2023-2024学年高考数学模拟预测卷（江苏省南京市适用）

2023-2024学年高考数学模拟预测卷（江苏省南京市适用）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1-i_

1.已知Z=——,则z-z=（）

27+t21

A.-iB.iC.0D.1

2.已知向量〃=（1,1）,/?=（1,一1）,若（a+XZ?）_L（a+4。），则（）

A.A+//=1B.2+〃=—1

C.〃/=lD.AjLi=-l

3.已知sin（a—〃）=LcosasinQ='，贝！Jcos（2a+24）=（）.

36

A.-B.-C.--D.--

9999

4.设函数/（力=2式1）在区间（0,1）上单调递减，贝壮的取值范围是（）

A.（-a）,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,日）

5.记S”为数列｛%｝的前"项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙：｛4｝为等差数列，贝I（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

6.已知函数=Inx在区间（1,2）上单调递增，则。的最小值为（）.

A./B.eC.JD.e-2

丫2

7.己知椭圆C:二+丁=1的左、右焦点分别为F2,直线y=x+〃z与C交于A,g两点，

3-

若△々AB面积是△gAB面积的2倍，则根=（）.

A.2B.比C.一克D.二

3333

8.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,

拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200

名学生，则不同的抽样结果共有().

A.C急C短种B.C篇C乳种

C.c^.c张种D.C源C品种

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据项,马，…，毛，其中均是最小值，尤6是最大值，贝！J()

A.%，尤3，匕，尤5的平均数等于网，N，…，%的平均数

B.三，也，匕,无5的中位数等于石，尤2,…,尤6的中位数

C.马，尤3，尤4,无5的标准差不小于%，％，…，毛的标准差

D.尤2,无3，了4，%的极差不大于王，了2,…，毛的极差

10.已知函数/(x)=d一X+1,贝|()

A.Ax)有两个极值点B.Ax)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线＞=/(尤)的切线

11.如图，四边形45co为正方形，£ZU平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FB,记三棱

^E-ACD,F-ABC,尸―ACE的体积分别为匕,匕,匕，贝U()

A.匕=2%B.匕=匕

C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线/：尤一殁+1=0与：C:(x-iy+y2=4交于A,8两点，写出满足“aABC面积

Q

为/的根的一个值____.

13.在正四棱台ABCD-AB1G。中，45=2,44=1,44=0,则该棱台的体积为.

22

14.已知双曲线。言-%=1(°>0,>>0)的左、右焦点分别为耳点A在C上，点8在y轴

2

上，FiA±F[B,F2A=--F2Bf则。的离心率为.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17

分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

cosAsin2B

15.记ABC的内角A,B,。的对边分别为mb,c,已知

1+sinA1+cos25

(1)^C=—,求&

⑵求一的最小值.

16.记S,为等差数列｛4｝的前〃项和，已知的=11，H。=4。.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛闻｝的前〃项和看.

17.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和

不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在

未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选到

的人患有该疾病”.器黑与器黑的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

一项度量指标，记该指标为R.

尸(A|B)P㈤言)

(i)证明:

P(A|B)P(A|B)

（ii）利用该调查数据，给出尸（川2）,「（4|豆）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估

计值.

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.如图，直三棱柱ABC-A与G的体积为4,ABC的面积为2拒.

⑴求A到平面42c的距离;

⑵设。为AC的中点，AA=,平面\BC1平面ABB^,求二面角A-BD-C的正弦值.

19.已知直线x-2y+l=0与抛物线C:V=2px(〃>0)交于A.8两点，且|A8|=4jf5.

⑴求?；

(2)设尸为C的焦点，M,N为C上两点，FM-FN=0,求面积的最小值.

参考答案：

1.A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共辗复数的概念得到之，从而解出.

1-i-2i1-1

【详解】因为z=.=1r7=一1,所以z=*即

故选：A.

2.D

【分析】根据向量的坐标运算求出Q+2b，ib,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详角星】因为a==一1),所以々+2〃=(1+4,1—4),4+4人=(1+〃,1一〃)，

由(Q+4Z?)_L(Q+可得，(a+4Z?).(a+"b)=0,

即(1+丸)(1+//)+(1_丸)(1_//)=0,整理得：=

故选：D.

3.B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(o+£),再利用二倍角的余弦

公式计算作答.

