浙江省北斗星盟2024年5月竞赛（强基）联考数学试题（含答案）

绝密★考试结束前

浙江省北斗星盟竞赛（强基）联考

数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题纸。

一、填空题（每小题8分，共计96分）

1.已知0<根Y”，关于龙的一元二次不等式加+bx+c>0的解集为卜忱<彳<〃｝,则关于X的一元

二次不等式（a+c-Z?）9+（b-?.d）x+a>0的解集为.

2.已知向量》满足同=1,同=g，且（3a—25），a.则a与分的夹角=.

tana_2/_、

3.已知tan（a+巴]=一5，贝U100sin[2a+；]的值是.

4.设复数4,22*3*4满足归—Z2]=1,22—Z31=4,忆—zj=2,肉—zj=3,则一Z3）仁一）|的最大值为

5.在四面体尸—A8C中，2PD=PA+PB，5Pm=2PB+3PC，2PF=-PC+3PA，设四面体

P-A3C与四面体尸―。砂的体积分别为匕、K,则9的值为_________.

v\

6.设a,"ce[l,2],则由:1+（£二上+经心!的最大值为_______.

becaab

7.数列｛4,｝满足q=l,%=2,*=31+a“.则因回[幺]'']的值_____.

1^2024JLa2J

注：国表示不超过x的最大整数，｛%｝表示％的小数部分，即｛%｝=%-国

8.已知实数“满足：①。©[0,2兀）；②存在实数上c（a<6<c<2兀），使得a,b,c是等差数列，

cosb,cosa,cose也是等差数列.则实数cosa的取值范围是.

9.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第2〃-1（”N*）局，甲赢的概率为葭第2"（”eN*）局，乙

2

赢的概率为每一局没有平局.规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏

结束.则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为.

数学学科试题第1页（共4页）

JTSi72sina-石+2sin尸-6a+/3

10.设04c、j8<27t,a、/wg，号，且=0.则cot

2cosa-12cos/?-l2

11.设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},满足下列性质的集合称为“好集”：集合至少含有两个元

素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则/的子集中有个“好集”.

12.甲乙两人玩游戏，规则如下:两人轮流在黑板上写数字，并且当数字a和6已经出现在黑板上时，

就不允许写所有满足依+6y（x,y为非负整数）形式的数，最后两人中不得不写下数字1的人为

失败者.已知黑板上已有数字5和6,此时由甲开始写数字，若甲要保证必胜，那么他第一次只

能够填的数字有____.

二、解答题（13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分）

13.已知点M（-3,0）,N、尸两点分别在轴、x轴上运动，且满足跖V-NQ=0,NP=gpQ.

（1）求。的轨迹方程；

（2）若正方形A8CZ）的三个顶点在点。的轨迹上，求其面积的最小值.

数学学科试题第2页（共4页）

14.求证：关于x的方程M%+D（X+2）（冗+2024）-1=0有且仅有一个正实根与，且这个实根与满

足：-------<x<------------

2024!+10020241+6

数学学科试题第3页（共4页）

最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）彳氏*霆蹙参黑宣翳

15.团体总分⑹分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有一名选

手都答对两道相同的题目•试问该队选手至少有多少人？

数学学科试题第4页（共4页）

绝密★考试结束前

浙江省北斗星盟竞赛（强基）联考

数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题纸。

一、填空题（每小题8分，共计96分）

1.已知0＜相＜〃，关于x的一元二次不等式依2+c＞0的解集为｛%|加＜%＜〃｝，则关于x的一元

二次不等式(〃+°—8)冗2+(b-2a)x+a>0的解集为.

答案：|xl^—<%<—^―|

[[1+〃1+mJ

2.已知向量〃、力满足同=1,同=6,且(3°-2〃)_La.设a、力的夹角=

解：设所求夹角为6.则0=(3a—25)•a=3|a「-2\a\\b\cos0.

结合|a|=i,m=百，知cose==B=g=e=g.故答案为：g

2|p|266

tana2(

3.已知’an"尸,则1。。町22）的值是.

tana_tana_tana。-tana)_2

兀)tana+1tancr+13,得3tan2a—5tana—2=0,

a—4)i1-tancr

解得。i=2,或tana=-g.

sin2a+—=sin2acos—+coslasin—

(4)44

2sinacosa+cos2a—sin2aV2(2tana+\-tan2a

=^-(sin2a+cos2a)=w2

sin26z+cos2a2Itana+\

一叵（2x2+1-22）V2

当q=2时,上式二二行

数学学科试题第1页（共9页）

当tana=」时，上式——二——匚］=噂.综上，$.2&+巴］=m.，

32（_1）2+110I4；10

故答案为2

4.设复数Z1,z2,z3,z4|z,-z21=1,|z2-z31=4,|z3-z41=2,|z4-^|=3,则_Z3）（z2-zj的最大值为

解：由题意知，四边形ABC。在复平面中，其边长和对角线为

AB=|zj-z2|=l,BC=|z2-z3|=4,C£>=|z3-z4|=2,£）A=|z4-zj=3

AC=|（Z1-Z3）|,BD=|（Z2-Z4）|

根据托勒密不等式得：［（Z］-Z3）（z?-zj〈Kz-Z?）（Z3-zJ+L-Z3）（z4-zj|=1x2+3x4=14,

故答案为14.

