2024年高考数学二轮复习训练：数列求和（学生版）（新高考专用）

专题6-3数列求和

题型一：倒序相加法

【典例分析】

例题1.(2024•江苏•高二专题练习)设函数/(x)=l+lnq,设q=l,

+小+/小d).

(1)求数列｛叫的通项公式.

例题2.(2024•全国•高二课时练习)设奇函数“X)对随意都有/(尤)=/(尤-1)+:

(1)求/仕]和/(S+/(—)(^=0,1,2,的值；

<2)nn

(2)数列｛%｝满意：«„=/(O)+/Q^+/^+[■^+/(1)一(\，数列｛4｝是等差

数列吗？请赐予证明；

【提分秘籍】

倒序相加法，即假如一个数列的前九项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，贝何

运用倒序相加法求数列的前〃项和.

【变式演练】

1.(2024•全国•高三专题练习)已知f(x)=-(xG而，P人x”y),Pzkxz,陞)是函

4"+2

数尸f(x)的图像上的两点，且线段月2的中点户的横坐标是3.

(1)求证：点P的纵坐标是定值;

(2)若数列｛an｝的通项公式是an=/^(meN*,n=1,2,3,,求数列｛an｝的前m项和

Sm.

2.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛()的前“项和S"=2"2-4(〃WN+),函数/(》)

对一切实数x总有/«+/(l-x)=l,数列[b,,｝满意

^„=/(0)+/(-)+/(-)++/(七4)+/⑴.分别求数列｛%｝、｛2｝的通项公式.

nn

3.（2024•江苏•[Wj_■专题练习）设函数/（无）=1+In------,设％=1,

+L+fneN,,H>2）.

(1)计算H(x)+/(l-x)的值.

(2)求数列｛%｝的通项公式.

题型二：分组求和法

【典例分析】

例题1.(2024•新疆和静高级中学高二阶段练习)(1)已知等差数列｛q｝满意为+%=12,

—20,数列也,｝满意乙=1,%-勿=3".求｛见｝,色｝的通项公式；

(2)在数列｛%｝中，4=6,%=4%_1-6(心2,〃eN*),

①求证：｛4-2｝是等比数列；

②求数列｛4+*的前"项和S".

例题2.(2024•上海市甘泉外国语中学高一期末)在等差数列｛%｝中，%+4=-10,前

12项的和5吃=一96.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列｛q+2｝为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列也｝前8项的和.

例题3.(2024•山西运城•高二阶段练习)已知数列｛外｝的前凡项和为，4=2,an+l=Sn+2.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若数列｛2｝满意bn=an+log2a2n+1,求数列色｝的前W项和Tn.

【提分秘籍】

1假如一个数列可写成g=4+bn的形式，而数列｛%,｝，｛0｝是等差数列或等比数列或可

转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.

an〃为奇数

2假如一个数列可写成％=<的形式，在求和时可以运用分组求和法.

b„”为偶数

【变式演练】

1.(2024•上海虹口•一模)在等差数列｛%｝中，4=2,且出，%+2,%构成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)令勿=2%+9,记S“为数列也｝的前"项和，若S“N2022,求正整数〃的最小值.

2.(2024•全国•高三专题练习)给定数列｛%｝,若满意q=a(a>0,a^l),对于随意的

m,〃eN*,都有am+n=am-an,则称｛4｝为“指数型数列”.若数列｛%｝满意：

%=l,%=2%+aj%+］；

⑴推断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；

(2)若“='+〃，求数列色｝的前"项和人

an

3.(2024•福建泉州•高三开学考试)已知数列｛%｝各项均为正数，且

%=2，an+^-2an+i=a,；+2an.

⑴求｛%｝的通项公式

⑵设bn=(-1)"an>求4+4+4++%

题型三:裂项相消法

【典例分析】

例题1.(2024•浙江•慈溪中学高二阶段练习)已知数列｛4｝为等差数列,

+4+。3=9,〃4++〃6=27.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设包=」一，求低｝的前〃项和S“.

anan+\

例题2.(2024•福建•高三阶段练习)从①2=；②2=(-1)"(4出+4)；③2=1

也+1+也%

三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列｛4｝,｛〃｝满意4>0,且q=1,

，，求数列也｝的前”项和S”.

注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

例题3.（2024•山东•日照市教化科学探讨中心高三期中）已知等差数列分别从下

表第一、二、三行中各取一个数，依次作为%,a2,%，且％,出，％中任何两个数都

不在同一列.公比大于1的等比数列也,｝的前三项恰为数列｛4｝前5项中的三个项.

