2024年湖北省新中考数学二模试题（省统考）（解析）

2024年湖北省新中考数学二模试题（省统考）（解析）

本试卷满分120分，考试时间120分钟.

一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求）

1.-0是血的（）

A.相反数B.平方根C.绝对值D.算术平方根

【答案】A

【分析】和为0的两数为相反数，由此即可求解.

【详解】解：•••-&+亚=0,

也是血的相反数，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了相反数的概念：两个相反数它们符号相反，绝对值相同.

2.在下列四项竞技运动的图案中，是中心对称图形的是（）

b

'必cd

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了中心对称图形的识别.熟练掌握如果把一个图形绕某一点旋转180。后

能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键.

根据中心对称图形的定义进行判断即可.

【详解】解：A中不是中心对称图形，故不符合要求；

B中是中心对称图形，故符合要求；

C中不是中心对称图形，故不符合要求；

D中不是中心对称图形，故不符合要求；

故选：B.

3.计算（-3aSb/的结果是（）

A.9a5b2B.9a6b2C.6a9b2D.-9a6b2

【答案】B

【分析】本题考查了整式累的运算，根据积的乘方，幕的乘方运算法则计算即可.

【详解】解：（一3°3域=（_3）2..）2万=9点2,

故选：B.

4.如图所示的手提水果篮，其俯视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有

的看到的棱都应表现在俯视图中.

【详解】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段.

故选：A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于会观察各部分在哪个方向能被看到.

5.在正五边形A8CDE中，连接对角线AC、AD,CE,其中AD、CE相交于点尸，连接8尸，

交AC于点G,则下列说法不正确的是（）

222

A.AC=AE+EFB.AD+BF=4DEC.S^CDE=2SAAFGD.ZABF=ZAFE

【答案】D

【分析】本题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，首先由正五边形的性质可得

AB=BC=CD=DE=AE,BA//CE,AD//BC,AC//DE,AC=AD=CE,根据有一组邻

边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABC尸为菱形，得EF=D尸,即

AC=AD^AE+EF,由菱形的性质和勾股定理得出AG?+BG?=48?,即可得到

AD2+BF2=AC2+BF2=(2AG)2+(2BG)2=4AB2=4DE2,可证明口COE^DABC^DAFC,

即可得出S^CDE=^AABC=$AACF=2s“FG，由正五边形内角和得到

54001

NABC=ZAFC=-y-=108°,结合菱形的性质得到/ABF=-ZABC=54°,

ZAFE=180°-ZAFC=72°.

【详解】解：••・ABCDE是正五边形，

AB=BC=CD=DE=AE,BA//CE,AD//BC,AC//DE,AC=AD=CE,

四边形ABC尸为菱形，

EF=DF,

AC=AD=AF+DF=AE+EF,故A选项正确；

AG-+BG2=AB-,

AD2+BF2=AC2+BF2=(2AG)2+(2BG)2=4AB2=4DE2,故B选项正确；

;AB=BC=CD=DE=CF=AF,AC=CE,

：nCDE^UABC^UAFC,

'''S^CDE=S"BC=5AAeF=2sAAFG>故C选项正确；

540°

•••ZABC=NAFC=不一=108°,

ZABF=-ZABC=54°,ZAFE=180°-NAFC=72°,

2

NABF卡ZAFE,故D选项不正确，

故选：D.

6.已知/+2(〃?+1)旧+16y,可以写成一个多项式的平方，则"?的值为()

A.-5B.±4C.一5或3D.3

【答案】C

【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式即可求出答案.

【详解】解：：(x土4y)2=d±8盯+16;/,

2m+2=+8,

加=一5或3,

故选：c.

7.在平面直角坐标系中，已知（2a+b『+j3"b+5=0,则点（。⑼位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】本题考查非负数的性质，解二元一次方程组，平面直角坐标系，根据

2a+b=Q,3a-b+5=0,建立二元一次方程组，求解出的值，再根据各象限点坐标的特

点，即可得出结果.

