人教版八年级上册数学进阶课堂小测 11.2与三角形有关的角（二阶）（附解析答案）

人教版八年级上册数学进阶课堂小测11.2与三角形有关的角（二阶）一、单选题1．如图，直线a∥b，点C，D分别在直线b，a上，AC⊥BC，CD平分∠ACB，若∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．65° B．70° C．75° D．80°2．一副三角板按如图所示放置，∠C=30°，∠E=45°，则∠EDC的大小为（）A．80° B．75° C．70° D．60°3．下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．三角形的一个外角大于任何一个内角C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．从直线外一点到这条直线上的垂线段的长度，叫做点到直线的距离4．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB的度数是()A．75° B．105° C．115° D．100°5．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝12A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④6．一副三角板按如图所示的位置摆放，若BC∥DE，则∠1的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．80°二、填空题7．一个正方形和一个直角三角形的位置如图摆放．若∠1=132°，则∠2的大小为度．8．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC的度数是．9．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是°.10．如下图，将一个等边三角形剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是．11．一副三角尺，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为.12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则这个等腰三角形的顶角是13．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，连结DE．若∠ABC=36°，∠C=44°，则∠EAD的度数为．14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=72°，则∠E的度数为.三、解答题15．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，FE垂直平分AD，垂足为E，EF交BC的延长线于点F，若∠CAF＝50°，求∠B的度数．16．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．

1．【答案】A【解析】【解答】解：对图形进行点标注：

∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°.

∵CD平分∠ACB，

∴∠DCB=45°.

∵∠1=70°，

∴∠2=∠DEC=180°-∠1-∠DCB=180°-70°-45°=65°.

故答案为：A.

【分析】对图形进行点标注，根据垂直的定义可得∠ACB=90°，由角平分线的概念可得∠DCB=45°，根据对顶角的性质可得∠2=∠DEC，然后结合内角和定理进行计算.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵∠C=30°，∠E=45°，BE⊥AB，AC⊥AB，

∴∠CBA=90°-∠C=60°，∠EAB=90°-∠E=45°，

∴∠BDA=180°-∠CBA-∠EAB=180°-60°-45°=75°，

∴∠EDC=∠BDA=75°.

故答案为：B.

【分析】由余角的性质可得∠CBA、∠EAB的度数，利用内角和定理求出∠BDA的度数，根据对顶角的性质可得∠EDC=∠BDA，据此解答.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，该说法错误，不符合题意；

B、三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，该说法错误，不符合题意；

C、在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法错误，不符合题意；

D、从直线外一点到这条直线上的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该说法正确，符合题意；故答案为：D.【分析】根据对顶角的定义，三角形外角的性质，平行公理，点到直线的距离的定义对每个选项一一判断即可。4．【答案】B【解析】【解答】由图象可知：∠OCA=45°，∠BDC=60°，

∴∠OB=∠OCA+∠BDC=45°+60°=105°，故答案为：B.【分析】利用三角形外角的性质求解即可。5．【答案】C【解析】【解答】解：①∵EG//∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是ΔABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；④无法证明CA平分∠BCG，故错误；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°.∵EG//BC，且∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+1∴∠DFE=360°−135°−90°=135°，∴∠DFB=45°=1∴∠DFB=1∴正确的为：①②③，故答案为：C.【分析】由平行线性质得∠CEG=∠ACB，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB，据此即可判断①；由三角形的内角和定理及角平分线的定义得∠ADC+∠BCD=90°，由平行线的性质得∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，由同角的余角相等得∠ADC=∠GCD，据此判断③；由三角形外角性质、三角形内角性质及角平分线的定义得∠AEB+∠ADC=135°，根据四边形的内角和定理可得∠DFE=135°，由邻补角定义得∠DFB=45°=126．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：∵BC∥DE，∴∠2＝∠B＝45°，∴∠1＝∠2＋∠D＝45°＋30°＝75°，故C正确.故答案为：C.【分析】由平行线的性质可得∠2＝∠B＝45°，根据外角的性质可得∠1＝∠2＋∠D，据此计算.7．【答案】48【解析】【解答】如图：由三角形外角的性质可得：∠3=∠1-∠4=132°-90°=42°，

