中考数学一轮复习第一讲实数（解析版）

模块一数与式

第一讲实数

知识梳理夯实基础

知识点1:实数的分类

「正整数1

整数零无理数的几种常见形式

有理数负整数⑴开方开不尽的数的方根，如夕，V2,厄等;

实数

分数!F?打有限小数或无限循环檄

［负分数j(2)JI及化简后含JI的数；

无理数］乎无限不循环小数⑶构造型的数，如0.1010010001…(相邻两个

［负无理数jI1之间依次多一个0)等；

［某些三角函数值，如等.

'正实数14)sin60°,cos45°

实数零

负实数

知识点2:实数的相关概念

1、数轴

(1)数轴的三要素：原点、和o例:

原点正方向

-4-3-2-1012^34

单位长度

(2)实数和数轴上的点

2、相反数

(1)定义：只有不同的两个数互为相反数。

(2)。的相反数是,特殊地，0的相反数是—。

(3)实数a,b互为相反数oa+Z?=0。

(4)互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离

3、绝对值

(1)定义：在数轴上，表示数。的点到的距离，叫做数。的绝对值，记作时。

_______(a>0)

若a>0,贝祠=

(2)时=<(a=0)或

若a<0,则a

(a<0)

4、倒数

(1)定义：如果两个实数的乘积为,那么这两个实数互为倒数。

(2)实数a,b互为倒数="=1。

(3)非零实数。的倒数为,0没有倒数，倒数等于它本身的数是。

知识点3:科学计数法

科学记数法的表示形式为,其中1＜同＜10,〃为整数。

用科学记数法表示绝对值较大的数：当原数的绝对值大于等于10时，n等于原数的整数

位数减去1;

用科学记数法表示绝对值较小的数：当原数的绝对值小于1时，n是一个负整数，它的

绝对值等于原数左起第一个非零数字前面零的个数(含整数位上的零)。

I温馨提示：

j将含有计数(量)单位的数字用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字,

!把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法来表示。常考的计数单位

6

.有：1千=l(y,1万=1。4,1亿=1(/.常考的计量单位有：Imm=l(y3m,i^w=io/n,

।Inm=ICT97”等。

知识点4:近似数

1、定义：一个与很接近的数叫做近似数。

2、精确度：一般由“四舍五入”法取近似数，“四舍五入”到哪一位，就说这个近似数精

确到哪一位。

知识点5:平方根、算术平方根与立方根

名称定义性质

一般地，如果一个数的

一个正数。的平方根有两个，它们互

平方等于a(a»O),那么

平方根为__________;0的平方根是0；负数没有平

这个数就叫做a的平方方根。

易失分根。

点4a

一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术

算术平当。之。时,是有意义的，

的“双

方根它表示。的算术平方根.平方根是____,即血=—。

重非负

性”

6具

一般地，如果一个数的正数的立方根是一个正数；负数的立方根是

有双重立方根立方等于a,那么这个数一个负数；。的立方根是0。立方根具有唯一

非负就叫做a的立方根.性。

性：①

被开方

数a必须是非负数，即。三0；②布是非负数，即620。

知识点6:实数的运算

1、加、减、乘、除、乘法的运算法则

(1)加法法则：

同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小

的绝对值，互为相反数的两数相加和为零；

一个数与零相加，仍得这个数。

(2)减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

(3)乘法法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

任何数与0相乘仍得0。

(4)除法法则：

除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。

(5)几种常见的运算：

乘方：a"=a-a-'''-a(n个a相乘)

零次嘉：任何非零数的零次嘉都为1,即a°=l(aHO)

T的奇、偶次嘉：T的偶次嘉为1,奇次嘉为T。

负整数指数嘉：任何不为零的数的-p(p为正整数)次嘉，等于这个数p次嘉的倒数；特别地,

一个不为零的数的-1次寨是其倒数。即。-。=上(a7O,p为正整数)，a~l=-(a^O}

apa

2、运算律:

(1)加法运算律

力口法交换律：a+3=5+a；

力口法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

⑵乘法运算律

乘法交换律：ab=ba；

乘法结合律:(ab)-c=a-{bcj；

分配律：a(>+c)=aZ?+ac。

3、实数的混合运算顺序

(1)计算每一小项的值(如零次累、负整数指数累、开方、绝对值、乘方等)；

⑵根据原式中的运算符号进行实数的混合运算(先乘除，后加减，有括号的先算括号内的，同

级运算按照从左到右的顺序进行)；

⑶写出算式的结果。

知识点7:实数的大小比较

数轴法将两个数表示在同一数轴上，右边点表示的数总比左边点表示的数大。

正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大

类别法

的反而小。

设b是两个任意实数，贝；a-b=0<^>a-b；

差值法

a-b<Q<^a<b

平方法若三0,则&〉扬（用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较）.

