2024年广西桂林市九年级中考二模数学试题（教师版 ）

桂林市2024年中考第二次适应性训练试卷数学

（考试时间：120分钟，满分：120分）

注意事项：

L试卷分为试题卷和答题卡两部分.请在答题卡上作答，在本试题卷上作答无效.

2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符

合要求的，用26铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1.一2024的绝对值是（）

A.2024B.-2024C.」一1

D.----------

20242024

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果.

【详解】解：-2024的绝对值是2024.

故选：A.

2.不等式无>2的解集在数轴上表示正确的是（）

【解析】

【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可.

【详解】解：x>2在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，

因此，综合各选项，只有C选项符合；

故选：C.

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，首先要能正确画出数轴，其次是能正确确定点

的实心或空心，以及方向的左右等.

3.新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一.下列新能源车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解

答本题的关键.根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可.

【详解】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B.该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

C.该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

D.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

故选C.

4.有一组数据：2,8,6,5,7,这组数据的中位数为（）

A.2B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的数据或最

中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.

【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2、5、6、7、8,处在最中间的数是6,

...中位数为6,

故选：C.

V2-11

5.计算：--^+上的结果为（）

xx

1

A.—B.1C.xD.—X

x

【答案】c

【解析】

【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键.

先根据同分母分式加法运算法则计算，然后再约分即可.

Y2_11*-1+1X2

【详解】解：+-=--—=—=%.

XXXX

故选：C.

6.已知一次函数歹=-2》+4的图象经过点（2,。），则°的值为（）

A.8B.-1C.1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式成为解题的关键.

将点（2,0）代入歹=—2；1+4求解即可.

【详解】解：将点（2,。）代入歹=—2》+4可得：o=-2x2+4=0.

故选D.

7.C60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学

家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界.如图是

C60的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，2个为正六边形，其中正六边

形的每一个内角的度数是（）

A.60°B.72°C.108°D.120°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查正多边形内角的计算，熟练掌握多边形的内角和计算公式及正多边形关于内角的性质是

解题的关键.先求出正六边形的内角和，再根据正六边形的每个内角都相等求解即可.

【详解】解：,•・正六边形的内角和为：

（n-2）xl80°=（6-2）x180°=720°,

・•.每一内角的度数为：720°+6=120。.

故选：D.

8.好二1是一个美妙的黄金分割数，它被大量用于美术、建筑等领域，估算由二的值介于（）

22

A.一0.5和0之间B.0和0.5之间

C.0.5和1之间D.1和1.5之间

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了无理数的大小的估算，估算出逐的值是解题的关键.

先估算出逐的值，再估算出6-1的值在1和2之间,然后估算存1的取值范围即可.

【详解】解：•••"＜君＜店,

2＜V5＜3＞

A0.5<

故选C.

9.《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪.现在的传本共三卷，卷上叙述算筹

记数的纵横相间制度和筹算乘除法；卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法；卷下记录算题，不但提

供了答案，而且还给出了解法.其中记载：“今有木，不知长短、引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之,

不足一尺.木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根木，木

还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（）

x-y=4.5x-y=4.5y-x=4.5x-y-4.5

A.<1B.•1C」11D.,11

V——X=1一、二-y-x=1—y=x+l

1212J+112)12，

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用,关键是弄清题意、找准等量关系、列对方程组是解题的关

键.

根据等量关系“绳长-木长=4.5”和“木长-,绳长=1”列出方程组即可.

2

【详解】解：设绳子长x尺，木长了尺，

4.5

根据题意可得：＜1

V——X1

-2

故选：A.

10.如图，是OO的直径，4g与。＜9相切于点2,线段ZO交于点。，连接。C.若

44=50°,则/C等于（）

A.15°B,20°C,25°D.30°

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆周角等于对应圆心角的一半成为解题

的关键.

根据圆的切线的性质可得/45。=90。，进而得到/4。8=40。，然后根据圆周角定理即可解答.

