2024年山东烟台高三二模高考数学模拟试卷试题（含答案）

2024年高考适应性练习

数学

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题

区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求。

1.已知复数z满足(1-i)z=3+i,则亍在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.若随机变量且尸(4〉4)=0.2,则尸(2<《<3)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

3.若抛物线俨=2.(2>0)的焦点到直线x=-2的距离为4,则夕的值为()

A.1B.2C.4D.8

4.已知夕：1<2”<4,夕：，—办―，若)是q的充分不必要条件，贝1)()

33

A.a>—B.0<tz<—C.a>2D.0<a<2

22

(iy

5.1+X——展开式中/yN的系数为()

Iy)

A.-840B.-420C.420D.840

6.将函数/(x)=sin2x+f的图象向左平移e(e>0)个单位长度得到函数g(x)的图象，若x=-

为g(x)图象的一条对称轴，则。的最小值为()

715兀7712兀

A.——B.—C.—D.—

1212123

7.在△Z8C中，AB=3,AC=2,ZBAC=60%Zg=3AF£E=EC,AE,CF交于点。，则函=()

A6B-TTD•百

3

8.欧拉函数乂〃eN*)的函数值等于所有不超过正整数〃，且与〃互质的正整数的个数，例如

0（4）=2.已知〃=,〃eN*,7；是数列也｝的前"项和，若7；恒成立,

9（3"）

则M的最小值为（）

37

A.-B.1C.一D.2

46

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数/(x)=sinxjcosx|,则()

A./（x）是奇函数B./（x）的最小正周期为兀

1JT

C./（X）的最小值为—5D./（x）在0,-上单调递增

22

10.已知双曲线口鼻―%=1（。>0,6>0）的离心率为e,过其右焦点R的直线/与:T交于点45,下

列结论正确的是（）

A.右a=b,则e=V2

B.|48|的最小值为2a

C.若满足|48|=2。的直线/恰有一条，则e>J5

D.若满足|4B|=2a的直线/恰有三条，则l<e（后

11.如图，在直三棱柱/8C—4801中，AB=2,ABLBC,P,。分别为棱BC,4cl

上的动点，且丽=%数，Q2=2Q4,2e（O,l）,贝I

B.存在丸使得P。〃平面48用其

C.若8片,用G长度为定值，则2=1■时三棱雉8-4尸。体积最大

D.当2=!时，直线PQ与48所成角的余弦值的最小值为£2

23

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合/=｛0,1,2,3｝,5=｛a,/—1｝,若/U5=Z，则实数a的值为.

13.在△45C中，内角45,C的对边分别为a,8c,V2+Z)2-c2=absinC,且c=l,则△NBC

面积的最大值为

7T

14.当xe0,—时，eav+asinx-xcosx-1>0,则实数a的取值范围为

2------

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）已知｛4｝是公差不为0的等差数列，其前4项和为16,且%,4，生成等比数列。

（1）求数列｛4｝的通项公式:

2乐,〃为奇数

（2）设〃=1〃为偶数,求数列也｝的前2,项和七。

16.（15分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮。某数学兴

趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽

取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图。

频率

组距

0.030--------------

0.025k--------

0.020

0.010

0.005

010203040506070年龄

（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：

（2）将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民。

（i）完成下列2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联?

青年非青年合计

喜欢20

不喜欢60

合计200

（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民。若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民

做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率。

n^ad-bc^

参考公式：/二其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

2

P(X>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

17.（15分）如图，在三棱锥尸—45。中，AB1BC,PBPC,N为尸C的中点，M为△48C内部

一点且平面48c.

（1）证明："乂〃平面尸45；

（2）若AB=2BC=2PB=4,PM=\,求二面角8-九W—尸的余弦值。

18.（17分）已知函数/（x）=MX-lnr,xe（1,+“）.

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）若e（'1M•/（》）之――x恒成立，求实数加的取值范围。

22

19.（17分）已知椭圆［：・+1-=1（。＞0）的右焦点为E（1,O）,过点少且不垂直于坐标轴的直线交「于

45两点，：T在45两点处的切线交于点Q.

（1）求证：点。在定直线上，并求出该直线方程;

（2）设点M为直线。。上一点，且求2叫的最小值。

2024年高考适应性练习

数学参考答案及评分标准

一、选择题

DBCACBCA

二、选择题

9.AC10.ACD11.BCD

三、填空题

B]

12.1或213.—14.a>-

42

四、解答题

+%+&+=16

15.解：（1）由题意知412

a?~

4%+6（7=16

即42，

（q+d）=%（6+纭）

因为dwO,所以%=1,d=2,

所以%=2〃一1.

（2）设数列｛"｝的前2〃项中的奇数项之和为/,偶数项之和为8,则

4=20+2%+…+2*

2研—2%.16

—1-16

_2-24/!-3-24_24"+1-2

—1-16—15，

c111

。4°642〃“2〃+2

_J_<J___1_+J____1_++J_____]_、

2d、a?。4。4。6。2"+2>

_j_h____

2d1电。2计2>

"__]_L±__]_

4（34z?+3）1216»+12

24n+1-21124n+111

所以+3=----------+------------------=---------------------------.