【详解】因为sin。一夕)=sinacos分一cosasin4=—,而cosasin(3=—,因止匕sinacos，=，,

362

..2

贝Usin(cr+尸)=sinacos0+cosasin/3=—,

所以c°s(2a+20=c°s2(")d2sin2(")»2x(32<

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角

总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函

数.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变

角”，使其角相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式

子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

4.D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2,在R上单调递增，而函数/(》)=2虫引在区间(0,1)上单调递减,

2

则有函数、=*5-°)=。-?2-.在区间(0,1)上单调递减，因此■|21,解得422,

所以。的取值范围是［2,+co).

故选：D

5.C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第力项

的关系推理判断作答•,

【详解】方法1，甲：｛%｝为等差数列，设其首项为4,公差为d,

n(n-I).S”n-1,ddS,d

则S=na+----------U,-----CL-\-------d=一〃--,--〃-+i

nx2nX2212n+1n2

因此｛2｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

｛号4为等差数列,即监3=必3^=鼻二

反之，乙:为常数,设为/,

nn+\n〃(〃+1)n(n+1)

naS

即右初尸，则+有%-1),-2,

两式相减得：=〃a〃+i-(九--2勿，BP«n+1—an=2t,对工=1也成立,

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛q｝为等差数列，设数列｛%｝的首项生,公差为d,即s“=，町

则&==+因此｛鸟4为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

QVVS

反之，乙：｛-4为等差数列，即二号-。=。,。=5+5—1)。，

nn+1nn

即S“=nSx+n(n-1)D,=(〃-1)、+(〃-1)(〃-2)D,

当〃22时，上两式相减得：Si=H+2(〃-1)。，当〃=1时，上式成立,

aa

于是。汽=%+2(〃—1)，Xn+\~n=%+2nD—[a[+2(n—V)D]=2D为常数,

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

6.C

【分析】根据「(尤)=役'-^20在(1,2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

【详解】依题可知，尸(司=役”-^20在(1,2)上恒成立，显然。>0,所以xe一，

设g(x)=xe",xe(l,2),所以g,x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增，

g(x)>g(l)=e,故即。2!=1，即a的最小值为

ae

故选：C.

7.C

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用A>0,求出加范围，再根据三角形面积比得

到关于用的方程，解出即可.

y=x+m

【详解】将直线，=%+机与椭圆联立,兀2,消去>可得4f+6mx+3〃-3=0,

——+y=1

I3

因为直线与椭圆相交于AB点，则A=36病-4x4(3/一3)>0,解得-2<旭<2,

设耳到AB的距离4,8到AB距离d2,易知川-友,0),丹(72,0),

则呼4&二由曾

V2V2

|-A/2+m|

।।=r^rr=2,解得根=一彳或一3后(舍去)，

F2AB1，2+刈|V2+m|3

F

故选：c.

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x拦=40人,高中部共抽取60X黑=20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有c：Qc鼠种.

故选：D.

9.BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：设％2，兀3，兀4，%5的平均数为加，…，％6的平均数为〃，

贝।%+%2+忍+%4+毛+*6，2+兀3+犬4+/2（%+/）一（毛+工2+工3+，4）

、n~m~64—12，

因为没有确定2（%+/），兀5+尤2+毛+%4的大小关系，所以无法判断相，孔的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得m=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得根=2,"=8；故A错误；

6

对于选项B：不妨设网Vx2V尤3V戈4Vx5V%,

可知%,三,%,毛的中位数等于玉,%，…，%的中位数均为三；',故B正确；

对于选项C：因为a是最小值，%是最大值，

则%,当，匕，工5的波动性不大于丹,%，…，％的波动性，即为，三，彳4，%的标准差不大于玉,飞，…，%

的标准差，

例如：2,4,6,8,10,12,贝U平均数"=^（2+4+6+8+10+12）=7,

6

标准差心=^1[（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2]=,

4,6,8,10,则平均数m=；（4+6+8+10）=7,

2222

标准差52=^［（4-7）+（6-7）+（8-7）+（10-7）］=非,

显然叵＞百，即4＞S2；故C错误；

3

对于选项D：不妨设x1V%〈X3V%〈X5V%，

则％-占N%-%，当且仅当玉=%，尤5=%时，等号成立，故D正确;

故选：BD.