【详解】解：「/B与相切于点2,

NABO=90°,

N4=50°,

：.ZAOB=90°-ZA=40°,

.-.^C=-ZAOB=20°.

2

故选B.

11.把4/+加x—3因式分解得（2X―D（2X+3）,则加的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘多项式，先求出（2%一1）（2%+3）=4炉+4%—3,然后求出

结果即可.

【详解】解：•••（2x-l）（2x+3）

=4%2+6x—2x—3

—4x?+4x—3，

又・・,把4Y+g—3因式分解得（2x—D（2X+3）,

・••加=4,

故选：B.

X2(X<2)

12.如图所示，已知函数％=<8/、的图象与一次函数％=x+b的图象有三个交点，则6的取值范

一(x>2)

围是()

A.—B.b〉—C.—工b<2D.—<6<2

4444

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，

首先根据题意画出图象，然后求出幺(2,4),代入％=x+b求出6=2；然后得到当一次函数为=x+b

的图象与了=/相切时，得到必一%—6=0的△=〃—4ac=0,进而求出6=—；,然后根据图象求解

即可.

【详解】解：如图所示，

当x=2时，函数^=/=22=4,

・•・4(2,4),

当一次函数％=x+b的图象经过点/时，

.•・4=2+6,解得6=2；

当一次函数%=x+b的图象与y=/相切时,

•••%2=%+分，即%?一%一=0,

**•A=Z>2—4ac=0，

・・・(-1)2—4x1x(-6)=0,

解得b=—工，

4

x2(x<2)

由图象可得，当一!<6<2时，函数必=8/、的图象与一次函数%=%+6的图象有三个交点.

4~(x>2)一

、x

故选：D.

二、填空题(共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上)

13.25的算术平方根是.

【答案】5

【解析】

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根.

【详解】解：:52=25,

••-25的算术平方根是5,

故答案为：5.

【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键.

14.2024年5月3日下午17时27分，嫦娥六号在我国文昌航天发射场成功发射，这次任务的目标是实现

人类首次在月球背面的采样，填补了人类对月球背面探索的历史空白.检查航天器零部件的质量情况，适

合采用调查.(填“全面”或“抽样”)

【答案】全面

【解析】

【分析】本题考查主要全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选

用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于

精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.根据全面调查与抽样调查的意义进行解答即可.

【详解】解：.••航天器零部件精确度要求高，

适合采用全面调查.

故答案为：全面.

15.若。>万，则3a-202436-2024.(填“>”或“<”)

【答案】>

【解析】

【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变是

解本题的关键.

利用不等式的基本性质即可解答.

【详解】解：

3a>36,

/.3。-2024>36-2024.

故答案为：〉.

16.一元二次方程》2一4》+2=0的一次项系数是.

【答案】-4

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项

的含义”是解题的关键.根据一元二次方程办2+区+。=0（。00）的二次项系数、一次项系数、常数项分

别为a,b,c,据此即可解答.

【详解】解：一元二次方程V—4》+2=0的一次项系数为-4.

故答案为：-4.

17.如图，一根竖直的木杆在离地面1m的4处折断，木杆顶端落在地面的8处上，与地面的夹角为a,

若sina=|,则木杆折断之前高度为m.

【答案】3.5

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握正弦的定义成为解题的关键.

CA2

由题意可得——=—,进而解答48=2.5,然后求出NC+48即可.

AB5

【详解】解：由题意可知：NC=l,NNC5=90。

.2

•••sm(z=—,

5

,CA212

一,即---=—,解得：AB=2.5,

1*AS5AB5

木杆折断之前高度为NC+ZB=1+2.5=3.5m.

故答案为3.5.

18.如图，已知正方形的边长为6,0C=2M，将正方形4BC。绕着点C顺时针旋转，使点。落在坡度

为i=J5：i的坡面。尸上，则在旋转过程中，点/的路径长为.

【答案】20万

【解析】

【分析】本题主要考查了坡度的应用、解直角三角形、正方形的性质、弧长公式等知识点，灵活运用相关

知识成为解题的关键.

