第四章 习题课一

第页习题课一：电磁感应中的电路及图象问题电磁感应中的电路问题电磁感应中的电路问题电磁感应问题常与电路知识综合考查，解决此类问题的基本方法是：(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路。(2)画等效电路图，分清内、外电路。(3)用法拉第电磁感应定律E＝neq\f(ΔΦ,Δt)或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。在等效电源内部，电流方向从负极指向正极。(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。[例1]固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd边长为l，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可忽略的铜线。磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。现有一段与ab段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ架在导线框上(如图1所示)。若PQ以恒定的速度v从ad滑向bc，当其滑过eq\f(1,3)l的距离时，通过aP段的电流是多大？方向如何？图1解析PQ右移切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，外电路由Pa与Pb并联而成，PQ滑过eq\f(l,3)时的等效电路如图所示。PQ切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝Blv，感应电流方向由Q指向P。外电路总电阻为R外＝eq\f(\f(1,3)R·\f(2,3)R,\f(1,3)R＋\f(2,3)R)＝eq\f(2,9)R，电路总电流为I＝eq\f(E,R＋R外)＝eq\f(Blv,R＋\f(2,9)R)＝eq\f(9Blv,11R)，aP的电流大小为IaP＝eq\f(2,3)I＝eq\f(6Blv,11R)，方向由P到a。答案eq\f(6Blv,11R)方向由P到a1.“电源”的确定方法：切割磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”。2.电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极。[针对训练1]面积S＝0.2m2、n＝100匝的圆形线圈，处在如图2所示的磁场内，磁感应强度随时间t变化的规律是B＝0.02t(T)，电阻R＝3Ω，电容器的电容C＝30μF，线圈电阻r＝1Ω，求：图2(1)通过R的电流方向和4s内通过导线横截面的电荷量；(2)电容器的电荷量。解析(1)由楞次定律可求得电流的方向为逆时针，通过R的电流方向为b→a。由法拉第电磁感应定律可得E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝nSeq\f(ΔB,Δt)＝100×0.2×0.02V＝0.4V，由欧姆定律得电路中的电流I＝eq\f(E,R＋r)＝eq\f(0.4,3＋1)A＝0.1A，出线4s内通过导线横截面的电荷量q＝It＝eq\f(E,R＋r)t＝neq\f(ΔBS,Δt（R＋r）)t＝0.4C。(2)UC＝UR＝IR＝0.1×3V＝0.3V，Q＝CUC＝30×10－6×0.3C＝9×10－6C。答案(1)方向由b→a0.4C(2)9×10－6C电磁感应中的图象问题1.明确图象的种类，即是B－t图象还是Φ－t图象，或者是E－t图象、I－t图象、F－t图象等。2.分析电磁感应的具体过程。3.确定感应电动势(或感应电流)的大小和方向，有下列两种情况：(1)若回路面积不变，磁感应强度变化时，用楞次定律确定感应电流的方向，用E＝neq\f(ΔΦ,Δt)确定感应电动势大小的变化。(2)若磁场不变，导体切割磁感线，用右手定则判断感应电流的方向，用E＝Blv确定感应电动势大小的变化。4.画图象或判断图象，特别注意分析斜率的变化、截距等。5.涉及受力问题，可由安培力公式F＝BIL和牛顿运动定律等规律写出有关函数关系式。[例2]如图3甲所示，矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，若规定顺时针方向为感应电流的正方向，下列各图中正确的是()图3解析0～1s内，磁感应强度B均匀增大，由法拉第电磁感应定律可知，产生的感应电动势E＝eq\f(ΔΦ,Δt)恒定，电流i＝eq\f(E,R)恒定；由楞次定律可知，电流方向为逆时针方向，即负方向，在i－t图象上，是一段平行于t轴的直线，且为负值，可见，选项A、C错误；在1～2s内B、D中电流情况相同，在2～3s内，负向的磁感应强度均匀增大，由法拉第电磁感应定律知，产生的感应电动势E＝eq\f(ΔΦ,Δt)恒定，电流i＝eq\f(E,R)恒定，由楞次定律知，电流方向为顺时针方向，即正方向，在i－t图象上，是一段平行于t轴的直线，且为正值，选项D正确。答案D 本类题目线圈面积不变而磁场发生变化，可根据E＝neq\f(ΔB,Δt)S判断E的大小及变化，由楞次定律判断感应电流的方向，即图象的“＋”、“－”。其中eq\f(ΔB,Δt)为B－t图象斜率，特别注意1～3s内斜率不变，I感的大小、方向都不变。[针对训练2]如图4所示，一底边为L，底边上的高也为L的等腰三角形导体线框以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过长为2L，宽为L的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。t＝0时刻，三角形导体线框的底边刚进入磁场，取沿逆时针方向的感应电流为正，则在三角形导体线框穿过磁场区域的过程中，感应电流i随时间t变化的图线可能是()图4解析根据E＝BLv，I＝eq\f(E,R)＝eq\f(BLv,R)，三角形导体线框进、出磁场时，有效长度L都变小。再根据右手定则，进、出磁场时感应电流方向相反，进磁场时感应电流方向为逆时针方向为正，出磁场时感应电流方向为顺时针方向为负，故选项A正确。答案A1.(电磁感应中的电路问题)用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2m，正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中，如图5所示。当磁场以10T/s的变化率增强时，线框中a、b两点间电势差是()图5A.Uab＝0.1V B.Uab＝－0.1VC.Uab＝0.2V D.Uab＝－0.2V解析题中正方形线框的左半部分磁通量变化而产生感应电动势，从而在线框中有感应电流产生，把左半部分线框看成电源，其电动势为E，内阻为eq\f(r,2)，画出等效电路如图所示，则a、b两点间的电势差即为电源的路端电压，设正方形边长为l，且依题意知eq\f(ΔB,Δt)＝10T/s。由E＝eq\f(ΔΦ,Δt)得E＝eq\f(ΔBS,Δt)＝eq\f(ΔB,Δt)·eq\f(l2,2)＝10×eq\f(0.22,2)V＝0.2V，所以U＝IR＝eq\f(E,\f(r,2)＋\f(r,2))·eq\f(r,2)＝0.1V，由于a点电势低于b点电势，故Uab＝－0.1V，即选项B正确。答案B2.(电磁感应中的电路问题)如图6所示，虚线左边区域内有垂直纸面向里的匀强磁场。粗细均匀的电阻丝围成的正三角形闭合金属框架开始时全部处于匀强磁场中，在外力的作用下把框架匀速拉出磁场，下列说法正确的是()图6A.框架匀速拉出过程中，回路总电动势均匀变大B.框架匀速拉出过程中，回路总电动势不变C.外力F外随位移x的增大而线性增大D.外力功率P随位移x的增大而线性增大解析框架匀速拉出过程中，有效长度l均匀增加，由E＝Blv知，回路总电动势均匀变大，选项A正确，B错误；因为框架做匀速运动，则F外＝F安＝BIl＝eq\f(B2l2v,R)，故外力F外随位移x的增大而非线性增大，选项C错误；外力功率P＝F外v，v恒定不变，故P也随位移x的增大而非线性增大，选项D错误。答案A3.(电磁感应中的图象问题)如图7所示，在x≤0的区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面(纸面)向里。具有一定电阻的矩形线框abcd位于xOy平面内，线框的ab边与y轴重合。令线框从t＝0时刻起由静止开始沿x轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流i(取逆时针方向的电流为正)随时间t的变化图线正确的是()图7解析因为线框做匀加速直线运动，所以感应电动势为E＝Blv＝Blat，因此感应电流大小I＝eq\f(E,R)＝eq\f(Blat,R)与时间成正比，由楞次定律可知电流方向为顺时针方向，故选项D正确。答案D4.(电磁感应中的图象问题)环形线圈放在匀强磁场中，设在第1s内磁场方向垂直于线圈平面向里，如图8甲所示。若磁感应强度随时间t的变化关系如图乙所示。那么在第2s内，线圈中感应电流的大小和方向是()图8A.大小恒定，顺时针方向B.大小恒定，逆时针方向C.大小逐渐增加，顺时针方向D.大小逐渐减小，逆时针方向解析由题意可知，第1s内磁场方向垂直于线圈平面向里，则在第2s内，磁场的方向垂直于纸面向外，磁感应强度均匀减小，所以产生恒定的电流，根据楞次定律，感应电流的方向为逆时针方向，故选项B正确。答案B5.(电磁感应中的图象问题)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图9甲所示，当磁场的磁感应强度B随时间t如图乙所示规律变化时，下列四个图中正确表示线圈中感应电动势E变化的是()图9解析在第1s内，磁感应强度B均匀增大，由楞次定律可判定电流为正，其产生的感应电动势E1＝eq\f(ΔΦ1,Δt1)＝eq\f(ΔB1,Δt1)S，在第2s和第3s内，磁感应强度B不变化，即线圈中无感应电流，在第4s和第5s内，磁感应强度B均匀减小，由楞次定律可判定，其电流为负，产生的感应电动势E2＝eq\f(ΔΦ2,Δt2)＝eq\f(ΔB2,Δt2)S，由于ΔB1＝ΔB2，Δt2＝2Δt1，故E1＝2E2，由此可知，选项A正确。