5.在四面体产一ABC中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC，2PF=-PC+3PA.设四面体

P-ABC与四面体尸—DEF的体积分别为匕、K,则9的值为.

I?：由2PD=PA+PB，2PD=PA+PB-PA+PA^2（PD-PA）=PB-PA,则2AD=AB;

由5尸E=2PB+3PC，5PE=2PB+3PC-3PB+3PB，5（PE-PB）=3（PC-PB）,贝心BE=3BC;

由2PF=-PC+3PA,2PF=-PC+3PA-3PC+3PC,2（PF-PC）=3（PA-PC）,则2CF=3CA;

显然四面体PABC与四面体PDEF共顶点且底面共面，则其高相同可设为力，

结合题意可作图如下：

r

B

在底面连接尸3,作图如下：

ACSAC

由2Cf=3C4,即篙一32,则《ARr2易知FAB_

S_3；

FC3、,FBC人。30,FBC♦

数学学科试题第2页（共9页）

BDsDBF_BDDBF_1

由2AD=AB,BP-9则<-。，易知c;

BA-~2JABFBA/kJFBC6

EC_2,5.ECF_EC2

由5BE=3BC，即,则<~BC~;

BC-5JBCF5

BD_1BE3,S13_3_q_3_2]_

DEB_—x—易知qDBEx—=

由9则<9-：5;

~BA~2~BC~gkJABC25~163FBCio3

q3〃JDEF

£FDE_[DBFSFCFSDBE_2_°.FDE73777

-=——X—=■匕==三.故答案为:

30,20;

5FBC§FBC5BCFSFBC°ABC302匕20

个hSABC

6.设a,b,c则也Z0_+（c-4）+（。-'的最大值为_________.

becaab

解：设1112*（々,。,0282111111（4,。©,则

a,、ab

—+1>—+—

cbc

^a-b^b-c)>0<^ab+bc>ca+b2<=><

c<bc

—+1>—+—

、aab

二匚i、[("-。)2(c-a)2(a-")2abaccbacy.

所以---+------+------^-=-+-+-+-+-+——6<2-+--4

becaabbacabcyca)

(2a-c)(2c-a)2a2c

因为2a2c,2c2a,所以^------------>0^>5>一十—

caca

h.(Z?-c)2(c-aY(a-bY(a工心林心生

因此r:，——二+^——乙+^^-<2-+--4<5-4=1,故答案为41.

becaabyca)

%I〃3II〃4

。2025“2024

7.已知数列｛a“｝满足«i=l,a2=2,a“+2=3a„+1+。”.则的值

ClyCl?

注：［可表示不超过X的最大整数，｛1｝表示x的小数部分，即｛x｝=x-［可

解：显然，｛%｝为严格递增的正整数的数列.则

“〃+2an+23%+]+《凡

3a.+i<an+2=3an+l+an<4an+1n

q+La

n+l

Cl?dlyd2^^2023^*20242“2024

故原式=

CI3^^2024^-2“2024a2

由％=1,2=2,%=7及数学归纳法，知3+2为偶数，生计1与的t+3为奇数.

从此，％024为偶数，因此，所求代数式的值为1.故答案为：1.

8.已知实数。满足：①ae［0,2;t）；②存在实数4c（a<6<c<2兀），使得a,b,c是等差数列,

cos"cosa,cose也是等差数列.则实数COS。的取值范围是.

数学学科试题第3页（共9页）

解：设等差数列。也c的公差为相，a=b-m,c=b+m,依题意，cosa-cosb=cosc-cosa,

2b-m.-m....

于是cos(/?-m)-cosb=cos(/?+m)-cos(Z?-m),整理得-2sin--------sin----=—2sinbsmm

22

目口./加7、.根.7..mmrnu-mm.[[m

即sin(-----b)sin—=sinbsmm=2sinbsin—cos—,因止匕sin—cosb7-cos—sm。=2sinpcos—,

2222222

YYl

即有tan万=3tanb,则相随Z?增大而增大，而相＞0

当〃£（0,兀），匕£（兀,*|兀）时，。到达2兀时是临界值点，止匕时力=£+兀,

代入得2cos。=©。5(9+兀)+cos2兀，艮2cos〃=—cos@+l,整理得4cos2@+cos@-3=0,

而畀呜）,解得贝"叫一

”2c1]即a=arccos—,

8

所以实数COS。的取值范围是cos4G（-1」）.