作商法9>1=若1)>0,则a>b；若b<0,则a〈b.

b

估算法对任意两个正实数a,b,先估算出a,b两数的范围，再进行比较.

把要比较的两个数进行适当放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较

放缩法

两个实数大小的目的.

直击中考胜券在握

31

------TC------

1.实数tan45。，遮，0,5,V9,3,sin60°,0.3131131113...（相邻两个3之间依次多一个1）,

其中无理数的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

试题分析：掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有H的数，结合题意

判断即可.根据无理数的定义可得无理数有：-，，sin60。，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一

个1）,共3个

考点：无理数

2.（2023•山东•胶州市初级实验中学一模）我的相反数（）

A.2B.-2C.±2D.y

【答案】B

【分析】

先计算出我=2,再求出2的相反数即可.

【详解】

解：回强=2,2的相反数是-2,

自我的相反数是-2,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了立方根和相反数，求出我=2是解答此题的关键.

3.（2023•广东•珠海市文园中学三模）实数-3的绝对值是（）

A.-3B.±3C.3D.--

3

【答案】C

【分析】

直接利用绝对值的性质分析得出答案.

【详解】

解:实数-3的绝对值是3.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键.

4.（2023•山东•宁津县育新中学七年级阶段练习）下列说法①-5的绝对值是5;②-1的相反数是1;

③。的倒数是0;④64的立方根是±4,⑤;是无理数，⑥4的算术平方根是2,其中正确的个数为

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

根据绝对值、相反数、倒数、立方根、无理数、算术平方根的概念及性质逐一进行分析即可得.

【详解】

①-5的绝对值是5,正确；②-1的相反数是1,正确；③。没有倒数，错误；④64的立方根是4,错

误，⑤g不是无理数，是有理数，错误，⑥4的算术平方根是2,正确，

故选B.

【点睛】

本题考查了绝对值、相反数、倒数、立方根、无理数、算术平方根等，熟练掌握各相关概念以及性质是解

题的关键.

5.（2023•全国•九年级专题练习）下列各数：-4,-2.8,0,|-4|,其中比-3小的数是（）

B.|-4|D.—2.8

【答案】A

【分析】

根据正数比负数大，正数比。大，负数比0小，两个负数中，绝对值大的反而小解答即可.

【详解】

解：E0-40=4,4>3>2,8,

0-4<-3<-2.8<0<E-40,

回比-3小的数为-4,

故选：A.

【点睛】

本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键.

6.（2023•陕西•一模）-g27的立方根是（）

64

3349

A.一一B.—C.一一D.—

48916

【答案】A

【分析】

如果一个数x的立方等于a,那么x是。的立方根，根据此定义求解即可.

【详解】

3x3x3

4x4x4

回-:3的立方等于-2三7

464

团-2三7的立方根等于3

644

故选A

【点睛】

此题主要考查了一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方，由于开立方和立方是

互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根.需要注意的是立方根与原数的性质符号相同.

7.（2023•四川凉山•中考真题）曲的平方根是（）

A.±3B.3C.9D.»

【答案】A

【分析】

先求得a=9,再根据平方根的定义求出即可.

【详解】

庖=9,

9的平方根是±3,

故选A.

【点睛】

本题考查了算术平方根的定义，求一个数的平方根，能熟记算术平方根的定义的内容是解此题的关键.

8.（2023•内蒙古赤峰•中考真题）实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示.如果。+6=0,那么下列

结论正确的是（）

A.|a|>|c|B.a+c<0C.abc<0D.—=1

b

【答案】C

【分析】

根据a+b=0,确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答.

【详解】

解：0a+b=O,

团原点在a,b的中间，

如图，

由图可得：a+c>0,abc<0,-=-l,

b

故选：C.

【点睛】

本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置.