第一列其次列第三列

第一行802

其次行743

第三行9124

⑴求数列｛%｝,也｝的通项公式；

⑵设g=q-，求数列｛g｝的前〃项和1,•

an+\an+2

例题4.（2024•天津•南开中学高三阶段练习）记S”是公差不为0的等差数列｛4｝的前〃

项和，已知%+3%=S5，的5=$4,数列｛2｝满意2=32T+2"T（〃上2）,且4=4-1.

⑴求｛%｝的通项公式，并证明数列+是等比数列；

⑵若数列｛1｝满意g=（T）g_1）7「1）,求｛1｝的前〃项和的最大值、最小值.

1113

⑶求证：对于随意正整数〃，厂+/++T<T.

仿b22

【提分秘籍】

常见的裂项技巧

类型一：等差型

111

①---------——(----------)

〃(〃+左)knn+k

1£111

特殊留意％=1,；k——1,-------

n(n+1)nn+1n(几—1)n—1n

1111

②---------------——(-z--------------)

(左九―1)(左〃+1)2kn—1kn+1

1-^）（尤其要留意不能丢前边的工）

如:

41—12n+l2

类型二：无理型

①/——7==!3n+k--x/n)

\n+k+\nk

如：,——~~产=〃+1-«

yjn+l+y/n

类型三：指数型

①("M11

U(an+1+k)(a"+k)~a"+kan+l+k

,2"11

女口,----------------=----------------

,（2向+4）（2"+左）2n+k2,!+1+k

类型四：通项裂项为“+”型

如:①（"一为=（-1）它+士|

“（72+1）vnn+1J

…（3«+1）-2"（T2'用）

②（-1）（＜=（-1尸一+1

八n^n+l）Inn+\）

本类模型典型标记在通项中含有（-1）"乘以一个分式.

【变式演练】

1.（2024•江苏•高三阶段练习）己知（为正项数列｛%｝的前〃项的乘积，且q=3,7；；=。丁.

（1）求｛%｝的通项公式；

⑵若叶":渭+1产求证：…++么＜］厂

2.（2024•福建省永泰县其次中学高三期中）已知正项数列｛。“｝的前"项和为S“，且凡和

S“满意：4s“=（%+1）2（〃=1,2,3...）.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵设包=」一，也｝的前〃项和为若对随意〃eN*,都成立，求整数机的最

an.an+\23

大值.

3.(2024•陕西•高三期中(文))已知正项数列｛风｝的前〃项和为S”，且23=24+〃〃.

⑴求｛为｝的通项公式；

111111

(2)证明：----+----+----+----++-------+------<3.

dyCI3^^2^^4^^3^^5^^4^^64-14+1anan+2

4.(2024•河北唐山•高三阶段练习)设正项数列｛玛｝的前〃项和为工，且2邑=说+2.

(1)求｛〃,｝的通项公式；

(2)若｛(。什必)％“｝是首项为5,公差为2的等差数列，求数列也｝的前〃项和(.

题型四：错位相减法

【典例分析】

例题1.(2024•辽宁•本溪中学高三阶段练习)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且4=1,

S“+i=4%+l(〃eN*).

(1)求证：数列｛%+「2%｝是等比数列；

⑵求证：数列］墨;是等差数列；

⑶求数列•4，的前九项和Tn.

例题2.(2024•宁夏•银川一中高三阶段练习(理))己知数列｛%｝的前〃项和为S",且

S.+I=S“+%+1,.请在①4+%=13；②4，a3,%成等比数列；③

几=65,这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若么=%-1,求数列｛2"力,｝的前〃项和T“.

注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

,、Qa3

例题3.(2024•福建•莆田第六中学高二阶段练习)已知数列｛4｝满意卬=-：且,=『

⑴求数列包,｝的通项公式；

(2)设数列｛列满意应+(〃-4)4=0,求也,｝的前”项和为T”.

【提分秘籍】

错位相减法求和：假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成

的，那么这个数列的前〃项和即可用此法来求.4倍错位相减法：若数列｛分｝的通项公式

「为也,其中｛%｝、也,｝中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已

知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减,

转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫4倍错位相减法.

温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.

2.关注相减的项数及没有参加相减的项的保留.

【变式演练】

1.(2024•山东•利津县高级中学高三阶段练习)数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，

且q=8,%=32,bn=logjfl,,(neN,),

⑴求数列他J的通项公式，并证明数列也｝是等差数列；

2b,

⑵令c“二j求数列｛1｝的前〃项和

2.(2024•广东•广州思源学校高二期中)已知等差数列｛g｝满意，4=10,且4+1。，%+8,

%+6成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列出｝的通项公式为bn=2",求数列｛。也｝的前〃项和.