【详解】解：2a+b=0,3a-b+5=0,

+。=0

•[3〃-"5=0'

a——1

解得:

b=2

.,.（-L2）位于第二象限,

故选：B.

8.某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小

康通过改变动力臂L,测量出相应的动力/数据如表.请根据表中数据规律探求，当动力

臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（）

动力臂L/m动力F/N

0.5600

1.0302

1.5200

2.0a

2.5120

A.302NB.300NC.150ND.120N

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的应用，由表格可知动力臂与动力成反比的关系，设L=£,

将（0.5,600）代入L=—得出L=——，再令L=2,计算即可得解，解题的关键是从表格

FF

中得出动力臂与动力成反比的关系.

【详解】解：由表格可知动力臂与动力成反比的关系，

A『K

设L二—，

F

将（0.5,600）代入L=£得：600=念，

解得：K=300,

「300

L-----,

F

把L=2代入得：2=----，

F

解得：F=150,

故选：C.

9.如图，在等边三角形ABC中，ADLBC,在AB,上分别取点四N,且

AM=BN=8,DN=4,在上有一动点P,则PM+PN的最小值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识•作点"关于的对

称点N',连接MN,交AO于R连接PN',PN,此时PM+PN的值最小，最小值MN',

求出结果即可.

【详解】解：如图，•••043。是等边三角形，

BA=BC=CA,ZB=ZC=ABAC=60°,

为/84C的平分线,

ADIBC,BD=CD,

作点及关于A。的对称点N',连接MN'交AD于P,连接尸N',

根据轴对称可知：PN=PN',

：.PM+PN=PM+PN',

•••两点之间线段最短，

此时PM+PN'最小，即PM+PN最小,

即PM+PN的最小值为MN',

AM=BN=8,DN=4,

：.BD=BN+DN=12,DN'=DN=4,

：.AB=BC=2BD=24,BN'=BD+DN'=12+4=16,

：.BM=AB-AM=24-S=16,

BM=BN',

ZB=60°,

.•.□BN'M是等边三角形，

：.MN'=BM=16.

故选：C.

10.如图，AB是口。的直径，OC为半径，过A点作AD〃OC交口O于点。，连接AC,BC,

CD,连接8。交OC于点E,交AC于点尸，若图中阴影部分分别用鸟和S?表示，则下列

结论：©ZCAD+ZOBC=90°；②若尸为AC中点，则CE=2OE；③作Z）P〃BC交AB于

点P,则叱2=08.即；④若工⑸二?，则/ACO=30。；其中正确的个数为（）

2

B

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定，相似三角形的判定与

性质的概念是解题的关键.①首先利用平行线的性质得到NCAO=NACO,然后利用等腰三

角形的性质得到/ACO=/CA。，ZOBC=ZOCB,接着利用三角形的内角和定理即可解决

问题；②利用中位线的性质即可求解；③利用已知条件证明口ACD空APC(SAS),然后利用全

等三角形的性质和已知条件证明口。8。俎C8P即可求解；④连接。。，利用等积变化得到

H=SaKoAD,再利用已知条件证明ZAOD=ZCAO=ZDAC=ZACO,由此即可求解.

