高中三年级上学期数学《两个计数原理的综合应用（染色问题）》教学课件

6.1.3两个计数原理的综合应用（染色问题）1.能通过染色问题综合运用两个计数原理2.在实际问题中合理运用分类和分步法则，做到不重不漏重点：掌握解决染色问题的基本分析方法，合理运用两个原理难点：如何不重不漏的分析解决染色问题两个计数原理的综合应用：应用两个计数原理应注意的问题(1)分类要做到“__________”，分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“__________”完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．不重不漏步骤完整染色问题例1、用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？解析：按地图A、B、C、D四个区域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A区域，有5种选择；第二步，涂B区域，有4种选择；第三步，涂C区域，由于它与A、B区域不同，有3种选择；第四步，涂D区域，由于它与B、C区域不同，有3种选择.所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方案种数共有5×4×3×3＝180(种)．例2、用红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解析：给各区域标记号A、B、C、D、E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，则只有一种.因此应先分类后分步．第一类，当B、D涂同色时，有4×3×2×1×2＝48种，第二类，当B、D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种，故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．种植问题例1、从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．方法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6种．故不同的种植方法共有6×3＝18种．方法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24种，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种，故共有不同种植方法24－6＝18种．例2、如图，用6种不同的作物把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能种植同一种作物，则不同的种法共有(

)A．400种B．460种C．480种D．496种解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A种相同作物1种，D、A不同作物3种，∴不同种法有6×5×4×(1＋3)＝480种．故选C.例3、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如右图)现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.(以数字作答)(1)②与④同色，则③⑤也同色或③⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×1×(1×1+1×1)=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.

(2)②与⑤同色，则⑥③或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×1×(1×1+1×1)=48种；(3)③⑤且④⑥同色，则共N3=4×3×2×1×1×1=24种

解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看，知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求小结练习1、有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？【错解】

第一步，种植A试验田有4种方法；第二步，种植B试验田有3种方法；第三步，种植C试验田有3种方法；第四步，种植D试验田有2种方法；由分步乘法计数原理知，共有N＝4×3×3×2＝72种种植方法．【错因】

若按A、B、C、D的顺序依次种植作物，会导致D试验田的种植数受B,C试验田的影响，情况复杂．实际上种植D试验田的情况，应对B、C两块试验田的种植情况进行分类讨论，再用分类加法计数原理求解．【正解】方法一：第一步，种植A试验田有4种方法；第二步，种植B试验田有3种方法；第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法．若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种方法．第四步，由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法．方法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法．(2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法.2、由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数是(

)A．11

B．12C．30 D．36解析：个位数字有6种选法，十位数字有5种选法，由分步乘法计数原理知，可组成6×5＝30个无重复数字的两位数．答案：C3、如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为()A．96 B．84C．60 D．48解析：方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法总数为N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84种．方法二：若种4种花有4×3×2×1＝24种；若种3种花，则A和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48种；若种2种花，则A和C相同且B和D相同，有4×3＝12种．共有N＝24＋48＋12＝84种．答案：

B4、如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（

）A．36种 B．24种C．12种 D．9种解析：第一步：涂三棱锥P-ABC的三个侧面，因为要求相邻的面均不同色，所以共有3×2×