3.(2024•湖南省桃源县第一中学高三期中)已知｛%｝为等差数列，前〃项和为S“(〃eN*),

也｝是首项为3且公比q大于0的等比数列，&-2a=9,4=3%，Sg=l电.

⑴求｛《,｝和也｝的通项公式；

⑵求数列｛。也｝的前〃项和4（〃©N）

题型五：奇偶项分类探讨

【典例分析】

例题1.（2024•福建•厦门一中高二阶段练习）数列｛%｝的前"项和为S"，数列也｝的前

〃项积为且S“=24-l（HeN*）,7；="!（"eN*）.

⑴求应｝和也｝的通项公式；

为奇数（、

⑵若C.=|为俾&，求｛%｝的前”项和£.

却〃为偶数

例题2.（2024•广东深圳•高三阶段练习）已知数列伍」满意她+「2a“=〃+g，4=g.

⑴请在集合｛-2,2｝中任取一个元素作为上的值，求数列｛%｝的通项公式;

，求数列｛4｝的前〃项和和.

（2）①若第（1）问取％=2,令b“=

②若第（1）问取％=-2,求数列｛凡｝的前〃项和7“.

注：假如同时选择上的两个取值分别解答，按第一个解答计分.

例题工（2024•广东茂名•模拟预料）设数列｛%｝的首项4=1,〃用=3-2"-4.

⑴证明：数歹U｛%-2"｝是等比数列；

⑵设bn=（«„-2"）（3〃-4）,求数列出｝的前〃项和Tn

【提分秘籍】

类型一：

an”为奇数

通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：cn=\；品/田姐

bn〃为偶数

an〃为奇数

角度1：求G=<的前2〃项和4卬

山〃为偶数

a“〃为奇数

角度2：求c“=<的前〃项和T”

bn”为偶数

类型二:

n

通项含有（-1）"的类型;例如：cn=（-l）an

【变式演练】

1.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛q｝的各项均为正数的等比数列，%=32,

2（q_q）=3%.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若2=(-1)"log2a2n_x,求数列也｝的前〃项和T”.

，、33a

2.（2024•湖南师大附中高二期中）己知数列｛q,｝的首项且满意。用=厂看

（DM：数列［«为等比数列;

---3,“为偶数时，

a"求最小的实数处使得a+2+

⑵设数列也｝满意2=<+b2k<m

〃为奇数时，

.nn+2

对一切正整数人均成立.

3.（2024•山东•青岛二中高二阶段练习）已知数列｛%｝的前〃项和为S",%=1,S.+S“M=1.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若bn=n-an,求数列也｝的前〃项和Tn.

4.(2024•福建•莆田华侨中学模拟预料)已知数列｛4｝满意％=5,。用=4a„-3«2+2«+l.

(1)证明：数列｛q-""为等比数列;

(2)当n为偶数时，求数列｝的前〃项和S".

题型六：插入新数列求和

【典例分析】

例题1.(2024•湖北武汉•高二期末)已知｛%｝是递增的等比数列，且为=2,a2+a,=~.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)在。“与“用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为力的等差数列，在数列｛4｝

中是否存在3项(其中，〃AP成等差数列)成等比数歹！J.若存在，求出这样的3项；若

不存在，请说明理由.

例题2.(2024•全国•高三专题练习)设数列｛%｝的前〃项和为，q=O,a2=l,

nSll+l-(2n+1)S„+(n+l)S„_j-1=O(n..2).

⑴证明：｛%｝为等差数列；

(2)设年=2。”，在口和之间插入"个数，使这“+2个数构成公差为力的等差数列，求

I】-］的前九项和.

例题3.（2024•江苏•常熟中学高二期中）己知数列｛4｝的前几项和为3，S„=n2+2n-

（1）求｛〃”｝的通项公式：

⑵保持数列｛叫中各项先后依次不变，在怎与%=）之间插入2k个1,使它们和

原数列的项构成一个新的数列也｝,记也｝的前〃项和为1,求小的值.

1Q

例题4.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前”项和为S“，且满意S“=2”2+；〃.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵在4和。z,eN*）中插入左个相同的数（-1户次，构成一个新数列出｝«,1,%，-2,

-2,«3,3,3,3,双，L,求也｝的前21项和的.

【变式演练】

1.（2024•福建泉州•高三阶段练习）已知公差不为。的等差数列数“｝中,0）=1,Q是出

和。8的等比中项.

⑴求数列｛%｝的通项公式：

（2）保持数列｛4｝中各项先后依次不变，在即与左=1,2,）之间插入力，使它们和原数

列的项构成一个新的数列也J,记｛"｝的前〃项和为求&的值.

