高考数总复习 第8篇 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系限时训练 理

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ()． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点． 答案A2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()． A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、异面或相交 解析经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D. 答案D3．以下四个命题中，正确命题的个数是 ()． ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 解析①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上． 答案B4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是 A．A1、M、O三点共线 B．M、O、A1、A四点共面 C．A、O、C、M四点共面 D．B、B1、O、M四点共面 解析因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，点O在直线A1C上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M 答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是： ①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)． 解析只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能． 答案①②④6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误． 答案③④三、解答题(共25分)7．(12分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉eq\f(1,2)AD，BE綉eq\f(1,2)FA，G、H分别为FA、FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉eq\f(1,2)AD. 又BC綉eq\f(1,2)AD，∴GH綉BC， ∴四边形BCHG为平行四边形． (2)解由BE綉eq\f(1,2)AF，G为FA中点知，BE綉FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．8．(13分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， (1)求A1C1与B1 (2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF 解(1)如图，连接AC、AB1， 由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AA1 所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与 由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA即A1C1与B1 (2)如图，连接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四边形，∴AC∥A1C1 ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF ∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角为90°.分层B级创新能力提升1．(·吉林一模)一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()． A．AB∥CD B．AB与CD相交 C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60° 解析如图，把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(b)所示的直观图，可见选项A、B、C不正确．∴正确选项为D.图(b)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°. 答案D2.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()． A．45° B．60° C．90° D．120° 解析如图，连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝eq\f(\r(2),2)a，故两直线所成的角即为∠HGB＝60°. 答案B3.如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH是正方形． 解析易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD. 答案AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD 解析法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示． 法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交． 答案无数5．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线． 证明∵M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在面PQR与面BCD的交线l上． 同理可证：N、K也在l上． ∴M、N、K三点共线．6．在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°. (1)求四棱锥的体积； (2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值． 解(1)在四棱锥PABCD中，∵PO⊥面ABCD，∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，在Rt△POB中，∵BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形的面积S菱形ABCD＝2eq\r(3).∴四棱锥PABCD的体积VPABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.(2)取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA，∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝eq\r(3)＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，∴co