高考数总复习 第10篇 第2讲 排列与组合限时训练 理

第2讲排列与组合分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()．A．12种 B．18种C．24种 D．36种解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有Aeq\o\al(3,3)种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有Aeq\o\al(1,2)种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(1,2)·1＝12(种)不同的排列方法．答案A2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()．A．24种 B．60种C．90种 D．120种解析可先排C、D、E三人，共Aeq\o\al(3,5)种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共Aeq\o\al(3,5)＝60(种)．答案B3．如果n是正偶数，则Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－2,n)＋Ceq\o\al(n,n)＝()．A．2n B．2n－1C．2n－2 D．(n－1)2n－1解析(特例法)当n＝2时，代入得Ceq\o\al(0,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝8，排除答案D.故选B.答案B4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()．A．42 B．30C．20 D．12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,6)＝12种排法；若两个节目不相邻，则有Aeq\o\al(2,6)＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或Aeq\o\al(2,7)＝42)．答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·汕头调研)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况．解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．答案636．(·郑州模拟)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数．解析a，b，c中不含0时，有Aeq\o\al(3,7)个；a，b，c中含有0时，有2Aeq\o\al(2,7)个．故共有Aeq\o\al(3,7)＋2Aeq\o\al(2,7)＝294个不同的二次函数．答案294三、解答题(共25分)7．(12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有Ceq\o\al(3,10)＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有Ceq\o\al(5,10)＝252种选法．(3)全部选法有Ceq\o\al(5,12)种，A，B全当选有Ceq\o\al(3,10)种，故A，B不全当选有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(3,10)＝672种选法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(5,7)＝596种选法．(5)分三步进行；第1步，选1男1女分别担任两个职务有Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(1,5)种选法．第2步，选2男1女补足5人有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)种选法．第3步，为这3人安排工作有Aeq\o\al(3,3)方法．由分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＝12600种选法．8．(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有Ceq\o\al(1,5)种方法；第2步，涂B区域有Ceq\o\al(1,4)种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有Ceq\o\al(1,3)种涂法，则D区域有Ceq\o\al(1,3)种涂法．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)·(4＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3))＝260种不同的涂色方法．法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)种涂法；第2类，用五色中三种色，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种涂法；第3类，用五色中四种色，共有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种涂法．由分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝260种不同的涂色方法．分层B级创新能力提升1．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有()．A．576种 B．720种C．864种 D．1152种解析由题意，先排1,3,5,7，有Aeq\o\al(4,4)种排法；再排6，由于6不能和3相邻，故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有Aeq\o\al(2,4)种排法，所以共有Aeq\o\al(4,4)×3×Aeq\o\al(2,4)＝864种排法．答案C2．(·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()．A．232 B．252C．472 D．484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝64种，若2张同色，则有Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,4)＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,4)＝192种，乘余2张同色，则有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,4)＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.答案C3．(·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．解析出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有Aeq\o\al(5,5)种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有Aeq\o\al(2,5)种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有Aeq\o\al(4,5)种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,5)种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有Aeq\o\al(3,5)种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,5)种方法．因此，共有不同的出牌方法Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,5)＝860(种)．答案8604．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法．答案205．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解(1)只需从其他18人中选3人即可，共有Ceq\o\al(3,18)＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有Ceq\o\al(5,18)＝8568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,18)＋Ceq\o\al(3,18)＝6936(种)；(4)法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(1,8)＝14656(种)．法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得Ceq\o\al(5,20)－(Ceq\o\al(5,12)＋Ceq\o\al(5,8))＝14656(种)．6．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4321的逆序数a3＝6.(1)求a4、a5，并写出an的表达式；(2)令bn＝eq\f(an,an＋1)＋eq\f(an＋1,an)，证明：2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….(1)解由已知条件a4＝Ceq\o\al(2,5)＝10，a5＝Ceq\o\al(2,6)＝15，则an＝Ceq\o\al(2,n＋1)＝eq\f(nn＋1,2).(2)证明bn＝eq\f(an,an＋1)＋eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋2)＋eq\