【函数与方程思想在中学数学解题中的探究5600字（论文）】

函数与方程思想在中学数学解题中的研究目录TOC\o"1-2"\h\u24906函数与方程思想在中学数学解题中的研究 19232摘要 17441关键词：函数与方程思想，中学数学，典型问题应用研究，教学策略 120548前言 130069一、函数与方程思想分析 215672（一）函数与方程思想概述 29441（二）关于学生对函数与方程思想的掌握程度 216958（三）教师对函数与方程思想的教学可能存在的问题 331118二、函数与方程思想的典型应用研究 316409（一）运用函数思想解决含参数问题 35878（二）运用函数思想证明不等式 4788（三）运用方程思想解决几何问题 523563三、教学案例研究 627364（一）教学过程中运用函数思想解题案例分析 623567（二）教学过程中运用方程思想解题案例分析 611932（三）教学过程中运用函数与方程思想解题案例分析 71852四、函数与方程思想的教学建议 71335（一）学习建议 718847（二）教学策略 832650结论 922993参考文献 10摘要函数与方程的思想方法可以直接将一些抽象复杂的问题简单化，转换数量关系，用主观的函数图像替代抽象的数量关系，进而搭建解决抽象数学问题的桥梁。此外，函数与方程一直是中高考的热点、重点，难点问题。本文阐述了函数与方程思想的概念，并分析函数与方程思想教学中可能存在的问题，同时探讨了函数与方程思想在中学数学中六类典型问题中的应用，最后提出了几点关于函数与方程思想的学习建议和教学策略。关键词：函数与方程思想，中学数学，典型问题应用研究，教学策略前言功能和方程式的思想既有功能的，也有方程式的。所谓的功能思维，就是利用函数的特性和概念，来分析、转换、解决问题，而方程的思维，就是根据问题的数量，运用自己的数学知识，来解决问题。在教学和学习的过程中，函数和方程的概念经常会出现，老师需要引导学生利用函数和方程来解决和理解相关的数学问题，这样既可以促进学生的解题能力，又可以有效地提高解题的准确率和效率。在应用功能思维解决问题时，研究的是数量和变量的关系，而方程式思维则是分析问题中变量间的等量关系。函数和方程式的概念是高中数学的基础，也是中学数学教学的一条主线，因此，加强对其教学和学习的研究具有重要的理论意义。中高考强调“知识与实践相结合”，而现实问题中常常包含着函数和方程式，如何合理地运用函数和方程式，是中学数学教育必须探索的一个重要问题。一、函数与方程思想分析（一）函数与方程思想概述函数和方程式是中学数学的一个重要思想，它是运用函数的概念和性质来分析、转化和解决问题的一种思考方法。方程式思维是用方程式来解决问题，同时也是对方程式的概念性质的理解，它主要是对数理问题之间的各种变项进行分析。将这两种方法结合起来，可以减少数学难题的难度，从而让数学问题变得更加简单和高效。这两种方法的共同之处，就是将数学问题转化为函数、方程或者两者的组合，从而减少了题目的难度，从而解决了问题。为更好地理解学生会的功能和方程式的学习状况，我们采访了一些中学的数学教师和学生（主要是娄底市的星星实验学校、涟源四中、涟源六中），并参考了一些资料，得到了如下的研究结论。《几何原本》是希腊时代和人类发展史上最早的一部数学思想方法。《几何原本》是一部由希腊数学家欧几里得写成的，大约在公元前300年左右，他将希腊的数学资料进行了梳理，并将其运用到了现代，而在近代，《几何原本》被翻译为中文。最早见于刘徽的《九章算术》。函数和方程式的概念是非常普遍的。本文以高中数学思维方法为切入点，阐述了数列问题应用、不等式应用、应用问题应用三个方面的具体应用。本文从多个方面分析了这些问题，以期对教师在数学思维教学中的应用有所帮助。本文通过对函数和方程思想在解题过程中的具体应用进行了探讨，并指出了将函数和方程式的思想用于解决问题，从而使我们能够正确地理解和理解这些问题。本文从功能和方程式的概念出发，阐述了函数与方程式的概念在中学数学解题中的作用，强调了其思想的意义，并强调了其思想的意义，强调了在问题的情况下，如何合理地构造函数或方程的模型，并运用数学的语言和方法来表示数量关系，从而达到逐步转化的目的。（二）关于学生对函数与方程思想的掌握程度大多数同学对函数和方程式的概念都很了解，但大多数同学对它的理解却很模糊，只有少数人能用它来解决问题。主要问题是：没有充分考虑到函数和方程的概念。