10.AC

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合了⑺的单调性、极值可判断B,利用平移可判断

C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，/'（力=3/-1,令/々勾＞。得x＞事或尤＜一日，

令-（无）＜0得一更＜x＜且，

33

所以小）在（-00,-g）,（亭,+00）上单调递增，（-F，g）上单调递减，所以x=±4是极

值点，故A正确；

因〃一¥）=1+孚＞0,/（^）=1_^＞0,f（-2）=-5＜0,

所以，函数/（X）在-8,-事上有一个零点,

当尤时,/（x）＞/f^|＞0,即函数〃尤）在健,+［上无零点，

3I3JI3J

综上所述，函数Ax）有一个零点，故B错误；

令/?。）=尤3-%,该函数的定义域为R,”一%）=（一%）3一（一尤）=一尤3+%=一〃（%），

则加»是奇函数，（。,。）是力（无）的对称中心，

将〃（X）的图象向上移动一个单位得到AM的图象，

所以点（0,1）是曲线y=/（x）的对称中心，故c正确；

令F（x）=3d—1=2,可得x=±l,X/（D=/（-l）=h

当切点为（U）时，切线方程为＞=2x-l,当切点为（TD时，切线方程为y=2x+3,故D错

误.

故选：AC.

11.CD

【分析】直接由体积公式计算乂，%,连接8。交AC于点M,连接EM,FM,由

匕=VA-EFM+匕.EFM计算出匕，依次判断选项即可.

设AB=ED=2FB=2a,因为瓦〃平面ABC。，FBED,贝|

11174

V=-EDS.=--2a---（2a}=-a3,

13-cn32v73

匕=?加4皿=；。；（2。）2=|〃，连接8D交AC于点M,连接EM,FM,易得

BD1AC,

X£D±¥ffiABCD,ACu平面ABC。，则EDLAC,又EDBD=D,EQBOu平面

BDEF,则AC_L平面3ZJEF,

又BM=DM=gBD=&a,过/作FGLOE于G,易得四边形BDG/为矩形，贝I」

FG=BD=2yf2a,EG=a,

则EM=J（2a）~=y/6a,FM=Ja2+=下>a,EF=Ja?+（2>/^a）=3a>

EM2+FM2=EF2，则S=-EM-FM=—a2,AC=2尬a，

EFM22

则匕=匕3“+%-=4405£.=243,贝。2匕=3匕，匕=3匕，匕=乂+匕，故A、B错

3

误；C、D正确.

故选：CD.

12.2中任意一个皆可以）

22

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长|钿|,以及点C到直线AB的距离，结合面积

公式即可解出.

【详解】设点C到直线A8的距离为d,由弦长公式得|42?|=2,4-/,

所以S/=：xdx2j4-相=!,解得:[=拽或"=撞，

2555

由〃=一11+1~1=丁2q，所以下J2=4竽亚或一2^=2受x/5，解得：加=±2或根=±：1.

<l+m\l+m11+m2511+m252

故答案为：2（2,-2,二,-《中任意一个皆可以）.

22

3等翻

【分析】结合图像，依次求得4。”4。，4加，从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过4作AMLAC,垂足为M,易知AM为四棱台ABC。-AMGR的高,

因为AB=2，Ag=1，M=0,

11B11

贝1J=—AG=—x应4耳=J,AO=—AC=—x5AB=应,

22222

故AM=g(AC-4G)=#，则AM=yl^-AM2=J2一;=

所以所求体积为V=k(4+1+百万)x"

326

故答案为：坟.

6

14.手/175

【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得至|」然|,|巡忸制,|裕|关于

“，根的表达式，从而利用勾股定理求得a=机，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从

而得解.

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得尤产=4，，将点

A代入双曲线C得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解；

【详解】方法一：

依题意，设|整|=2%,则怛闾=3〃?=怛耳|,|M|=2a+2a,

在RtAB£中，9m1+(2a+2m)2=25m2,贝l](a+37〃)(a—相)=0,故a=，”或a=—3加(舍去)，

所以|M|=4a,|但|=2a,忸闾=|监|=3a,则圈=5a,

4o_4

故cosN片Ag=

5a5

所以在△/1月区中，cos/耳4月=屿三土生二二更=±,整理得5c2=9/,

2X4QX2〃5

方法二：

依题意，得耳(W,0),玛(GO),令4(%,%),2(0,/),

2252

因为&A=所以=则毛=§c,%,

又RALRB,所以月4/8=1|。,一：,・(。#=1°2_：/=0,则/=402,

—c2一/225/4户

又点A在C上，贝|99_1；整理得"-三=1,

再一铲口9a②

所以25c262T6c2/=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16«2c2=9a2(c2-a2),

2

整理得25。4一50/2+/=0,则佟2—96)(5/一叫=°,解得5c2=9/或5c=4，

又e>l,所以e=35或e=@(舍去)，故6=地.

