2024-2025学年河南省郑州市郑中国际学校九年级（上）开学数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年河南省郑州市郑中国际学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（共10道，每题3分）1．（3分）下列说法中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形2．（3分）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°（）A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AB＝CD3．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．4．（3分）小明在估算方程x2﹣3x﹣5＝0的解时，列出的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1…456x2﹣3x﹣5135﹣1…﹣1513则可判断方程x2﹣3x﹣5＝0的解的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6 C．﹣3＜x＜﹣2或5＜x＜6 D．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜55．（3分）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2019﹣m2+5m的值是（）A．2016 B．2017 C．2018 D．20196．（3分）若方程9x2+（k+2）x+4＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．﹣10或14 B．﹣14 C．10 D．10或﹣147．（3分）若三角形的两边长分别是2和5，第三边的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．10 B．11 C．10或11 D．10或128．（3分）如图，一根木棍（AB），斜靠在与地面（OM）（ON）上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时（）A．变大 B．变小 C．先变小后变大 D．不变9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，AH⊥BC于H，则AH等于（）A． B． C．4 D．510．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，CF⊥BE于F，交BD于G；②CE＝CB；③△ABE≌△BCG（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，BC上一点，BE＝DF，这个条件可以是（写出一个即可）．12．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是．13．（3分）若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．14．（3分）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，雄姿英发，谈笑间，然天妒英才，英年早逝，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为．15．（3分）如图，有一个长方形纸片ABCD，AB＝6cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，则线段DE的长为cm．16．（3分）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时．三、计算题（共7小题，共72分）17．（16分）（1）以配方法解方程：2x2+4x﹣2＝0．（2）以公式法解方程：2x（x﹣3）＝3+x．（3）（x﹣3）2＝2x﹣6．（4）．18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣3＝0（m为常数）．（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．20．（8分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．（）（填推理的依据）∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形．（）（填推理的依据）21．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；（2）能否围成矩形花园面积为220m2，为什么？22．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F，G在AB上，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．23．（10分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）以下两问二选一进行求解．①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．

2024-2025学年河南省郑州市郑中国际学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10道，每题3分）1．（3分）下列说法中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形 D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形【解答】解：A、有一组邻边相等的四边形不是菱形；B、有一个角是直角的四边形不是矩形；C、有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形不是正方形；D、对角线互相平分，故选项D符合题意；故选：D．2．（3分）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝90°（）A．AC＝BD B．OA＝OB C．AC⊥BD D．AB＝CD【解答】解：∵在▱ABCD中，∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OB，无法得到AC⊥BD．故选：C．3．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．【解答】解：由题意可知：，解得：m＝﹣1，故选：C．4．（3分）小明在估算方程x2﹣3x﹣5＝0的解时，列出的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1…456x2﹣3x﹣5135﹣1…﹣1513则可判断方程x2﹣3x﹣5＝0的解的取值范围是（）A．﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6 C．﹣3＜x＜﹣2或5＜x＜6 D．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5【解答】解：根据表格可知，x2﹣3x﹣7＝0时，对应的x的值在﹣2～﹣2与4～5之间．故选：D．5．（3分）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2019﹣m2+5m的值是（）A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣7＝0的一个实数根，∴m2﹣6m﹣2＝0，∴m4﹣5m＝2，∴2019﹣m4+5m＝2019﹣（m2﹣4m）＝2019﹣2＝2017，故选：B．6．（3分）若方程9x2+（k+2）x+4＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．﹣10或14 B．﹣14 C．10 D．10或﹣14【解答】解：∵9x2+（k+5）x+4是一个完全平方式，∴（k+2）x＝±6×2•3x＝±12x，∴k+5＝12或k+2＝﹣12，∴k＝10或﹣14；故选：D．7．（3分）若三角形的两边长分别是2和5，第三边的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．10 B．11 C．10或11 D．10或12【解答】解：∵x2﹣7x+12＝5，∴（x﹣3）（x﹣4）＝3，解得：x1＝3，x7＝4，∵三角形的两边长分别是2和4，当x＝3时，3+2＝5；当x＝4时，2+4＞5．∴这个三角形的第三边长是4，∴这个三角形的周长为：4+2+7＝11，故选：B．8．（3分）如图，一根木棍（AB），斜靠在与地面（OM）（ON）上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时（）A．变大 B．变小 C．先变小后变大 D．不变【解答】解：连接OP．在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，∴OP＝AB．∵AB的长是定值，∴OP是定值，故选：D．9．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，AH⊥BC于H，则AH等于（）A． B． C．