答案A基础过关1.一闭合圆形线圈放在匀强磁场中，线圈的轴线与磁场方向成30°角，磁感应强度随时间均匀变化。在下列方法中能使线圈中感应电流增加一倍的是()A.把线圈匝数增大一倍B.把线圈面积增大一倍C.把线圈半径增大一倍D.把线圈匝数减少到原来的一半解析设感应电流为I，电阻为R，匝数为n，线圈半径为r，线圈面积为S，导线横截面积为S′，电阻率为ρ。由法拉第电磁感应定律知E＝neq\f(ΔΦ,Δt)＝neq\f(ΔBScos30°,Δt)，由闭合电路欧姆定律知I＝eq\f(E,R)，由电阻定律知R＝ρeq\f(n·2πr,S′)，则I＝eq\f(ΔBrS′,2ρΔt)cos30°，其中eq\f(ΔB,Δt)、ρ、S′均为恒量，所以I∝r，故选项C正确。答案C2.如图1所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L和2L的两只闭合线框a和b，以相同的速度从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外，不考虑线框的重力，若闭合线框的电流分别为Ia、Ib，则Ia∶Ib为()图1A.1∶4 B.1∶2C.1∶1 D.不能确定解析产生的感应电动势为E＝Blv，由闭合电路欧姆定律得I＝eq\f(Blv,R)，又Lb＝2La，由电阻定律知Rb＝2Ra，故Ia∶Ib＝1∶1，选项C正确。答案C3.如图2所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面。环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为eq\f(R,2)的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时AB两端的电压大小为()图2A.eq\f(Bav,3) B.eq\f(Bav,6)C.eq\f(2Bav,3) D.Bav解析摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·eq\f(1,2)v＝Bav。由闭合电路欧姆定律有|UAB|＝eq\f(E,\f(R,2)＋\f(R,4))·eq\f(R,4)＝eq\f(1,3)Bav，故选项A正确。答案A4.如图3甲所示，闭合的圆线圈放在匀强磁场(图中未画出)中，t＝0时磁感线垂直线圈平面向里穿过线圈，磁感应强度随时间变化的关系图线如图乙所示，则在0～2s内线圈中感应电流的大小和方向为()图3A.逐渐增大，逆时针B.逐渐减小，顺时针C.大小不变，顺时针D.大小不变，先顺时针后逆时针解析因为B－t图线的斜率不变，所以eq\f(ΔB,Δt)不变，产生的感应电动势恒定，感应电流恒定。根据愣次定律判断电流方向为顺时针方向，选项C正确。答案C5.如图4所示的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一个电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴匀速转动(O轴位于磁场边界)，周期为T，t＝0时刻线框置于如图所示位置，则线框内产生的感应电流的图象为(规定电流顺时针方向为正)()图4解析在本题中由于扇形导线框匀速转动，因此导线框进入磁场的过程中产生的感应电动势是恒定的。注意线框在进入磁场和离开磁场时，有感应电流产生，当完全进入时，由于磁通量不变，故无感应电流产生。由右手定则可判断导线框进入磁场时，电流方向为逆时针，故选项A正确。答案A6.如图5所示，导体棒在金属框架上向右做匀加速运动，在此过程中()图5A.电容器上电荷量越来越多B.电容器上电荷量越来越少C.电容器上电荷量保持不变D.电阻R上电流越来越大解析导体棒匀加速运动，产生电动势E＝Blv＝Bl(v0＋at)，即为电容器两端的电压，由Q＝CU＝CBl(v0＋at)，Δt时间充电电荷量ΔQ＝CΔU＝CBlaΔt随时间越来越多，充电电流I＝eq\f(ΔQ,Δt)＝CBla不变，故选项A正确。答案A7.如图6所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L。现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的外力随时间变化的图象是()图6解析当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，当线圈处在两个磁场中时，两个边切割磁感线，此过程中感应电流的大小是最大的，所以选项A、B错误；由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和离开磁场时，磁场力总是阻碍线圈的运动，方向始终向左，所以外力F始终水平向右。