【详解】解：①•••AD〃CO,

AZCAD=ZACO,

■：OA=OC,

ZACO=ZCAO,

ZBOC=2ZACO=2ZCAD,

：OC=OB,

ZOBC=ZOCB,

ZCOB+ZOBC+ZBCO=180°,

/.2ZCAD+2ZOBC=180°,

:.ZCAD+ZOBC=90°,

故①正确；

②A0〃OC,尸为AC中点，OA=OBf

:.CE=AD,OE=-AD,

2

：.CE=2OE,

故②正确；

③:A5为圆。直径，

/.AClBCf

DP//BC,

:.DP.LAC,

由①知，ACAD=ZCAB,

ZAPD=ZADP,

/.AD=AP,

AC=AC

在口4。。和△APC中，＜ZCAD=ZCAB,

AD=AP

AC。刍:APC(SAS),

ZADC=ZAPC,

,二四边形ABC。为圆内接四边形，

.*.ZADC+ZABC=180°,

vZAPC+ZCPB=180°,

ZABC=ZCPB=ZOCB,

:DOBC^OCBP,

,BC_PB

一~OB~^C9

BC2=OBBP,

故③正确；

④连接。。，

•・•OCUAD,

…S1=S扇形0Ao,

:.ZAOD=-ZBOC,

2

ZAOD=ZCAO=ZDAC=ZACO,

■：OA=OD,

5ZACO=180°,

.-.ZACO=36°,

故④错误；

综上所述，正确的是①②③，共三个.故选：B.

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.“燕雪花大轩台”是诗仙李白眼里的雪花，单个雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左

右，0.00003用科学记数法可表示为.

【答案】3x10.5

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl(T",其中1<H<10,n

为由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定.用科学记数法表示数，一定要

注意a的形式，以及指数〃的确定方法，根据科学记数法的表示形式直接求解即可.

【详解】解：0.00003=3x10-5,

故答案为：3x10-5.

12.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,m)在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在

直线y=-x+1上，则m的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B(2,-m),然后再把B点坐标代入y=-

x+1可得m的值.

【详解】点A关于x轴的对称点B的坐标为：(2,-m),

将点B的坐标代入直线y=-x+1

得：-m—-2+1,

解得：m=l,

故答案为1.

【点睛】此题主要考查了关于X轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键

是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等.

13.计算：-—白

a-1a-1

【答案】-1

【分析】此题考查了分式的加减法，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.根据同分

母分式加减法则进行计算即可.

【详解】解：-白=F=T

a—\a—\a—1

故答案为：T.

14.如图,在矩形ABCD中，E是的中点，连接BE，将口ABE沿着BE翻折得到口尸AE，

E尸交于点延长，OC相交于点G,若DG=8,5C=12,则=

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质以及折叠的性质，勾股定理、三角形全等的判定与性质，连

接EG,由折叠的性质可得：AE=EF,ZA=NBFE,NAEB=NBEH,得出

DE=AE=EF,证明RtDEEG&Rt!EZ）G（HL）,得出RG=DG=8,设DC=x,则

CG=8-x,BG=x+8,由勾股定理得出（x+8『=122+（8—求出

9

DC=AB=BF=-,设EH=m,则HB=HE=AE—m=6—m,再利用勾股定理计

2

算即可得出答案.

【详解】解：如图，连接EG,

♦:E是AZ）的中点，

DE=AEi

由折叠的性质可得：AE=EF,ZA=ZBFE,NAEB=NBEH,

DE=AE=EF,

•••四边形ABC。是矩形，

ZD=ZA=ZBFE=9Q°,AD〃BC,

EG=EG,

RtOEEG&ROEZ）G（HL）,

.-.FG=DG=8,

设DC=x,则CG=8—x,BG=x+8,

在RU5CG中，BG2=CG2+BC2-即（x+87=12?+（8—J,

9

解得：x=一,

2

9

DC=AB=BF=—,

2

ADDBC,

ZAEB=ZEBH,

ZEBH=NBEH,

HB=HE,

设FH=m,则HB=HE=AE—m=6—m,

在RtzXB厂"中，HB?=BF?+HF?，

*t-（6-m）

解得：m=~~

16

FEH——21,

16

故答案为：—.

16

[ax+by=6[x=2[x=-2

15.解方程组/。时，小强正确解得而小刚只看错了。，解得/,那

[cx-4y=-2[)=21)=4

么当％=-1时，ax2+bx+c的值为.

【答案】2

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解和二元一次方程的解，先

[x=2_[x=—2

把"弋入原方程组得到2〃+28=6①，2c-8=-2,则c=3；再把/代入方程

[y=254

\a=\

以十“=6得到-2〃+4匕=6②，据此求出I再代值计算即可得到答案.

