第二章“一元一次方程”简介

第二章“一元一次方程”简介课程教材探究所田载今一、教科书内容和课程学习目标1.教科书内容本章继第1章“有理数”之后，属于《全日制义务教育数学课程标准〔试验稿〕》中的“数与代数”领域。方程有悠久的历史，它随着实践须要而产生，并且具有极其广泛的应用。从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的探究推动了整个代数学的开展。从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简洁的代数方程，也是全部代数方程的根底。本章主要内容包括：一元一次方程及其相关概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析与解决实际问题。其中，以方程为工具分析问题、解决问题，即建立方程模型是全章的重点，同时也是难点。分析实际问题中的数量关系并用一元一次方程表示其中的相等关系，是始终贯穿于全章的主线，而对一元一次方程的有关概念和解法的探讨，是在建立和运用方程这种数学模型的大背景之下进展的。列方程中蕴涵的“数学建模思想”和解方程中蕴涵的“化归思想”，是本章始终渗透的主要数学思想。全章共包括四节2.1从算式到方程这一节分为两个小节。2.1.1一元一次方程在小学阶段，已学习了用算术方法解应用题，还学习了最简洁的方程。本小节先通过一个详细行程问题，引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再一步一步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程。这样支配目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定义，并使学生相识到方程是更便利、更有力的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步。算式表示用算术方法进展计算的程序，列算式是依据问题中的数量关系，算式中只能含确定数而不能含未知数。列方程也是依据问题中的数量关系〔特殊是相等关系〕，它打破了列算式时只能用确定数的限制，方程中可以依据须要含有相关的确定数和未知数，未知数进入式子是新的突破。正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更干脆、更自然，因而有更多优越性。本小节中引出了方程、一元一次方程、方程的解等根本概念，并且对于“依据实际问题中的数量关系，设未知数，列出一元一次方程”的分析问题过程进展了归纳。2.1.2等式的性质方程是含未知数的等式，为适合初中学生学习，本章不涉及方程的同解理论，而以等式的性质作为解方程的依据。本小节通过视察、归纳引出等式的两条性质，并干脆利用它们探讨一些较简洁的一元一次方程的解法。这将为后面几节进一步探讨较困难的一元一次方程的解法打算理论依据。

2.2从古老的代数书说起──一元一次方程的探讨〔1〕本节仍旧结合一些实际问题绽开，重点探讨两方面的问题：〔1〕如何依据实际问题列方程？这是贯穿全章的中心问题。〔2〕如何解方程？这节重点探讨解方程中的“合并〔同类项〕”和“移项”，这样就已经可解类型的一元一次方程。本节首先提及在数学史上对解方程颇有影响的一部著作，即生活在约780～850年间的阿拉伯数学家阿尔－花拉子米所著的《对消与复原》一书，提问“对消”与“复原”是什么意思，作为后面要探讨的内容的引子。在本节内容绽开中引出“合并〔同类项〕”和“移项”。本节中用框图形式归纳出“用一元一次方程分析和解决实际问题的根本过程”。

2.3从“买布问题说起”──一元一次方程的探讨〔2〕本节接着结合一些实际问题探讨一元一次方程，重点探讨两方面的问题：〔1〕如何依据实际问题列方程？这是贯穿全章的中心问题。〔2〕如何解方程？这节重点探讨解方程中的“去括号”和“去分母”，这样就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤。本节从俄罗斯文学家契诃夫的小说《家庭老师》中的一道“买布问题”，引出解方程中的“去括号”问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而探讨用去分母的方法解这类方程。在本节中，以解一个详细方程的过程为例，用框图形式表示了一元一次方程解法的一般步骤。2.4再探实际问题与一元一次方程在前面已经探讨过由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的根底上，本节进一步以“探究”的形式探讨如何用一元一次方程解决实际问题。要探究的三个问题〔“销售中的盈亏”“用哪种灯省钱”“球赛积分表问题”〕要比前几节的问题困难些，问题情境与实际状况更接近。本节的重点是建立实际问题的方程模型。通过探究活动，可以进一步体验一元一次方程与实际的亲密联系，加强数学建模思想，造就运用一元一次方程分析和解决实际问题的实力。由于本节问题的背景和表达都比拟贴近实际，其中的有些数量关系比拟隐藏，所以在探究过程中正确地建立方程是主要难点。突破难点的关键是弄清问题背景，分析清晰有关数量关系，特殊是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。2.本章学问构造图〔1〕利用一元一次方程解决问题的根本过程〔2〕本章学问支配的前后依次3.课程学习目标