151216«+12152016«+12

16.解：(1)由频率分布直方图可知，

年龄在40岁以下的居民所占比例为10x(0.01+0.025+0.03)=0.65,

年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65+10x0.02=0.85,

所以75%分位数位于［40,50)内，

0.75-0.65

由40+10x=45,

0.85-0.65

所以，样本数据的75%分位数为45.

(2)(i)由题知,2x2列联表为:

青年非青年合计

喜欢9020110

不喜欢603090

合计15050200

根据列联表中的数据，可得:

小K篙.。…84L

所以，有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联。

3

(ii)按照分层抽样，青年居民应抽取8x3=6人，非青年居民应地取2人.

4

设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X,

4

尸(万=3)=中=

C87

4

尸(X=4)=VC=上3,

'7Cl14

所以尸(X23)=尸(X=3)+尸(X=4)=3,

所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为

14

17.解：(1)连接CM,取3c中点。，连接DM,DN.

因为N为尸。的中点，所以DN〃PB。

因为P8u平面尸48,£(N(Z平面尸45,所以£)N〃平面尸48.

又因为「初，平面8/u平面48C,所以

所以，在直角中，BM2^PB2-PM2.

同理CA/2=尸。2—92,

因为必=PC,所以w=cw.

因为。为8c中点，所以。

因为48L8C,所以48〃。/。

又因为45u平面尸45,平面尸45,

所以DW〃平面P45.

又因为DMcDN=D,所以平面。MN〃平面P4B.

因为"Nu平面。〃乂，所以小W〃平面尸48.

（2）以3为坐标原点，分别以B4BC以及与545。垂直向上的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示

的空间直角坐标系8-孙z.

在直角中，因为必=2,9=1,所以BM=6.

在直角中，DM=^BM2-BD2=V2.所以M(/l,0b

又5(O,O,O),P("l,l),C(O,2,O),N

/V21P

所以痂;=("1,0)赤=(0,0,1)应巾=-

7

Cx[+必=0

n-BM=0

设面的一个法向量〃=（再，%，4）,则＜即＜V211.

n-MN=0-三再+消+尹=0

取则弘=一2,Z]=4,所以〃=（一2,4）.

z=0

mMP=02

设面PAW的一个法向量加=(x2,y2,z2),贝卜叫后11n

m-MN=0―-TX2+2y2+2Z2=°

取》2=、/5，则必=2,所以加=（J5,2,0卜

\n-m\_2_V33

设二面角8—尸为，则cos。=

\n\\m\~722x76~33

所以二面角3—MV—尸的余弦值为‘一.

33

18.解：(1)由题可知/'(X)=加---,

x

当加V0时，/'(X)=加一0恒成立，此时/(x)在(1,+8)上单调递减.

X

当0(加<1时，/'(x)=M—工=竺二1,令/'(x)=o,则x=L

xxm

当时，/(x)<0,此时/(x)单调递减，

当+时，f'(x)>0,此时/(x)单调递增.

当加21,即0<工<1时，

m

此时/'(x)〉0在(1,+8)恒成立，/(%)单调递增.

综上，当加<0时，/(x)在(1,+动上单调递减；当0(加<1时，/(x)在(1,工］上单调递减,在+“

mJ\m

上单调递增；当加21时，/(X)在(1,+”)上单调递增.

(2)因为xe(l,+”)，所以V—x>0,又e("T)W・/(x)Nx2—x,所以/(x)〉0.

由/(x)=Mx-lnx〉0,可得加令9(x)=@%,则夕'(x)=^~登,当xe(l,e)时'

N(x)>0,9(x)为增函数；当x£(e,+e)时，"(x)<0,e(x)为减函数。

所以0(x)max=°(e)=—，从而加〉一.

将一一询•/(%)>V—1两边同时取以©为底的对数可得

(m-l)x+l+ln(mx-lnx)>lnx+ln(x-l),

整理可得(加x—lnx'+ln(加x—lnx)2(x_l)+ln(%_l).

令g⑺=/+1皿，则g(mx—lnx)2g(x—l),且g⑺在(0,+。)上单调递增,

因为加x-lnx>0且所以加x-lnx2x-l在(1,+勿)上恒成立，

E、I、x+Inx-11lnx-lLA-

所以冽>---------=1+--------怛成H,

XX

令/?(x)=WH,则竺，当xe(l,e2)时，〃(x)〉0,/z(x)单调递增，

XX

当工£卜2,+“）时，/（X）＜O,单调递减，所以〃（x）max=力（。2）=4~，

e

所以冽＞1+^-，

e

又因为一＜1H—5、所以加21H--.

eee

19.解：（1）由题意可知，/_3=1,

所以/=4,所以椭圆方程为三+匕=1,

43

设立线4s方程为y=左（%—口（左#0），幺（3，%）,3（孙必）,

（22

土+匕=1

联立（43一，消y可得，（3+4公卜2—&左2工+4左2—12=0,

y=k[x-X）

8k24k2-12

所以X1+x2=

3+4左2123+442

因为过点Z的切线为垩+型=1,过点8的切线为至+况=1,

4343

由对称性可得，点Q处于与x轴垂直的直线上。

二+至=1

43消去y得，和=4（%-"）

（法一）：联立4

这+丝=1不%一%必

、43

将必=人（否T），出=后（》2T）代入上式得

4A;(X2-xj4k(x2-x1)4

Q

kx{(x2-1)-fcr2(%1-1)-kxx+kx2

所以。点在直线x=4