8

9.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第2"-l（"eN*）局，甲赢的概率为：；第2〃（〃eN*）局，乙

2

赢的概率为每一局没有平局.规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结

束.则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为.

解：设甲、乙两人玩的局数为“其数学期望为E（J）,由题设，游戏至少进行两局,

214

若4=2,则比分为2:0,且PC=2）=5：X2=],

否则前两局的比分为1:1,从此刻开始知道游戏结束，进行的局数的期望跟比分为0：。时相同，总局

数的期望为E⑷+2,故E（3=《x2+[l-:（E©+2）,故E⑶=g,故答案为：

s'江八/Q/、n7i5TI口2sina-j32sin/?-v3八a+B

10.设04。、兀，。、4w—,一，且------—+---匕——=0.则cot—=

332cos。一12cos尸一1

解：注意至[J学41+竽勺也=0的几何意义是椭圆t+匚1上的点P与椭圆上的点

2cosa-l2cos夕一143I2J

贝2cosa,J§sina）,N（2cos尸，石sin/?）连线的斜率互为相反数.

而直线感的斜率为人*.于是侬山一空一左为定值）.

2（cosa—cos02223

又此定值改为椭圆二+反=1在点尸（1,-]]处的切线的斜率;，故cot"2=_述、!=_".

4312）22323

数学学科试题第4页（共9页）

故答案为：-心

3

11.设集合A=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝,满足下列性质的集合称为“好集”：集合至少含有两个元

素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则/的子集中有个“好集”.

解：设集合｛1,2,3,,〃｝中满足“好集”的子集个数为%，则%=%=。，%=1.当〃>4时，可将满足

题设性质的子集分为如下两类：一类是含有n的子集，去掉n后剩下小于2的单元子集或者是

｛1,2,3,,"-3｝满足题设性质的子集，前者有〃-3个，后者有a,一个；另一类是不含有〃的子集，此

时恰好是口，2,3,-1｝满足题设性质的子集，有。I个.于是，%=（"3）+a“_3+4i.又

tz2==0,<?4=1,所以%=3,&=6,%=11,%=19,%=31,%o=49.故答案为：49

12.甲乙两人玩游戏，规则如下:两人轮流在黑板上写数字，并且当数字。和b已经出现在黑板上时，

就不允许写所有满足+为非负整数）形式的数，最后两人中不得不写下数字1的人为失败

者.已知黑板上已有数字5和6,此时由甲开始写数字，若甲要保证必胜，那么他第一次只能够填的

数字有.

解：由已知得，任意区间[5匕6月，左e.中的数均不能写.

事实上,所有形如5a+60=5（a+0）+eN）的数均不能写，设a+尸=k（左eN+）且夕e[0,k],

此时5（«+〃）+/恰好取遍[5人,6月，左6N+区间中所有的数.

从而可以写的数字总共有1,2,3,4,7,8,9,13,14,19这十个.

此时，由甲开始填写，则甲共有除1外的9种填写方案.

若甲写2,乙只需写3,此时甲只可写1,必败.

若甲写3,乙只需写2,此时甲只可写1,必败.

若甲写4,乙还剩1,2,3,7可写;乙只需写7,还剩1,2,3,易得甲必败.

若甲写7,乙还剩1,2,3,4,8,9可写;乙只需写4,还剩1,2,3,甲必败.

若甲写8,乙还剩1,2,3,4,7,9可写;乙只需写9,还剩1,2,3,4,7,此时（2,3）,（4,7）配对，

甲写任意一个，乙只需写与之对应的另一个，甲必败.

若甲写9,还剩1,2,3,4,7,8,13可写;乙只需写8,还剩1,2,3,4,7,同上可知甲必败.

若甲写13,还剩1,2,3,4,7,8,9,14可写;乙只需写14,还剩1,2,3,4,7,8,9,此时

（2,3）,（4,7）,（8,9）配对，甲写任意一个，乙只需写与之对应的另一个，甲必败.

若甲写14,还剩1,2,3,4,7,8,9,13可写;乙只需写13,还剩1,2,3,4,7,8,9,同上可

知甲必败.

若甲写19,此时（2,3）,（4,7）,（8,9）,（13,14）配对,乙任写一个，甲只需写与之对应的另一个，此时甲

必胜.综上，只有当第一个数写19时甲将获胜.故答案为：19

二、解答题（13题满分14分，14、15题满分各20分，合计54分）

13.已知点M（-3,0）,N、尸两点分别在y轴、x轴上运动，且满足MMNQ=0,NP=；PQ.