在解题时，同学们只关注是否能解出问题，却忽视了解题的过程和解题方式，再加上课本上没有函数和方程式的概念，让他们下意识地以为，函数和方程式这两个概念太难学，根本就不想学。学生对基本的函数和方程的理解还不充分。在中学里，函数和方程是最重要的，也是最重要的，因为它们是从高中到高中的，每一节课都是在不断的积累，如果一个学期的时间不够扎实，那么就会严重的影响到后面的公式和函数。在解决问题时，很少采用函数和方程式思维。当老师解答函数和方程式的问题时，他们会觉得自己能理解，而当他们自己做题时，却不知道该从哪里开始，或者说，他们的思维模糊不清，或者根本就没有答案。只有在老师的指导下，他才能用函数和公式来解决问题。学生对功能和方程式的思考还不够深入。在老师的讲解下，中学数学的课程题目都要记下来，而做笔记，就是要让学生对题目进行分类，思考，总结，理解。这种学习方式是大多数同学都不具备的，有些人在课堂上做了笔记，却没有完全理解，有些人虽然已经做了笔记，但却没有时间去思考和总结。（三）教师对函数与方程思想的教学可能存在的问题有25%的人认为老师在课堂上提及的是函数和方程式，只有百分之七十五。教师在教学中的主要问题是：教师不太注重功能和公式思维。只有简单的解题思路，缺乏对函数和方程式的思考的专题分析。在教学方法上，没有强调函数和方程式的概念。在教学设计方面，由于忙于教学进度，没有进行主题练习，对函数和方程式的思维进行了归纳，从而造成了对函数和方程式思想的指导不足，在教学中提出函数和方程式的思考也不多。有的老师没有自己的知识，只是分析了一个特定的问题，却很少提到，也没有提到它的概念和概念。二、函数与方程思想的典型应用研究（一）运用函数思想解决含参数问题例题3.1（2020全国Ⅰ卷第21.2题）已知函数f(x)=ex+ax2−x，当解析：本题主要考察函数的单调性，导数的应用，不等式的恒成立问题，利用函数的概念来构造一个新的函数模型，然后利用函数的性质，利用函数的特性来求解原问题。解：依题意得：f(x)≥1设函数g(x)=(12x3−axg=−1=−(i)若2a+1≤0，即a≤−12，则当x∈(0,2)时，∴g(x)在(0,2)单调递增，而g(0)=1，∴当x∈(0,2)时，g(x)>1，不合题意(ii)若0<2a+1<2，即−1当x∈(0,2a)∪(2,+∞)时，当x∈(2a+1,2)时，∴g(x)在(2a+1,2)单调递增，在(0,2a),(2,+∞)单调递减而g(0)=1∴g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1即a≥∴当7−e2g(x)≤(12∵0∈[由（ii）可得(∴当a≥12综上，a的取值范围是[（二）运用函数思想证明不等式例题3.2（2020全国Ⅱ卷第21题）已知函数f(x)=sin（1）讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；（2）证明：f(x)≤解析：本题主要考察函数的单调性，导数的应用，三角恒等变换，不等式的证明，利用三角函数的有关属性，把问题转化为一个问题。解：（1）f=2sinxcosxsin2x+2=2sinxsin3x当x∈(0,π3当x∈(π3∴f(x)在区间(0,π在区间(π∵f(0)=f(π)=0由（1）知f(x)在[0,π]的最大值为f(最小值为f(而f(x)是周期为π的周期函数∴f(x)（三）运用方程思想解决几何问题例题3.3(2020国家卷15题）可知，锥形的底部半径是1，而母线长度是3，那么这个锥形中最大的球体的容积是什么？解析：本题主要考察了锥形内切球，利用方程式的思路，从纵向关系出发，建立了内切球半径的方程式。解：根据题目的意思，最大的球体是内切球，而锥形PE和它的内切球O见图3.3设内切球的半径为r，PB=3,BE=1则sin∠BPE=∴OP=3r∴OP=3r∴PE=4r=∴r=∴内切球的体积：V=即该圆锥内半径最大的球的体积为23图3.3三、教学案例研究（一）教学过程中运用函数思想解题案例分析在解题过程中，教育者首先要引导学生思考：总的解题方向是什么？怎么转化不等式f(x)≥12x3+1更益于解题？（设计意图：通过提出问题，将学生的思维往函数上引导，体现函数思想，为后续运用函数思想解题做铺垫。）不等式转化成(12x3−a可转化为−33至此，我们只需运用函数性质，计算其最值，加以说明即可作用：能够有效的将题目难度降下来，直观地体现函数思想的优点。