\b=2

[x=2\ax+by=6

【详解】解：由题意得。是方程组/0的解，

[y=2[cx-4y=-2

2a+2b=6(1),2c-8=-2,

/.c=3；

(x=-2

•••小刚只看错了c,解得“，

[y=4

[=-2

x,是方程办+by=6的解，

[y=4

-2。+4b=6②，

ftz=1

联立①②得

[b=2

当尤=-1时，"2+bx+c的值为l*(-l『+2x(-l)+3=2,

故答案为：2.

三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.计算：提一2sin45°+(2—〃)°—[；].

【答案】V2-2-

【解析】

【分析】直接利用零指数幕的性质以及负指数幕的性质和算术平方根的性质分别化简得出答

案.

【详解】解：布—2sin45°+（2—乃）°—I

=2V2-2x—+1-3

2

=72-2.

【点睛】本题主要考查了实数运算和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键.

17.（6分）如图，在DABC中，NB4c的平分线交8c于点〃，DE〃AB,DF//AC.

（1）试判断四边形AEDE的形状，并说明理由；

（2）若/&1C=90。，且AO=22,求四边形AFDE的面积.

【答案】（1）答案见解析

（2）242

【分析】

本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关

键是掌握特殊四边形的判定方法.

【详解】（1）解：（1）四边形是菱形，理由是

；DE〃AB,DF//AC,

..•四边形AFDE是平行四边形

AO平分/54C

ZFAD=ZEAD

-：DE//AB,

NEDA=ZFAD,

ZEDA=ZEAD,

AE=DE

,平行四边形AEDE是菱形.

(2)-.-BAC=90°

二四边形AFDE是正方形

AD=22,

AF=—AD=—x22=11V2

22

，四边形AFDE的面积为：1172x1172=121x2=242.

18.《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“以绳测井，若

将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子

测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺,

问绳长、井深各是多少尺？”请问此问题中的绳长、井深各是多少尺?

【答案】井深为8尺，绳长36尺

【解析】

【分析】分析题意，不变的量是井深，根据等量关系：将绳三折测之，绳多4尺；绳四折测

之，绳多1尺，设绳长为x尺，井深为V尺，列出方程组求解.

【详解】解：设绳长为了尺，井深为了尺，依题意得:

x=3(y+4)x=36

y=8

答：井深为8尺，绳长36尺.

【点睛】考查了二元一次方程组的应用，此题不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关

键.

19.（7分）为了普及科学知识，传播科学思想，弘扬科学精神，某校举行了青少年科普知

识竞赛.随机抽取机名学生的竞赛成绩,把成绩分成四个等级（4604x<70；B：70<x<80；

C：80Vx<90；D：90<x<100）,并绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图.

7<1

请根据以上信息，解答下列问题:

（1）填空：m=_,n=_.

（2）补全频数分布直方图，所抽取学生的成绩的中位数落在一等级；

（3）若成绩达到C和。等级将获得“科普达人”称号，请你估计该校参加竞赛的2000名学生

中获得“科普达人”称号的学生人数.

【答案】（1）150,40；（2）补全频数分布直方图见解析，C；

（3）该校参加竞赛的2000名学生中获得“科普达人”称号的学生人数由1160人.

【分析】（1）频数分布直方图中B等级的人数是45人，所占百分比是30%,由此可求出抽

取的总人数相；根据总体人数可求出C等级人数占的百分比力％,

（2）由（1）得到C等级人数，即可补全频数分布直方图，根据中位数的定义，即可求出

中位数落在哪一组；

（3）根据样本所占百分比估算总体的方法即可求解；

本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图、扇形统计图中的相关信息，掌

握运用样本百分比估算总体数量，求中位数分方法是解题的关键.

【详解】（1）解：频数分布直方图中B等级的人数是45人，所占百分比是30%,

由此可求出抽取的总人数加=45+30%=150（人），

则C等级人数为：150-18-45-27=60（人）,

n%=—xl00%=40%,

150

故答案为：150,40；

（2）由（1）得：C等级人数为60人，补全频数分布直方图如图,

普知识尧京成州须数R斤图

由题意得：A等级共18人，8等级共45人，C等级共60人，。等级共27人，共150人,

所抽取学生的成绩的中位数为第75和76名的平均数,

故中位数落在C等级,

故答案为：C；

(3)该校参加竞赛的2000名学生中获得“科普达人”称号的学生人数为:

2000x(40%+18%)-2000x58%=1160(人)，

答：该校参加竞赛的2000名学生中获得“科普达人”称号的学生人数由1160人.