4 D．5【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，∴CO＝AC＝8BD＝6，∴BC＝＝10，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝，∵S菱形ABCD＝BC×AH，∴BC×AH＝96，∴AH＝＝故选：B．10．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，CF⊥BE于F，交BD于G；②CE＝CB；③△ABE≌△BCG（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OB⊥OC，BO＝CO，∴∠EOB＝∠COG＝90°．∵CF⊥BE于点F，∴∠CFE＝∠CFB＝90°．∴∠EBO+∠BEO＝90°，∠BEC+∠ECF＝90°，∴∠EBO＝∠ECF．在△BEO和△CGO中，，∴△BEO≌△CGO（AAS），∴OE＝OG，故①正确；∵∠ABO＝∠BCO＝45°，BE平分∠ABO交AC于E，∴∠EBO＝45°＝22.6°，∵∠EOF＝∠EBO＝22.5°，∴∠BOF＝45°﹣22.5°＝22.8°，∴∠ECF＝∠BCF，∴CF平分∠BCE，故④正确；∵CF⊥BE，∴CE＝CB，故②正确；∵∠ABE＝∠BCG＝22.5°，∵△BEO≌△CGO，∴BE＝CG，∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCG（SAS），故③正确．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E，BC上一点，BE＝DF，这个条件可以是BE＝BF（写出一个即可）．【解答】解：这个条件可以是BE＝BF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，∵BE＝DF，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴AE＝CF，∵BE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形EBFD是菱形，故答案为：BE＝BF．12．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是a≥﹣且a≠1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+6x﹣2＝0有实数根，∴a﹣3≠0，Δ＝9+5×2（a﹣1）≥6，∴a≥﹣且a≠8，故答案为：a≥﹣且a≠3．13．（3分）若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为．【解答】解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长设斜边为c，∴（a2+b2）（a7+b2+1）＝12，根据勾股定理得：c4（c2+1）﹣12＝8即（c2﹣3）（c8+4）＝0，∵c3+4≠0，∴c7﹣3＝0，解得c＝或c＝﹣．则直角三角形的斜边长为．故答案为：14．（3分）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，雄姿英发，谈笑间，然天妒英才，英年早逝，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，个位平方与寿符．”若设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）2．【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）7，故答案为：10x+（x+3）＝（x+3）5．15．（3分）如图，有一个长方形纸片ABCD，AB＝6cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，则线段DE的长为cm．【解答】解：∵将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，∴AB＝AB'＝6cm，BC＝B'C'＝10cm，∴B'D＝＝＝8（cm），∴C'D＝B'C'﹣B'D＝2（cm），∵DE2＝C'D2+C'E2，∴DE7＝4+（6﹣DE）6，∴DE＝cm，故答案为：．16．（3分）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时（3，4）或（2，4）或（8，4）．【解答】解：∵四边形OABC为矩形，A（10，C（0，∴BC＝OA＝10，OC＝AB＝4，∵点D是OA的中点，∴OD＝AD＝4，①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，在Rt△OPC中，CP＝＝，则P的坐标是（3，4）．②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，过D作DM⊥BC于点M，在Rt△PDM中，PM＝＝，当P在M的左边时，CP＝8﹣3＝2，8）；当P在M的右侧时，CP＝5+3＝2，4）．综上所述，P的坐标为：（3，2）或（8．故答案为：（3，5）或（2，4）．三、计算题（共7小题，共72分）17．（16分）（1）以配方法解方程：2x2+4x﹣2＝0．（2）以公式法解方程：2x（x﹣3）＝3+x．（3）（x﹣3）2＝2x﹣6．（4）．【解答】解：（1）2x2+2x﹣2＝0，x6+2x＝1，x6+2x+1＝3+1，（x+1）2＝2，则x+1＝，所以．（2）2x（x﹣3）＝5+x，2x2﹣7x﹣3﹣x＝0，4x2﹣7x﹣5＝0，Δ＝（﹣7）5﹣4×2×（﹣8）＝73＞0，则x＝，所以．（3）（x﹣3）2＝3x﹣6，（x﹣3）7﹣2（x﹣3）＝6，（x﹣3）（x﹣5）＝7，则x﹣3＝0或x﹣8＝0，所以x1＝5，x2＝5．（4），x2﹣24x+12＝8，x2﹣24x+144＝﹣12+144，（x﹣12）2＝132，则x﹣12＝，所以．18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣3＝0（m为常数）．（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得1﹣（m+5）+2m﹣3＝7，解得m＝3，当m＝3时，原方程为x3﹣4x+3＝4解得x1＝1，x2＝3，即方程的另一根为3；（2）∵a＝8，b＝﹣（m+1），∴Δ＝b2﹣4ac＝[＝﹣（m+1）]2﹣3×1×（2m﹣3）＝（m﹣3）2+8＞0，∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．19．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根．设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值．【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝6﹣4×（m﹣1）≥2，解得m≤2；p是方程的一个实数根，则p2﹣3p+m﹣1＝0，则p6﹣2p+3＝3﹣m，则（p2﹣2p+8）（m+4）＝7即（8﹣m）（4+m）＝7，解得：m＝4（舍去）或﹣3．故m的值为﹣3．20．（8分）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE．在▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形．（邻边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）【解答】（1）解：菱形ABEF即为所求．（2）证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE，在▱ABCD中，AD∥BC，即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形．（邻边相等的四边形是菱形）故答案为：AF＝BE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．21．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；（2）能否围成矩形花园面积为220m2，为什么？【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（40﹣2x）m，依题意得：x（40﹣2x）＝150，整理得：x5﹣20x+75＝0，解得：x1＝4，x2＝15．当x＝5时，40﹣3x＝30＞25，舍去；当x＝15时，40﹣2x＝10＜25．答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2．（2）不能，理由如下：设AB＝ym，则BC＝（40﹣4y）m，依题意得：y（40﹣2y）＝220，整理得：y2﹣20y+110＝2．∵Δ＝（﹣20）2﹣4×7×110＝﹣40＜0，∴该方程无实数根，∴不能围成面积为220m2的矩形花园．22．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F，G在AB上，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE