

考向2矩形判定问题

13.(2022黑龙江绥化)如图.抛物线y=a/+法+。交y轴于点A(0,-4),并经过点C(6,0),过点A作AB±y轴交抛物线于

点B,抛物线的对称轴为直线x=2,D点的坐标为(4,0),连接AD,BC,BD.点E从A点出发，以每秒个单位长度

的速度沿着射线AD运动,设点E的运动时间为m秒，过点E作EF14B于F,以EF为对角线作正方形EGFH.

yl

6f

5F

4h

3f

2lH

(2)当点G随着E点运动到BC上时.求m的值和点G的坐标；

(3)在运动的过程中，是否存在以B,G,C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形?如果存在，直接写出点G

的坐标，如果不存在，请说明理由.

考向3菱形判定问题

14.(2022山东烟台)如图，已知直线y=枭+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线.y=ax1+bx+c经过A,C两

点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-l.

⑴求抛物线的表达式；

(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形ABCD的面积S的最大值及此时D点的坐标；

(3)若点P在抛物线的对称轴上，是否存在点P,Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在，请

求出P,Q两点的坐标；若不存在，请说明理由.

考向4正方形判定问题

15.(2022黑龙江齐齐哈尔)综合与探究如图，某一次函数与二次函数丫=x2+kmx+n的图象交点为A(-l,0),B(4,5).

⑴求抛物线的解析式；

⑵点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；

(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE±x轴,交线段AB于点E,求线段DE长度的最大值；

(4)在⑵的条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C,M,F,

N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标.

备用困

类型6与三角形全等、相似有关的问题★

考向1全等三角形的判定

16.（2022湖南邵阳）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点，点A在x轴上点B在y轴上,

⑴求该抛物线的表达式；

（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若4AOB与ADPC全等.求点

P的坐标；

⑶在条件⑵下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将.APQD沿PQ所在的直线翻折得到APQD,连接CD',

求线段CD长度的最小值.

考向2相似三角形的判定

17.（2022湖南张家界）如图,已知抛物线y=ax2+bx+3（a丰0））与x轴交于A（l,0）,B（4,0）两点,与y轴交于点C，点

D为抛物线的顶点.

（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；

⑵若四边形BCEF为矩形,CE=3,点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速

度从点E沿EF向点F运动,一点到达终点另一点随之停止，当以M、E、N为顶点的三角形与ABOC相似时，求

运动时间t的值；

⑶抛物线的对称轴与x轴交于点P