20.某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度

AB=200cm,遮阳棚前端自然下垂边的长度BC=25cm,遮阳棚固定点力距离地面高度

AD=296.8cm,遮阳棚与墙面的夹角ABAD=72°.

A

图1

(1)如图2,求遮阳棚前端6到墙面AD的距离;

(2)如图3,某一时刻，太阳光线与地面夹角NC/G=60°,求遮阳棚在地面上的遮挡宽

度。户的长(结果精确到1cm).(参考数据:

sin72°«0.951,cos72°»0.309,tan72°。3.078,6。1.732)

【答案】(1)遮阳棚前端6到墙面的距离约为190.2cm

(2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度。户的长约为69cm

【解析】

R/7

【分析】(1)作8石，4。于£,在Rt^ABE中，根据sin/B4E=——列式计算即可;

AB

(2)作于£,CHLAD于从延长交OG于4,则BK，DG,可得四边

形BEHC,四边形HDKC是矩形，解直角三角形Rt/XABE求出AE,可得

CK=DH=210cm,然后RtZXCFK中，解直角三角形求出RK,进而可得。尸的长.

【小问1详解】

解：如图3,作BELAD于瓦

BEBF

在RtZXABE中，sinZBAE=——，即sin72°=——

AB200

BE=sin72°x200工0.951x200=190.2cm,

答：遮阳棚前端方到墙面的距离约为190.2cm；

【小问2详解】

解：如图3,作3E_LA。于旦CHLAD于H,延长交OG于4,则BKLDG,

图3

...四边形BEHC,四边形HDKC是矩形,

由(1)得BE=190.2cm,

DK=HC=BE=190.2cm,

AEAE

在RtZXABE中，cosZBAE=——即cos72°=——

AB200

AE=cos72°x200«0.309x200=61.8cm,

由题意得：EH=BC=25cm,

AD7/=AD-AE-EH=296.8-61.8-25=210cm,

CK=DH=210cm,

在Rt^CTK中，tan/C/K=—,即tan600=——,

FKFK

・•・公旦210

«121.25cm,

tan60°

DF=DK-FK=190.2-121.25a69cm,

答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DR的长约为69cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出

直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

k|，4L8（3,间两点,

21.（8分）如图，反比例函数y=（（尤＞0）的图象与直线交于A

已知NACO=90。，D(0,l),连接ADBD,BC.

(1)求直线AB与双曲线的解析式；

3

(2)043。和△A3。的面积分别为耳，S2,求万比―邑的值.

【答案】(1)直线A3解析式为y=-?x+6,双曲线的解析式为y=?；

3x

【分析】(1)先将点A(|,4］代入反比例函数解析式中求出左的值，进而得到点B的坐标，

再利用待定系数法即可求出直线A8的表达式；

(2)利用三角形的面积公式以及割补法分别求出力邑的值，即可求出;年-%的值；

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，利用待定系数法求出函数

解析式是解题的关键.

【详解】(1)解：把a］：，"代入反比例函数解析式>=:得，4=J,

:•k=6,

双曲线的解析式为y=9,

X

把3(3,〃。代入y=B得，%=g=2,

.•.3(3,2),

设直线AB的解析式为>=依+6，把A［14［、8(3,2)代入得，

\3,

4=—n+b

<2,

2=3〃+》

4

,n——

解得3,

b=6

4

二直线AB解析式为＞=4+6；

(2)解：由小之"可得，AC=4,点B到AC的距离为3-1=工

(2J22

13

S.=-x4x-=3,

122

设直线AB与y轴的交点为E,则打0,6),

S2=SDBDE~SDADE=]乂5X3-/X5X5=1，

33153

—R-S,=-x3--=-.