∴∠2=90°-∠3=90°-42°=48°，

故答案为：48°，

【分析】利用三角形外角的性质及角的运算求解即可。8．【答案】30°【解析】【解答】解：如图所示，∵BE是∠ABC的平分线，CE是∠ACM的平分线，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∵∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，∴∠A+∠1+∠2=∠4+∠5，∠2+∠E=∠5，∴∠A+2∠2=2∠5，∠E=∠5−∠2，∴∠A=2(∠2−∠5)∴∠E=30°，∴∠BEC的度数是30°．【分析】根据角平分线的定义先求出∠1=∠2，∠4=∠5，再求出∠A+2∠2=2∠5，∠E=∠5−∠2，最后计算求解即可。9．【答案】36【解析】【解答】解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，∴可设这一内角为x，则它的外角为4x，∴有x+4x＝180°，则x＝36°，4x＝144°.又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，∴这个与它不相邻的内角为144°÷2＝72°，∴第三个内角的度数为180°－72°－36°＝72°，∴这个三角形各角的度数分别是36°，72°，72°，∴此三角形最小内角的度数是36°.故答案为：36.【分析】可设这一内角为x，则它的外角为4x，根据三角形的一个外角与其相邻的内角互补建立方程可求出x的值，从而求出与之相邻的外角的度数，进而根据“这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍”求出三角形另一个内角的度数，进而根据三角形的内角和定理算出第三个内角的度数，即可解决此题.10．【答案】240°【解析】【解答】解：∵这是一个等边三角形，∴两底角和=60°+60°=120°，∴α+β=360°−120°=240°．故答案为：240°．【分析】根据题意先求出两底角和=60°+60°=120°，再求解即可。11．【答案】15°【解析】【解答】解：如图，

由题意可知∠C=45°，∠B=60°，∠ADB=∠BAE=90°，

∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，

∴∠DAE=90°-30°=60°，

∵∠DAE=∠C+α，

∴α=60°-45°=15°.

故答案为：15°

【分析】利用直角三角形的两锐角互余可得到∠BAD的度数，由此可求出∠DAE的度数；再利用三角形的外角的性质可求出α的度数.12．【答案】132°或48°【解析】【解答】解：当△ABC为锐角三角形时

∵BD是高，

∴∠BDA=90°，

∵∠ABD=42°，

∴∠A=90°-∠ABD=90°-42°=48°；

当△ABC是钝角三角形时

∠ACD=42°，

∴∠DAC=90°-∠ACD=90°-42°=48°，

∴∠BAC=180°-∠DAC=180°-48°=132°.

∴这个等腰三角形的顶角为132°或48°.

故答案为：132°或48°

【分析】分情况讨论：当△ABC为锐角三角形时，利用三角形高的定义可得到∠BDA=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠A的度数；当△ABC是钝角三角形时，利用三角形的内角和定理求出∠DAC的度数，根据∠BAC=180°-∠DAC，可求出∠BAC的度数，即可求解.13．【答案】28°【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ABC=36°，∠C=44°，∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−36°−44°=100°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=1∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°−∠ABD=90°−18°=72°，∴∠EAD=∠BAC−∠BAF=100°−72°=28°．故答案为：28°．

【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=12∠ABC=1214．【答案】34°【解析】【解答】解：∵∠B=40°，∠ACE=72°，∴∠BAC=∠ACE−∠B=32°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+16°=56°，在Rt△DFE中，∠E=90°−∠ADC=34°，故答案为：34°.【分析】根据三角形外角性质可得∠BAC=∠ACE-∠B=32°，根据角平分线的定义得∠BAD=16°，再根据三角形外角的性质可得∠ADC的度数，进而根据直角三角形的两锐角互余即可得出答案.15．【答案】解：∵FE垂直平分AD∴FA=FD∴∠FAD=∠FDA∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD在△ABD中，∠B+∠BAD+∠BDA=180°∠BDA+∠FDA=180°∴∠B+∠BAD=∠FDA∴∠B+∠BAD=∠FAD∴∠B+∠BAD=∠CAF+∠CAD∴∠B=∠CAF∵∠CAF=50°∴∠B=50°【解析】【分析】利用角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再利用三角的内角和及角的运算求出∠B=∠CAF，再结合∠CAF=50°，即可得到∠B=50°。16．【答案】解：【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵AE是角平分线，∴∠CAF＝∠DAF，∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，

∠CEF＝∠DAF+∠B，∴∠CEF＝∠CFE；【变式思考】∠CEF＝∠CFE证明：∵AF为∠BAG的角平分线，∴∠GAF＝∠DAF，∵CD为AB边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠ACE＝90°，又∵∠CAE＝∠GAF，∴∠CEF＝∠CFE；【探究延伸】∠M+∠CFE＝90°，证明：∵C、A、G三点共线AE、AN为角平分线，∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠M+∠CEF＝90°，∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M+∠CFE＝90°．【解析】【分析】【习题回顾】根据同角的余角相等得∠B＝∠ACD，根据角平分线的定义得∠CAF＝∠DAF，根据三角形外角性质得∠CFE＝∠CAF+∠ACD