安培力的大小不同，线圈处在两个磁场中时安培力最大，故选项D正确，C错误。答案D能力提升8.(多选)如图7甲，螺线管内有平行于轴线的外加匀强磁场，以图中箭头所示方向为其正方向。螺线管与导线框abcd相连，导线框内有一小金属圆环L，圆环与导线框在同一平面内。当螺线管内的磁感应强度B随时间按图乙所示规律变化时()图7A.在t1～t2时间内，L有收缩趋势B.在t2～t3时间内，L有扩张趋努C.在t2～t3时间内，L内有逆时针方向的感应电流D.在t3～t4时间内，L内有顺时针方向的感应电流解析在t1～t2时间内，外加磁场的磁感应强度增加且斜率在增大，则在导线框中产生顺时针方向大小增加的电流，该电流激发增加的磁场，该磁场通过圆环，在圆环内产生感应电流，根据结论“增缩减扩”可以断定圆环有收缩趋势，选项A正确；在t2～t3时间内，外加磁场均匀变化，在导线框中产生恒定电流，该电流激发出稳定磁场，该磁场通过圆环时，圆环中没有感应电流，选项B、C错误；在t3～t4时间内，外加磁场向下减小，且斜率也减小，在导线框中产生顺时针减小的电流，该电流激发出向内减小的磁场，所以圆环内产生顺时针方向电流，选项D正确。答案AD9.在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一个面积不变的单匝金属线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图8甲所示，取线圈中磁场B的方向向上为正，当磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示，以下四图中正确表示线圈中感应电流变化的是()图8解析在前半个周期内，磁场方向向上且逐渐减小，根据楞次定律可知感应电流的方向为负方向；后半个周期内磁场方向向下且增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为负方向，且后半个周期内磁感应强度的变化率为前半个周期内的两倍，故电流也为前半个周期的两倍，只有选项A正确。答案A10.如图9所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，有半径为r的光滑半圆形导体框架，Oc为一能绕O在框架上滑动的导体棒，Oa之间连一电阻R，导体框架与导体棒的电阻均不计，施加外力使Oc为角速度ω逆时针匀速转动，则()图9A.通过电阻R的电流方向由a经R到OB.导体棒O端电势低于c端的电势C.外力做功的功率为eq\f(B2ω2r4,4R)D.回路中的感应电流大小为eq\f(Bωr2,R)解析由右手定则可知感应电流由c到O，则通过电阻R的电流为由O经R到a，选项A错误；导体棒以角速度ω逆时针匀速转动切割磁感线时可等效为电源，O端为电源正极，c端为电源负极，故导体棒O端的电势高于c端的电势，选项B错误；导体棒切割磁感线产生的感应电动势为E＝Br·eq\f(rω,2)，由此可知感应电流为I＝eq\f(E,R)＝eq\f(Br2ω,2R)，电阻R上的电热功率为P＝I2R＝eq\f(B2r4ω2,4R)，由能量守恒定律可知外力做功的功率也为P，选项C正确，D错误。答案C11.用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框，以相同的速度进入右侧匀强磁场，如图10所示。在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud。下列判断正确的是()图10A.Ua＜Ub＜Uc＜Ud B.Ua＜Ub＜Ud＜UcC.Ua＝Ub＝Uc＝Ud D.Ub＜Ua＜Ud＜Uc解析每个线框进入磁场的过程中，仅有MN边做切割磁感线运动产生感应电动势，其余三条边是外电路，设长度为L的导线电阻为R，边长为L的导线切割磁感线产生感应电动势为E，由于以相同速度进入磁场，故边长为2L的导线切割磁感线产生感应电动势为2E，则Ua＝eq\f(E,4R)·3R＝eq\f(3,4)E；Ub＝eq\f(E,6R)·5R＝eq\f(5,6)E；Uc＝eq\f(2E,8R)·6R＝eq\f(3,2)E；Ud＝eq\f(2E,6R)·4R＝eq\f(4,3)E，Ua＜Ub＜Ud＜Uc，选项B正确。答案B12.把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图11所示，一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求：图11(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN；(2)在圆环和金属棒上消耗的总热功率。解析(1)把切割磁感线的金属棒看成一个具有内阻为R、电动势为E的电源，两个半圆环看成两个并联电阻，画出等效电路如图所示，等效电源电动势为E＝Blv＝2Bav。外电路的总电阻为R外