设。£=x,则。］£=氐,C£=2百+X,运用勾股定理可求得x=G，即。］£=3,运用正弦函数可

得ZD.CE=30°,然后根据正方形的性质可得ZACB=AAXCDX=45°,AC=4c=6J5，进而求得

NZC4=60°,最后根据弧长公式即可解答.

【详解】解：根据题意画出如图:

使点。落在坡度为i=G：l的坡面OP上，设。£=x,则。］£=瓜,C£=2百+x,

由勾股定理可得：+即2,即62=p0+》『+（氐『，

解得：x=JL则〃£=瓜=3,

E3］

・・”山/0］。£=老=2=彳，即/口。£=30。，

CD162

22

由正方形的性质可得："CB=Z4CDj=45°,AC=AXC=^AB+CB=672,

ZACA}=1800-ZACB-AAXCDX-ZECD}=60°,

...点A的路径长为段小6母=2亚兀.

180

故答案为：2叵兀.

三、解答题(本大题共8题，共72分，请将解答过程写在答题卡上)

19.计算：22-(V3-l)°+Q^|.

【答案】5

【解析】

【分析】先算乘方，零指数幕，负指数幕，再算加减法.

【详解】解：22-(V3-l)°+^

=4—1+2

=5.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握乘方，零指数鼎，负指数塞的运算法则.

20.解一元二次方程：x2-4x=0.

【答案】X[=0,x2=4

【解析】

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键.直接运

用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：X2-4X=0,

x(x-4)=0,

x=0或x-4=0,

所以X]=0,x2=4.

21.如图，在平行四边形/BCD中，E为BC边上一点、,尸在的延长线上，且/BAE=NCDF.

(1)求证：AABE咨LDCF；

(2)若幺。=6,点£为的中点，求AF的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)9

【解析】

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定：

(1)先由平行四边形的性质推出/8=CD，AB\\CD,进而利用ASA证明△4BE2下即可；

(2)由平行四边形的性质得到8C=2。=6,则由线段中点的定义和全等三角形的性质得到CF=BE=3,

据此可得答案.

【小问1详解】

证明：•••四边形4BC。是平行四边形，

AB=CD,AB||CD,

AB=ZDCF,

又•••/BAE=ZCDF,

/./△OCF(ASA)；

【小问2详解】

解：•••四边形48。是平行四边形，

BC=AD=6,

:点£为8C的中点，

：.BE=-BC=3,

2

•/AABE沿ADCF,

：.CF=BE=3,

：.BF=BC+CF=9.

22.如图，抛物线卑=摘+%+。经过/(3,0),8(0,-3)两点.

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）尺规作图：在该抛物线上作一点P,使得P4=PB,且点P在x轴下方.（保留作图痕迹，不写作

法）

【答案】(1)y=x2-2x-3

（2）见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了待定系数法、垂直平分线等知识点，掌握垂直平分线的性质和作法成为解题的关

键.

⑴直接将2（3,0）,8（0,-3）代入3；=必+区+。可求得b、c的值即可解答；

（2）连接4g,然后作线段25的垂直平分线与抛物线的交点即为所求.

【小问1详解】

解:将幺（3,0）,5（0,_3）代入、=/+8+°可得：

0=9+36+c'b=—2

[-3=c，解得:1=-3

所以抛物线的函数解析式为了=？-2x-3.

【小问2详解】

解：如图：点尸即为所求.

23.垃圾科学分类，文明你我同行.某校为了解学生对环保知识的掌握情况，随机抽取了一个班的学生，

对他们进行了垃圾分类了解程度的调查（/类表示不了解，8类表示了解很少，C类表示基本了解，。类

表示非常了解）.根据调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

人数/人

请根据图中提供的信息，解答下列问题

(1)该班的学生共有名；

(2)请补全条形统计图；

(3)在。类的10人中，有5名学生(其中2名男生，3名女生)比较擅长主持，现从这5人随机抽取2

人作为班级举行的“文明践行从我做起”主题班会的主持人，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2

人恰好是1名男生和1名女生的概率.