1.经验“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，相识从算式到方程是数学的进步。2.通过视察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。3.了解解方程的根本目标〔使方程逐步转化为x=a的形式〕，熟识解一元一次方程的一般步骤，驾驭一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。4.能够“找出实际问题中的确定数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想。5.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的根本过程〔见上图〕，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的实力。4.课时支配本章教学时间约需18课时，详细安排如下〔仅供参考〕：2.1从算式到方程约4课时2.2从古老的代数书说起──一元一次方程的探讨〔1〕约4课时2.3从“买布问题”说起──一元一次方程的探讨〔2〕约4课时3.4再探实际问题和一元一次方程约4课时数学活动小结约2课时二、本章教科书的编写特点

1.突出方程这个重点内容，将有关式的预备学问融于探讨方程的过程中在很多教科书中，整式及其加减运算通常支配集中在一元一次方程之前，为一元一次方程的学习做打算。这样做的优点是层次清楚，“前面铺好路后面走起来很顺”；而缺乏是学生往往在学习这些预备学问时不能体会它们以后的作用，学习目的性不明确，因而影响学习效果。在本章中没有做如上处理，而是将有关整式的内容分散地融于对方程的探讨之中，不过于强调式的概念，只要它们能自然地为探讨方程这条主线效劳即可，这是本章的一个特点。这样处理的目的是突出方程这个实际应用作用明显的内容，由于有关预备学问与方程结合得更亲密了，并且不单独予以强调，所以便于学生自然而然地承受和运用，而不感到学了没用。在学生对整式有一些初步的相识的根底上，本套教科书在后面〔第15章〕还要支配对它们的特地探讨，到那时学生对为什么学习有关式的内容就比拟简单理解了。2.突出列方程，结合解决实际问题探讨解方程列方程是本章的重点，也是难点。为突出重点，分散难点，使学生能有较多时机接触列方程，本章把对实际问题的探讨作为贯穿于全章前后的一条主线。对一元一次方程解法的探讨始终是结合解决实际问题进展的，即先列出方程，然后探讨如何解方程，这是本章的又一特点。教科书先结合两个实际问题的求解过程分别探讨了“合并〔同类项〕”和“移项”，并进一步通过一些例题对这两种解方程的变形手段进展综合练习和强化。此后教科书又在对另两个实际问题的探讨中引出解方程中的“去括号”和“去分母”，并进一步通过一些例题和练习题协助学生驾驭它们。在此根底上，教科书归纳总结出解一元一次方程的目标和一般步骤，引导学生提高对一元一次方程解法的相识。我们认为这样处理解方程的教学符合人们对方程的相识过程，并且可以加强这章内容与实际的联系，有助于解决局部学生总感觉列方程难的问题。3.通过加强探究性，造就分析解决问题的实力、创新精神和实践意识本章的中心任务是，使学生经验建立一元一次方程模型并应用它解决实际问题的过程，体会方程的作用，驾驭运用方程解决简洁问题的方法，提高分析问题、解决问题的实力，增加创新精神和应用数学的意识。由于实际问题的类型多样，在某些问题中数量关系不非常明显，使得以方程为模型表示问题中的数量关系成为教学中的难点。为切实提高利用方程解决实际问题的实力，本章在内容选择上留意加强探究性。例如，第2.4节特殊支配了“再探实际问题和一元一次方程”的内容，选择了三个具有必须综合性的问题〔“销售中的盈亏”“用哪种灯省钱”“球赛积分表问题”〕，设置了假设干探究点，引导学生利用方程为工具进展具有必须深度的思索，把全章所强调的以方程为工具把实际问题模型化的思想提到新的高度。这节内容包括：估算与准确计算的比拟〔探究1〕，进展开放性的设计〔探究2〕，依据问题的实际背景进展检验，利用方程进展简洁推理判定〔探究3中已渗透了反证法的思想〕。支配这节的目的在于：一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出方程这种数学模型的应用具有广泛性和有效性；另一方面使学生能在更加贴近实际生活的问题情境中运用所学数学学问，使分析问题和解决问题的实力、创新精神和实践意识在更高层次上等到提高。4.重视数学思想方法的渗透，关注数学文化本章不仅重视数学与实际的联系，列方程和解方程的方法，而且重视数学学问中蕴涵的建模和化归等数学思想方法的渗透。，本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想。虽然考虑到学生的理解实力等缘由，教科书没有过多出现“数学模型”一词，但是本章屡次以框图形式对“利用一元一次方程解决问题的根本过程”加以归纳，意在渗透建模思想。为表达化归思想在解方程中具有指导作用，本章中探讨一元一次方程的各个步骤时，都留意点明解方程的目的，即为最终使方程变形为x=a的形式，各种步骤都是为此而实施的，即在保持方程的左右两边的相等关系的前提之下，使“未知”逐步转化为“确定”。本套教科书的特色之一是，使教科书成为反映科学进步、介绍先进文化的镜子。重视数学的科学价值，同时关注其文化内涵。通过教科书这面镜子的反射，结合教学内容生动活泼地介绍古今数学的开展，深化浅出地反映数学的作用〔工具作用和人文教育作用〕，使学生逐步地相识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养。本章对于数学文化予以很大关注，从数字到字母，从算式到方程，从算术到代数……这些数学史上的重大进步以及有关方程的名著《复原与对消》、埃及纸莎草文书中的问题等在教科书中都有所反映。编者盼望学生通过学习本章不仅在数学学问和实力方面得到提高，而且能够感受到数学文化的熏陶。三、几个值得关注的问题1.关注在前面学段的根底上开展，做好从算术到代数的过渡本章第2.1节从一个实际问题〔行程问题〕起先探讨，在引出方程后提出“从算式到方程是数学的进步”。算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法。用算术方法解实际问题是前面学段中学生已经学习过的内容，它对于提高分析问题中数量关系的实力有着打根底的作用。算式表示一个计算过程，用算术方法解实际问题时，算式中只含确定数而不包含未知数；而代数中设未知数或列方程时首先须要用式子表示问题中有关的量，这些式子事实上也是算式，只是其中可能含有字母〔未知数〕。方程是依据问题中等量关系列出的等式，其中既含有确定数，又含有未知数，这是代数方程与算术算式的区分之一。由于方程中可以用未知数与确定数一起表示相关的量，所以方程的应用更为便利。这正是用字母表示数带来的好处。从课程标准看，在前面学段中已经有关于简洁方程的内容，学生已经对方程有初步的相识，会用方程表示简洁情境中的数量关系，会解简洁的方程，即对于方程的相识已经验了入门阶段，具备了必须的感性相识根底，这些根本的、朴实的相识为进一步学习方程奠定了根底。本章的内容是在前面的学习根底上的进一步开展，即对一元一次方程作更系统更深化的探讨，所涉及的实际问题要比以前学习的问题困难些，更强调模型化思想的渗透；对方程解法的探讨要更注意算理，更强调创设未知向确定转化的条件以及解法中程序化的思想。了解以上的联系与区分，有助于在本章教学中留意到应在哪些地方使学生得到新的提高。2.关注方程与实际问题的联系，表达数学建模思想