（1）求。的轨迹方程；

（2）若正方形/BCD的三个顶点在点Q的轨迹上，求其面积的最小值.

数学学科试题第5页（共9页）

解：（1）设点Q（x,y）,因为=且点N在y轴上，所以N[0,-

又M（-3,0）,则=NQ=（X，3],

由MNWQ=3x-[y2=o,..y2=4x,故点。的轨迹方程为丁=4%......4分

（2）设正方形A8CD在V=4尤上的三个顶点为A（X[,%）、8（%,%）、。（不，为），

不妨设A,B在X轴的下方（包括X轴），且为NOW%>%,

（22、

>2f=k红-红

,2,2244

贝UX]=—,x=—,X3也，设直线A3的斜率为上,贝I」

4244（22、

1•2L_22_

44

\7

44

所以凶=7一乃，>3=_4左一>2，故％+乃=7<0，故6<0.8分

kk

X\AB\=\BC\,所以

-将%,%用%表示,

得为-2+>2=-%（-必-2>2）,；.>2=2（_左++）'故'同=忸。|=J1+1（乃-乃）=4_.（_.+]）

222,当且仅当％=-1时等号成立,

12分

~K（~KI

又2（Jl+/『一（一左+1）2=（1+左『20,当且仅当k=-l时等号成立，

结合-左+1>0,故也，当且仅当上=-1时等号成立，

一人+12

故|BC|24x2x^=471,当且仅当上=-1时等号成立，所以正方形面积Smin=32,当上=-1时取

112

最小值......14分

数学学科试题第6页（共9页）

c

O

A

14.求证：关于x的方程x(x+l)(x+2)(x+2024)-1=0有且仅有一个正实根与，且这个实根与满

11

足:--------------<XQ<--------------

2024!+102024!+6

证明：设，a)=x(x+l)(x+2)(x+2024)-1,易知：当冗W(O,+8)时，段)单调递增

因为/(0)=-1<0,/(1)=2025!-1>0,所以")=0有且仅有一个正实根两

下面先证明两个引理：

36<i14+^—<10

引理一：6+++

2024!232024

2024119

yfJ-+J-++1

证明：¥-=1+-++-------

2—2'+l2'+22024

Jk=\kzZ=ll'

111113612Z3636

22l+i2Z+1J2024!22024!2024!

Z=1'/Z=1

等i等iii9cli>iii>

名人〈各=1十万+§+盲〔2,+2，+1++3X2!'-1-J+^LX2!'_1+3X2M+1++2,+1-lJ

10r.i-110

<114

++=1+—+—+9x—+9x—<105分

233X2'T2323

i=2乙i=2

引理二：(贝努利Bernoulli不等式)设“22是正整数，xr,x2,，入“w(0,1)且西+为++xn<\,

则(1-西)(1-巧)(l-xj>l-(x1+x2+.+%)(*),我们用数学归纳法证明(*)

当九=2时，(1一瓯乂1一%2)=1-不一巧+%1%2〉1一题—工2，假设〃=左时，(*)成立，

则对于片女+1时，(1—国)(1—巧)(1—4乂1——(M+巧++4)](1—4+1)

>1-(%1+x2++4+1)，故对任意的正整数〃22,(*)成立.....10分

11

接着分两步证明:<x0<--------------

2024!+10---------2024!+6

1

(1)

2024!+10

1

只需证：f(x0}>f(——],即—-—Lo

v0712024!+10)12024!+10)

1己“=2024!+10,-|<0<=>|-+1||-+2II-+2024|<«

\a)\a八〃)\a)

aaa1a2a2024。2024!

<=>---------------------------------->—o----------------------------------->---------

l+al+2。1+2024〃a\+al+2a1+2024aa

数学学科试题第7页(共9页)

卡士巾一占）甘①

由引理二和引理一可得：

+1

1+2024。

>1一匕+1++/:1-小+》+泰〉1一?，故①成立，从而,1

X。>--------15

2024!+10

分

⑵X。〈五％只需证：而匕即/[亚片〉。

1+」一

记6，利用引理一可得：伍+1）0+2）仅+2024)>2024!+2024111+-+b

20241+6(22024

>2024!+2024!|6+^-1——--=2024!+6

(2024!j2024!+6

即f[-----------]>0，从而，x0<.......20分

1,2024!+6J2024!+6

15.最近的一次数学竞赛共6道试题，每题答对得7分，答错（或不答）得。分.赛后某参赛代表队获

团体总分161分，且统计分数时发现：该队任两名选手至多答对两道相同的题目，没有三名选手都

答对两道相同的题目.试问该队选手至少有多少人？

解：设该队有〃名选手，分别记为％,生，…，4