212244

22.综合与实践.

【问题发现】

(1)如图1,在正方形ABC。中，E为对角线AC上的动点，过点3作BE的垂线，过点C

作AC的垂线，两条垂线交于点歹，连接E尸，求证：BE=BF.

【类比探究】

(2)如图2,在矩形ABC。中，E为对角线4C上的动点，过点8作BE的垂线，过点C

CF

作AC的垂线，两条垂线交于点/，且NACB=60。，连接E尸，求——的值.

AE

【拓展延伸】

(3)如图3,在(2)的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段E尸

的中点连接BM,CM.若AB=2^，则当是直角三角形时，请求出CT的

长.

【答案】(1)见解析；(2)算=4；(3)CR的长为百—1或6+1

AE3

【解析】

【分析】⑴证明口ABE^JCBF(ASA),可得BE=BF

(2)通过证明△ABEs^CBF,可得空=生=且；

AEAB3

(3)求出E/=2CM=2后，设CT=x，则AE=6X，分两种情况解答，由勾股定理

可求出答案.

【详解】(1)证明：・四边形A6CD是正方形，

ABAC=ZBCA=45°,ZABC=90°,AB=BC,

•;BE工BF,CF1AC,

:.NEBF=NECF=90°=ZABC,

ZABE=NCBF,4BCF=45°=ABAC,

AAB£^ACBF(ASA),

BE=BF；

(2)解：:BE，BE,CF1AC,

:.NEBF=NECF=90。,

二点C，点E,点B,点/四点共圆，

NACB=ZEFB=60°,

ZBAE=ZBEF=30°,

:.AB=6BC，BE=MBF，

二空二空地

BCBF

■：NEBF=ZABC,

ZABE=ZCBF,

.△ABESACBF,

,CF_BC43

"ABV；

(3)解：由(2)知：—=—=

AEAB3

•••AB=26，

CB=2,

-.■BABE^OCBF,

ZABE=ZCBF,

NEBF=NEBC+ZCBF=NEBC+ZABE=ZABC=90°,

•:M为EF的中点，

BM=-EF,

2

由(2)知NACE=90°,

CM=-EF,

2

BM=CM,

又♦.•□CBM是直角三角形，

CM=—BC=42，

2

EF=2CM=2V2，

设CF=x,则AE=，

•/ZCAB=30°,BC=2,

AC=2BC=4,

CE=AC-AE=4-^x，

■：ZECF=90°,

CE~+CF-=EF~，

x2+(4-V3x)2=8,

.•.%=6—1或x=G+l(不合题意，舍去)，

当NMBC=90°或NMCB=90°时，点M不存在，

当E在AC延长线上时，设CP=x,贝iJAE=gx，

•/ZCAB=30°,BC=2,

AC=2BC=4,

，CE=AE-AC=6尤-4，

•••NECF=90°,

CE~+CF2=EF~，

X2+（V3X-4）2=8,

.,.x=6—1（不合题意，舍去）或x=6+l，

综上所述，CE的长为g-1或6+L

【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性

质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形

的判定与性质是解题的关键.

23.如图1,在口ABC中,AC=BC,将线段绕点。逆时针旋转90°,得到线段8,

连接A。，BD.

（1）求NA4D的度数;

（2）如图2,若/ACD的平分线“交于点色交的延长线于点£,连结DE.

①证明：ABCDs"ED；

②证明：y/2CE=DE+BE-

【答案】（1）45°

(2)①见解析；②见解析

【解析】

aoc

【分析】(1)由等腰三角形的性质及旋转的性质得NA4C=90。—上，ZCAD=45°

22

即可得NR4D的度数；

(2)①由题意可得/。8。=/氏4。=45°,由等腰三角形的性质可得NACE=NDCE,

CELAD,进而可得NAEC=45。，可证△ACE丝△DCE(SAS),易得

NDEC=NAEC=45。,可得NAED=ZBCD=90°,可证结论；

②延长ED至G,使得DG=BC,先证NCBE=NCDG,进而可证

△C3E之△CDG(SAS),可得ZBEC=NG=45。，口CEG是等腰直角三角形，可得结

论.