2.（2024•全国•高三专题练习）已知等比数列｛%｝的前〃项和为九%M=2S“+l（〃eN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）在。“和。向之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为“,的等差数列，在数列｛4｝

中是否存在3项4”，4，。（其中机AP是公差不为。的等差数列）成等比数列？若存在，求出

这3项；若不存在，请说明理由.

3.（2024•福建福州•州三期中）已知公差不为0的等差数列｛。”｝中，％=1,%是4和“8

的等比中项.

（1）求数列（«„｝的通项公式：

（2）保持数列｛4｝中各项先后依次不变，在做与az伏=1,2,）之间插入使它们和原数

列的项构成一个新的数列也J,记他,｝的前〃项和为（，求G的值.

4.（2024•云南•高三阶段练习）已知等差数列｛4｝满意％=L的“=2%+1,设4=2%.

⑴求圾｝的通项公式，并证明数列出｝为等比数列；

⑵将伪插入4,出中，门也插入生，％中，々也也插入“3，月中,L,依此规律得到新数列

知凡出也也必也也也皿，…,求该数列前20项的和.

避⑤景新模考敦殂秣

1.（2024•四川自贡•一模（理））等比数列｛《｝的各项均为正数，且=9的9，2%+3g=1.

（D求数列｛%｝的通项公式;

(2)设bn=log3%+log3%+…+log3a,,若数列为的前〃项和T”,比较7“与-2的大小.

2.（2024•四川省遂宁市其次中学校模拟预料（文））已知数列｛%｝,也｝满意％=4=1,

且4+2〃+1一”也=0.

⑴若数列｛%｝为等比数列，公比为q,|4-%|=2,求他,｝的通项公式;

⑵若数列｛%｝为等差数列，an+2-an+1=2,求也｝的前〃项和T..

3.（2024•全国•模拟预料）已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，且满意卬=1,

S“=S“£2aa+l）f,（2S“+l）.

⑴证明：数列为等差数列，并求数列｛为｝的通项公式；

Q

⑵记bn=02Ma2n+l,若数列间的前加项和*=/,求m的值.

4.(2024•陕西渭南•一模(文))已知等差数列｛叫的前〃项和为S,,,不等式平2尤-8<。

的解集为(-1,4).

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若或=-7+不，求数列也的前“项和加

5.(2024嘿龙江•哈尔滨三中模拟预料)已知等比数列｛4｝的公比4>1,且。2+/+%=14,

%+1是电，氏的等差中项，数列也｝满意：数歹!]｛%2｝的前"项和为"2.

⑴求数列｛%｝、也｝的通项公式；

⑵若％=""+”，4=殳望，求数列｛4｝的前〃项和S..

CnCn+\

6.(2024•浙江•三门县观澜中学模拟预料)已知数列｛叫满意弓=1,%+小七,九eN*.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设数列也｝满意：”,=弟$+1-说,也｝的前〃项和为1,求证：n<Tn<n+^.

7.（2024•四川•宜宾市叙州区其次中学校模拟预料（文））己知数列｛g｝的前〃项和S“满

_-«2+-2.

（1）求生,并证明数列｛。"+3"｝为等比数列；

⑵若d=〃（q+3"）,求数列｛2｝的前〃项和7“.

8.（2024•四川雅安•模拟预料（理））给出以下条件：①电，/+2,%+4成等比数歹!J；

②Sz，%，S&+4成等比数列；③!是!与!的等差中项.从中任选一个，补充在下面的

〃5

横线上，再解答.

已知单调递增的等差数列｛。“｝的前〃项和为s“，且4=2,.

⑴求｛4｝的通项公式；

⑵令［卜］是以2为首项，2为公比的等比数列，数列加“｝的前〃项和为若〃eN*,

+2

〃乙+2«-4）＞8S“-26%,求实数2的取值范围.

注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

9.（2024•江苏•盐城市第一中学模拟预料）已知数列｛%｝是公比为4的等比数列，前〃项

和为s”，且满意4+。3=2q+l,s3=3a2+l.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

%为奇数

（2）若数列也｝满意bn=<3aH〃为偶数，求数列也｝的前2n项和耳•

4a；-5an+T

10.（2024•湖北•黄石市有色第一中学模拟预料）已知等差数列仅"前”项和为S“（〃eN+）,

数列｛或｝是等比数列，4=3,〃=1,b2+S2=lO,a5-2b2=a3.

（1）求数列｛6｝和唬,｝的通项公式；

[2

A〃为奇数

⑵若C“=