【答案】(1)40(2)见解析

⑶3

5

【解析】

【分析】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合

条件的结果数目加，然后利用概率公式计算该事件发生的概率.也考查了条形统计图和扇形统计图.

(1)根据C类所占百分比和C类人数可得该班学生的人数；

(2)用该班学生数减去4C、。人数求出8类人数即可补全条形图；

(3)通过画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【小问1详解】

该班的学生共有：8+20%=40(名)，

故答案为：40.

【小问2详解】

8类人数有：40-16-8-10=6(人)，

补全条形统计图k如下：

16

14

12

10

8【小问3详解】

6

4

2

0

ABCD

美型

设2名男生分别用X，N表示，3名女生分别用。1，。2，。3,画树状图如下：

开始

_——__

Y|Y2D,DD3

/TV./TVxXyK/Ax

Y2D,D2D3YID,D2D3Y,Y2D2D3Y,Y2D,D3Y,Y2D,D2

从这5人中随机抽取2人共有20种等可能结果，所选2人恰好1名男生和1名女生有12种结果，

123

所选2人恰好1名男生和1名女生的概率为：—

205

3

答：所选1名男生和1名女生的概率为

24.2024年是中国农历甲辰龙年.春节前，某商场进货员计划进货“吉祥龙”和“如意龙”两种公仔吉祥

物，发现用6000元购进的“吉祥龙”的数量是用2500元购进的“如意龙”的数量的2倍，且每个“吉祥

龙”的进价比“如意龙”贵了5元.

(1)一个“吉祥龙”、一个“如意龙”的进价分别是多少元？

(2)为满足消费者的需求，该商场购进“吉祥龙”和“如意龙”两种公仔吉祥物共200个，“吉祥龙”

售价定为50元，“如意龙”售价定为40元，若全部售出的总利润不低于3400元，则至少要购进多少个

“吉祥龙”？

【答案】(1)每件“如意兔”的进价是25元，每件“吉祥龙”的进价是30元；

(2)最少购进80个“吉祥龙”.

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出分式方程和不等式成

为解题的关键.

(1)设每件“如意龙”的进价是x元，则每件“吉祥龙”的进价是(x+5)元，利用等量关系“用6000元

购进的“吉祥龙”的数量是用2500元购进的“如意龙”的数量的2倍”列分式方程求解即可；

(2)设至少购进个“吉祥龙”x个，则购进个“如意龙”的个数为(200-X)个，然后根据题意列一元一次

不等式求解即可.

【小问1详解】

解：设每件“如意龙”的进价是x元，则每件“吉祥龙”的进价是(x+5)元，

根据题意得：则2="22x2,解得：x=25,

x+5x

经检验，x=25是所列方程的解，且符合题意.

则x+5=30元.

答：每件“如意兔”的进价是25元，每件“吉祥龙”的进价是30元.

【小问2详解】

解：设至少购进个“吉祥龙”x个，则购进个“如意龙”的个数为(200-x)个,

根据题意得：(50-30)x+(40-25)(200-x)>3400,解得：x>80,

所以X的最小值为80.

答：最少购进80个“吉祥龙”.

【提出问题】在物理学科中、我们知道：光线从空气射入水等不同介质时、会发生折射现象(如图1),在

同一介质中，折射角的大小随着入射角的改变而变化，入射角不变时，对应的折射角的大小也不变.

某学习兴趣小组设计了如图2所示的竖直实验容器装置、研究光线的折射过程中、折射光线的落点移动的

距离/与介质的高度h和折射角a有怎样的关系.

【实验操作】将实验容器装置水平放置在桌面，已知GCLBC,4B=36cm,E为4g的

中点，将激光笔倾斜固定在N处.