9.下面不等式正确的是（）

2313,,

A.B.--<--C.(-8)<(-7)D.-0.91<-l.l

34o11

【答案】B

【分析】

根据正数大于负数、两负数相比较，绝对值越大则值越小，结合选项即可作出判断.

【详解】

2323

解:A、故q>-：，故本选项错误；

1313

B、7<77>故匕故本选项正确；

C、(-8)2=64,(-7)2=49,故(-8)2>(-7)2,故本选项错误；

D、|-0.91|=0.91,|-1.1|=1.1,0.9K1.1,故故本选项错误.

故选B.

【点睛】

此题考查了有理数的大小比较，属于基础题，解答本题的关键是掌握正数大于负数、两负数相比较，绝对值

越大则值越小，难度一般.

10.(2023•天津滨海新中考模拟)若2=而，b=|-6|,c=病则下列关系正确的为()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】

先估算出病和病的取值范围，再进行比较即可得答案.

【详解】

025<30<36,

05<730<6,即5<a<6,

0b=H,

0b=6,

064<65<125,

04〈病<5,即4<c<5,

0b>a>c,

故选C.

【点睛】

本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键.

11.（2023•福建南安•中考模拟）已知小2=4+26，则以下对|m|的估算正确的（）

A.2<|m|<3B<3<|m|<4C.4<|m|<5D.5<|m|<6

【答案】A

【分析】

首先根据完全平方根式，将m2展开可得m的绝对值的大小.

【详解】

：0m2=4+2>/3=（出+1）2,

0m=±（6+1）,

0|m|=V3+1,

[31<A/3<2,

02<|mf<3.

故选A.

【点睛】

本题主要考查学生的的完全平方展开式的用法，关键在于将实数分成两个数的平法和.

12.设a为最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，d是倒数等于自身的有理数，则a-

b+c-d的值为（）

A.1B.3C.1或3D.2或-1

【答案】C

【解析】解：由题意得，a=l,b=-l,c=Q,d=+l,

当d=l时，a-b+c-d=l-C-D+0-l=l,

当d=—1时，a—〃+c—d=l—（―1）+0—（-1）=3,

故选c。

13.（2023滨州中考）冠状病毒的直径约为80〜120纳米，1纳米==1.0x10-米，若用科学记数法表示

110纳米，则正确的结果是（）

A.l.lxlO"米B.1.1x10-8米c.1.1x10一米D.1.1x10-6米

【答案】C

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axltr,与较大数的科学记数法不同的是其

所使用的是负整数指数幕，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

解：110纳米=110x10-9米=1.1x10-7米.

故选：C.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO,其中lW|a|＜10,n为由原数左边起第一个不为

零的数字前面的0的个数所决定.

14.第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人.数据218000000用科

学记数法表示为（）

A.218x1（）6B.21.8xl07C.2.18xlO8D.0.218xl09

【答案】C

【分析】

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为"X10",其中1W同＜10,n为整数,据此判断即可.

【详解】

解：218000000=2.18x1（）8,

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为。X101其中14问＜10,确定a和O的值是解题

关键.

15.（2023•江苏仪征•八年级期中）下列说法正确的是（）

A.近似数4.80精确到十分位

B.近似数5000万精确到个位

C.近似数4.51万精确到0.01

D.1.15x104精确到百位

【答案】D

【分析】

一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，带有单位的近似数与用科学记数法表

示的近似数要由最后一位在原数中的位置确定，再逐一分析各选项从而可得答案.

【详解】

解：近似数4.80精确到百分位，故A不符合题意；

近似数5000万精确到万位，故B不符合题意；

近似数4.51万精确到百位，故C不符合题意；

1.15x104精确到百位，正确，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是近似数的精确度问题，掌握近似数的精确度是解本题的关键.

16.（2023•山东胶州•八年级期中）比较大小：|—§一而.（用""V"或"="填空）

33

【答案】＞

【分析】

先求出血＞3,然后利用作差法得到2-匕叵即可得到答案.

333

【详解】

解:032=9＜（VTT）2=11,

团而＞3，

回2_7=姮心＞0,

333

回2＞小叵，

33

故答案为：＞.

【点睛】

本题主要考查了实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握实数比较大小的方法.

17.（2023•浙江•杭州第十四中学附属学校八年级阶段练习）若实数a,b互为相反数，c,d互为倒数，e

是近的整数部分，/是石的小数部分，则代数式/0+疝-6+/的值是

【答案】4-

【分析】

根据互为相反数、互为倒数、无理数的整数部分、小数部分的意义求解即可.