我们生活在一个丰富多彩的世界，其中存在大量问题涉及数量关系的分析，这为学习“一元一次方程”供应了大量的现实素材。在本章教科书中，实际问题情境贯穿于始终，对方程解法的探讨也是在解决实际问题的过程中进展的，“列方程”在本章中占有突出地位，全章教科书遵照探讨实际问题的线索而绽开。在本章的教学和学习中，要充分留意方程的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程来自实际又效劳于实际，加强对于方程是解决现实问题的一种重要数学模型的相识。鉴于本章的学习对象是七年级学生，教科书的表达力求通俗易懂，在正文中幸免过多干脆运用“数学模型”等词，而是通过详细例子反复强调方程在解决实际问题中的工具作用，事实上这就是在渗透建立数学模型的思想。设未知数、列方程是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的相等关系是设未知数、列方程的根底。在本章的教学和学习中，可以从多角度进展思索，借助图形、表格、式子等进展分析，找寻等量关系，检验方程的合理性。老师还可以结合实际状况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用一元一次方程分析和解决它们。利用一元一次方程解决问题的根本过程〔见前面的图〕，在本章中反复出现并且逐步细化，这有助于从整体上相识一元一次方程与实际问题的关系，请留意在教学中不断强化对它的相识。3.关注方程这条主线，带动相关预备学问的学习