(1)操作探究一：开启激光笔发射一束红光线，容器中不装溶液介质时，发现光斑恰好落在C处，如图

2所示，此时学习兴趣小组在/处测得C处的俯角NR4C为45。，求的度数；

(2)操作探究二：当兴趣小组缓缓加入溶液介质上升至。处，光斑随之从C处级缓左移至尸处.如图

3,此时。£〃BC,作出法线与8C的交点〃，测得折射角/尸O”等于30。，求C尸的长.

【类比迁移】更换不同的溶液介质后，入射角不变，折射角发生改变.设折射角为如图4,请直接写

出折射光线的落点移动的距离/(即C下的长)与介质的高度力和折射角a的数量关系.

【答案】【实验操作】(1)45°(2)(18-6V3)cm；【类比迁移】(1-tana)〃cm

【解析】

【分析】(1)根据题意直接运用平行线的性质即可解答；

(2)由中点的定义可得NE=£5=L48=18cm,再运用据等腰直角三角形的判定与性质

2

8c=48=36cm,/£=(?£=18cm,再证明四边形是矩形、四边形是矩形，可得

ED=BC=36cm,BH=OE=l8cm,OH=BE=18cm,即〃C=8C—8〃=18cm,再解直角三角

形可得HF=6^，最后根据线段的和差即可解答；

类比迁移：方法同(2)可得8C=48=36cm,NM=(W=36-/z,再证明四边形MDC8是矩形、四

边形是矩形，可得必)=8。=36(：111,8//=0河=36—九0//=〃3=力，进而得到8C=/z,

再解直角三角形可得放=力tana,最后根据线段的和差即可解答.

【详解】解：实验操作：

(1)由题意可知：PA〃BC,ZPAC=45°,

ZACB=APAC=45°.

(2)为45的中点，

AE=EB=—AB=18cm,

2

由(1)可知：NACB=NB4C=45°,则NEZO=45°,

AABAC=ABCA=45°,ZEAO=ZEOA=45°,

/.BC=AB-36cm,AE=OE=18cm,

DE//BC,OH//AB,

/.四边形£8CD是平行四边形，

/ABC=90°,

四边形£8CZ)是矩形，同理：四边形是矩形，

ED—BC—36cm,BH—OE=18cm,OH=BE=18cm,

：.HC=BC-BH=18cm,

•：OHLBC/FOH=30。,

HFA

•••tanNHOF=——=tan300=-.

OH3

•••HF=OHtan3Q0=6辰m，

:.CF=CH-HF=08-6C)cm.

类比迁移：

由(2)可得ABAC=ABCA=45°、NMAO=ZMOA=45°,

BC=AB=36cm,AM=OM=36—k,

•ZDM//BC,OH//AB,

，四边形MDC8是平行四边形，

ZABC=90°,

四边形是矩形，同理：四边形是矩形，

：.MD=BC=36cm,BH=OM=36—h,OH=MB=h,

：.HC=BC-BH=h,

•：OHJLBC/FOH=a,

HF

tanNHOF=tana=-----,

OH

HF=OH-tana=h-tana,

CF=CH-HF=h-h-tana=（l-tana）/zcm.

【点睛】本题属于跨学科综合题，主要考查了解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性

质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.

26.已知。。为RtZ\4BC的外接圆，NBNC=90。，点。为圆上任意一点（不与2、C重合），且/、D

两点分别位于直径的两侧，过点。分别作。£INC于£,4g交48延长线于点G.

图1图2

（1）若经过圆心。，如图1所示，求证：GZ）与相切；

（2）在（1）的条件下，连接GE交BC于点F,如图I所示，若8为ZG的中点，的半径为5,求

OF的长；

（3）如图2所示，若点。为前的中点，DE交BC于点、H,连接OD,若也=2，求些的值.

OB5AB

【答案】（1）见解析（2）j

3

⑶3

4

【解析】

【分析】（1）先证明四边形NGDE是矩形，进而得到。ELGD,然后根据切线的定义即可证明结论；

(2)根据垂径定理可得NE=EC=^ZC,再证ACEOSACZB可得N8=20£,进而得到

2

OFOE1

BG=AB=2OE,再证可得——=——=-,最后按等比例分配即可解答；

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