555

故答案为：史.

5

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股

定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.

兀

15.（D-;

6

（2）40-5.

【分析】⑴根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将言±="化成

cos(A+B)=sinB,再结合0<B<],即可求出；

(2)由(1)知，C=W+B,A=^-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式将《J化成

22c2

?

4cos2B+IG—5,然后利用基本不等式即可解出.

cosB

【详解】⑴因为扁sin2B2sinBcosBsin3

即

1+cos232cos2Bcos3

sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=-cosC=—

2

TTTT

而0<B<5,所以B=E；

jrTT

（2）由（1）知，sinB=—cosC>0,所以一<C<兀,0<5<一,

22

而sin3=-cosC=sin

所以C=]+B,即有A=5-28,所以Be[0,?J,Ce

匚匚〜"+/sin2A+sin2Bcos22B+l-cos2B

所以一z—=------Z------=---------Z--------

c2sin2Ccos2B

（2cos2B-l）4-1-cos2B

=4COS2B+--——5>2A/8-5=4^-5-

cos2BCOS2B

当且仅当cos2B=¥时取等号，所以―廿的最小值为4拒一5.

16.⑴。“=15-2〃

<7

(2)北=

n2-14n+98,n>8

【分析】（1）根据题意列式求解4,d,进而可得结果;

（2）先求工，讨论％的符号去绝对值，结合S“运算求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为d,

%=%+4=11

a£,+d9d=1=18,解得Q]=13

由题意可得SJO=10q+=即

d=-29

所以q=13-2(〃-1)=15-2〃,

〃]4“_“2,

(2)因为S“=(13+15—2叽

2

令a“=15—2/>0,解得且〃eN*,

当时，则。“＞。，可得（闻+同

“W7=H-----=q+a2H-----------Fctn=Sn=14-n—n~；

当时，则。”<。，可得<=同+同-t-----v\at^=(al+a2-\-----F%)—(QH-----i-a„)

222

=S7-(S„-S7)=2S7-S„=2(14x7-7)-(14n-n)=M-14«+98；

14n—n2,n<7

综上所述:

n2-14n+98,n>8

17.（1）答案见解析

（2）（i）证明见解析；（ii）R=6；

【分析】（1）由所给数据结合公式求出K2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%

的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；（2）⑴根据定义结合条件概

率公式即可完成证明；（ii）根据（i）结合已知数据求R.

n(adbc¥_200(40)90-60x10)2

【详解】（1）由已知K?==24,

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)50x150x100x100

又尸(K眨6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

尸(B|A)P(B|A)_P(AB)P(A)P(函P(给

(2)⑴因为R=

P(B|A)P{B|A)-尸(A)P(AB)P(A)P(AB)

所以・申・里

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

“'八P(A|B)P(A|B)

(ii)

由已知尸(A|2)=",P(A|B)=—,

100100

-60--90

又尸(A|5)=——,P(A\B)=——,

100100

同、s尸缶I5)尸㈤耳)«

所以A=-=--------------h=6

P(A|B)P(A\B)

18.⑴后

⑵*

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得BC7,平面ABBA，建立空间直角坐标系，利用空间向

量法即可得解.

【详解】（1）在直三棱柱ABC-A4c中，设点A到平面ABC的距离为/i,

A/

则匕-&Bc=gsAiBC-h=^^h=VAi_ABCASC-A=1'ABC-AIB,CI=1'

解得〃=忘，

所以点A到平面ABC的距离为近；

（2）取AB的中点瓦连接AE,如图，因为朋=42,所以

又平面ABC1平面ABB{\,平面\BCc平面ABB^=\B,

且AEu平面ABBH，所以AE,平面ABC,

在直三棱柱ABC-A与G中，BB,1平面ABC,

由3Cu平面ABC,3Cu平面ABC可得AE-L5C,BBt1BC,

又AE,BB{u平面ABB^且相交，所以BC1平面ABB{\,

所以8C,BA,8月两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=也,所以A4,=A8=2,"=25,所以3C=2,

则4(0,2,0),4(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点。(1,1,1),

则加=(1,1,1),BA=(0,2,0),Bd=(2,0,0),