（二）教学过程中运用方程思想解题案例分析在教学中，老师会引导学生将最大的球体作为一个圆锥形的内切球进行解析，如果内切球的半径是不确定的，那么可以将半径r设为r（设计目的：将未知的量或变量转换成常数），利用POC和△PEB，将问题的底部半径与母线之间的关系转换为半径r和PO之间的关系，然后利用直角三角形的勾股定理，得到r的方程，得到半径，然后得到球体的表面和体积。（目的：指导学生运用公式思维，转换问题的已知条件。在不确定的情况下，可以用公式来构造公式，这样就能更好的计算出重要的数值，从而凸显出公式的优点。）（三）教学过程中运用函数与方程思想解题案例分析在教学中，教师要注意：圆锥曲线方程和函数有本质的不同，它和函数是相关的，可以将它们结合起来，如果直线L的方程是不确定的，那么我们可以从一次函数的图象为一条直线出发，假定它是一个抛物线的方程和它的特性y=32x+b这个b。（目的：让同学们了解到，函数和方程式之间的关系，可以互相配合，让他们感受到函数和方程式的精妙，让他们在不知不觉中，对函数和方程的概念进行培养。）在课堂上，引导同学们对方程式进行解析，结果发现，这并非一元二次方程式，而是一元三次方程式，以方程式根的判别法，根本无法解决此问题。这时，请同学将等号左侧的项看作一个函数，如果这个函数就是我们要找到的。两个函数的交点正好是等式的解法，所以交点的数目就是方程式的实根数f(x)=在教学过程中，帮助学生理清解题思路，为学生提供简单直接有效的解题方法，此题旨在构建函数关系，分析已给信息，没有直接的函数关系可以运用，但是有等量关系，可以构建方程，而构建方程需要假设未知量，此题有两个未知量：两车之间的距离f(x)、行驶时间x。处理好未知量，找等量关系；f(x)=900−(90+60)x，建立好一元二次方程，也解决了两车之间的距离f(x)与行驶时间x的四、函数与方程思想的教学建议（一）学习建议首先，要注重对基本的函数和方程的掌握，这是高中阶段的一个难点，要注意记笔记，并及时巩固所学的内容。其次，整理整理好的笔记，独立使用函数和方程式进行思考，得出答案，所谓“好事多磨”，就是这样，反复练习，才能有自己的想法。第三步，归纳归纳了函数和方程的相关知识，理清了它们之间的逻辑关系，找到了它们之间的联系和差异，并建立起了一个完整的知识库。（二）教学策略教师在教学中注重函数和方程式的思想，但在教学中难免会出现教育者的错误，或是在传授知识时忽视了许多因素，从而影响了学生的功能和方程式观念，从而影响了他们的应用意识。在教学中，要注重函数和方程式的教学，要把函数和方程式的思想渗透得像质一样，使学生对数学的认识更加深刻，把课堂作为主要途径，不断改善教学方法，培养学生的数学能力。在解题过程中，引导学生积极地运用函数和方程式思维，积极地帮助学生对这些问题进行归类，培养学生的思维方式，培养学生的思维，培养学生的逻辑思维，培养学生的学习积极性。

结论函数和方程是数学的一个重要组成部分，在高中数学中，灵活地使用函数和方程式，可以有效地解决有关的数学问题，提高求解的效率和精确度。从中学数学的角度来看，函数和方程式一直是高中物理教学中的一个热门话题，也是一个难题。在数学思维中，函数和方程的概念非常突出和重要，它可以把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，把问题变成方程，或者函数，然后利用方程和函数的相关知识，来解决问题。教师在研究函数和方程式的思想时，要概括出函数、方程式的概念和研究意义，并具体分析其实际应用。在解题之前，学生要先了解方程（群），函数的有关性质，这是函数和方程的基本概念，在解题时，将函数和方程结合起来，使问题变得简单明了。在日常教学中，及时帮助同学们对函数和方程式的相关知识进行整理，使他们能够灵活的使用函数和方程式，并充分发挥函数和方程式思维的优点。同时，对教学设计、教学方法、教学技巧进行了总结和反思，及时对学情进行分析，并作出相应的调整和改善。

参考文献[1]迟玉红.浅谈函数与方程思想在高中应用解题的策略[J].天天爱科学（教学研究）,2022(01).86-87.[2]孔凡涛.借力“函数与方程思想”巧解题[J].高中数理化,2021(12):13-14.[3]吴强.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].数理化解题研究,2021(33):3