从数学学科内部来看，整式及其运算〔加减法〕是一元一次方程的预备学问；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更干脆。本套教科书不像过去很多数学教科书那样先支配整式，然后再支配一元一次方程，而是将与一元一次方程相关的整式学问分散于本章之中，对它们采纳“够用即可”的处理方式，回避了一些概念〔代数式、同类项等〕，结合方程的探讨通过例子说明了一些相关运算〔合并含未知数的项、去括号等〕，而将对整式系统深化的探讨留待后面章节完成。前面已经说过这样处理的主要目的是为了突出重点，适当精简整合教学内容，加强应用意识。这样处理与“先特地支配整式预备学问，后支配方程”的做法各有优缺点，请在教学实践中对它们进展比拟和检验，以便进一步寻求更符合教学实际的处理方案。在本章的教学中，盼望能够了解教科书的上述改变及其用意，时刻关注教学重点，留意抓住方程这条主线，削枝强干，突出围绕一元一次方程的探讨，带动有关预备学问的学习。特殊要把握好本章中所含有的整式学问的深度和广度，不作过多的补充和引申，以免喧宾夺主冲淡主题。4.关注造就学习的主动性和探究性课程改革的目的之一是促进学习方式的转变，加强学习的主动性和探究性。本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的欢乐更简单激起学生对数学的爱好。在本章的教学中，应留意引导学生从身边的问题探究起，主动收集找寻“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，并更多地进展数学活动和相互沟通，在主动学习、探究学习的过程中获得学问，造就实力，体会数学思想方法。在本章的教科书中，支配了很多可供应学生主动进展探究的内容，其中既涉及列方程又涉及解方程，例如2.4节“再探实际问题与一元一次方程”就是为提高分析和解决问题的实力而支配的探究性内容，本章的“数学活动”及“拓广探究”栏目下的习题等也设置了许多探究性问题，采纳什么方式进展这些内容的教学是须要关注的问题。详细教学方式可能会因时因地因人而易，但是各种方式都应留意鼓舞学生踊跃探究，当学生在探究过程中遇到困难时，老师应启发诱导，设计必要的铺垫，让学生在经过自己的努力来克制困难的过程中体验如何进展探究活动，而不要替代他们思索，不要过早给出答案。应鼓舞探究多种不同的分析问题和解决问题的方法，使探究过程活泼起来，在这样的气氛中可以更好地激发学生踊跃思维，得到更大收获。对于解方程过程中较困难的计算，可以提倡学生运用计算机〔器〕等计算工具采纳敏捷方式完成。5.关注数学思想方法的教学和学习前面已经说过，本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程模型这一过程中蕴涵的模型化〔包括符号化〕的思想；另一个是解方程的过程中蕴涵的化归思想。在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于个别题目的详细解题过程，而应关注对以上思想方法的渗透和领悟，从整体上相识问题的本质。数学思想方法是通过数学学问的载体来表达的，对于它们的相识须要一个较长的过程，既须要教科书的渗透反映，也须要老师的点拨，最终还须要学生自身的感受和理解。数学思想方法对一个人的影响往往要大于详细的数学学问，例如对解方程的本质有比拟透彻的相识，就简单主动地探究详细方程的解法，这远比死记硬背方程的解法步骤的效果要好。因此，我们须要关注数学思想方法的教学和学习，盼望老师在如何深化浅出地进展这方面的教学上不断探究。

6.关注根底学问和根本技能，适当加强练习稳固

本章内容包括一元一次方程的概念、解法和应用。一元一次方程是最根本的代数方程，对它的理解和驾驭对于后续学习〔其他的方程以及不等式、函数等〕具有重要的根底作用。因此，教学和学习中应留意打好根底。由于本章教科书是以分析解决实际问题为线索绽开的，很多根底学问隐含于分析解决问题的过程之中，如缺乏对这些根底内容的分析归纳，可能会对它们有所无视，所以在教学和学习中应留意对它们进展归