【小问1详解】

解：设AACB=a,

AC=BC,

180°—NACB180°-tz_a

ABAC=ZABC=--------------=9(J-------

222

由旋转可知，NBCD=90。,AC=BC=DC,

：.ZACD=9Q0+a

]80。/。04

ZCAD=ZCDA==45芍

2

ZBAD=ABAC-NCAD=45°；

【小问2详解】

①证明：•••AC=BC=OC,/BCD=90°,

：.ZCBD=ZBAD=45°,

又：CE平分/AC£),

ZACE=ZDCE,CELAD,则/ARE=90。

NAEC=45°,

又：CE=CE,

：.AACE^ADCE(SAS),

/DEC=ZAEC=45°,

：.ZAED=ZBCD=90°,

：.UBCD^UAED；

②证明：延长ED至G,使得DG=BE,

：AC=BC=DC,

：.ABAC=/ABC,

由①知口4匿空口。。£：,

ZEAC=ZEDC,

Z./ABC=ZEDC,

：.NCBE=ZCDG,

ACBE^ACDG(SAS),

ZBEC=NG=45°,

•••□CEG是等腰直角三角形，

EG=OCE=DE+DG=DE+BE,

即：血CE=DE+BE.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等

腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.

24.如图1,抛物线丁=。必+法+。的顶点坐标为A(l,2),与无轴交于点3(-1,0),C两

点，与>轴交于点。，点尸是抛物线上的动点.

(2)连接A3、AC,判断口ABC的形状并说明理由.

(3)连接CD,若点户在第一象限，过点户作尸ELCD于£,求线段PE长度的最大值；

(4)已知NAC3+NPC3=a,是否存在点R使得tana=2?若存在，求出点尸的横

坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=--(x-l)-+2

(2)048。为等腰直角三角形；理由见解析

20

(4)尸的横坐标为■或-g

【解析】

【分析】(1)利用抛物线顶点坐标已知，将抛物线设为顶点式，代入8点，求得抛物线解

析式；

(2)先求出点C(3,0),然后求出=J(-L—1『+后=2血，

22然后根据勾股定理的逆定理进行判断即

AC=A/(3-1)+2=2^2,BC=3-(-l)=4,

可；

(3)先由抛物线的解析式，求出抛物线与坐标轴的三个交点£>、B、C,则直角△D0C的

各个内角三角函数值和边长均可求，且直线8的解析式可求，因为尸E，C£>,可以过尸作

轴与歹，交CD于H,则可以证得△PE"sac。。，利用相等的角的三角函数

值相等这个结论，得到PE与PH的数量关系，设出尸点坐标，可以得到H点坐标，表示

出PH的长度，继而求得PE的长度，得到一个二次函数，根据P的横坐标范围，讨论这个

二次函数最值问题，在顶点处取得最值，即可解决.

(4)根据题意，可以画图，得到PC可以在无轴上方和x轴下方两种情况，先看PC在％轴

下方，利用A、B、C三点坐标，可以证得ABAC=90°，延长AB交CP于K点，则口AKC

是一个直角三角形，构造一线三直角模型，可以求得CK的解析式，从而联立CK与抛物线

解析式，求出交点P的横坐标，当尸在无轴上方时，可以先求出K关于无轴对称点K'的坐

标，先求出直线CK'的解析式，再联立直线CK'与抛物线解析式，求出交点尸的横坐标.

【小问1详解】

解：•.•抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为4(1,2),

二设抛物线解析式为y=a(x—1『+2,代入点8(—1,0),得4a+2=0,

1

Cl——，

2

19

.1抛物线解析式为：y=--(x-l)-+2.

【小问2详解】

解：口43。为等腰直角三角形；理由如下：

1919

把y=0代入y=_](x_l)-+2得：0=--(x-l)-+2,

解得：％=3,x2=-l,

AC(3,0),

•••