【详解】

解：团实数0、b互为相反数，

团o+b=0,

团c、d互为倒数，

团cd=l,

03<V12<4,

回疝的整数部分为3,e=3,

02<石<3,

回返的小数部分为6-2,即/=6-2,

S^Ja+b+\[cd-e+f=0+1-3+^/5-2=

故答案为：4-^/5.

【点睛】

本题考查相反数、倒数、无理数的估算，掌握相反数、倒数的意义，以及无理数的整数部分、小数部分的

表示方法是解决问题的关键.

18.（2023•全国•八年级专题练习）在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点对应的实

数分别是正和1,则点B对应的实数为

B.4C

°145

【答案】2-6

【分析】

根据对称的意义得到AC=AB=V5-1,可得答案.

【详解】

解：回点C与点B关于点A对称，AC=V5-1,

回AB——1,

团点B对应的数是1一（6-1）=1一式+1=2-若，

故答案为：2-邪.

【点睛】

本题考查了实数与数轴，利用AB=AC得出点B对应的实数是解题关键.

19.（2023•四川广元•中考真题）如图，实数-百，诟,m在数轴上所对应的点分别为A,B,C,点B关

于原点。的对称点为D.若m为整数，则m的值为.

••••・A

DCAOB

【答案】-3

【分析】

先求出。点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可.

【详解】

解:回点B关于原点。的对称点为。，点8表示的数为后，

回点。表示的数为-岳，

加点表示-正，C点位于4。两点之间，

t3-y/15<m<-y/5,

0m为整数，

团HZ=—3；

故答案为：-3.

【点睛】

本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，

解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法.

20.（2023•江苏裸阳•七年级期中）数轴上有两个实数a,b,且a>0,bVO,a+bVO,则四个数a,b,-a,-b

的大小关系为__（用"V"号连接）.

【答案】b<—a<a<—b

【分析】

根据a与b的关系，在数轴上表示它们的位置，然后根据在数轴上右边的数比左边的数大解答即可.

【详解】

0a>O,b<0,a+b<0,

回四个数a,b,-a,-b在数轴上的分布为：

A

b-a0a-b

回b<-a<a<-b.

故答案为b<-a<a<-b.

【点睛】

本题考查了相反数在数轴上的分布特点，实数与数轴的关系，以及利用数轴比较实数的大小，根据a与b

的关系，在数轴上表示它们的位置是解答本题的关键.

21.（2023•丽水中考）计算：|-2021|+（-3）°-/.

【答案】2020

【分析】

先计算绝对值、零指数幕和算术平方根，最后计算加减即可；

【详解】

解：|-2021|+（-3）0-^

=2021+1-2,

=2020.

【点睛】

本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则.

22.（2023•金华）计算：（-1户21+指一45亩45。+|-2].

【答案】1

【分析】

利用乘方的意义，二次根式的化简，特殊角的函数值，绝对值的化简,化简后合并计算即可

【详解】

解：原式=-l+20-4x变+2

2

=-1+2A/2-2A/2+2

=1.

【点睛】

本题考查了二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值的化简等知识，熟练运用各自的运算法则化简是

解题的关键.

23.（2023•全国•九年级专题练习）计算：|l-0|-2sin45°+（3.14-%）°/n.

【答案】T

【分析】

根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幕，负整数指数塞进行运算即可.

【详解】

|l-V2|-2sin45°+(3.14-^-)0-^

=V2-l-2x^+l-4

2

=^-1-72+1-4

=T

【点睛】

本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幕，负整数指数幕，熟知以上运算是解题的关键.

24.(2023•四川达州•中考真题)a是不为1的有理数，我们把J称为a的差倒数，如2的差倒数为

7^=-1,T的差倒数丁工=；,已知4=5,%是生的差倒数，生是生的差倒数，如是小的差倒数…，

依此类推，a.9的值是()

.144

A.5B.--C.-D.一

435

【答案】D

【分析】

根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3,根据

余数的情况确定出与出。19相同的数即可得解.

【详解】

解：：q=5,

111

21-q1-54，

1_1_4

%1-%5,

14

团数列以5,-二二三个数依次不断循环，

45

2019+3=673,

.__4

..^2019=%=g

故选D.

【点睛】

本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键.

25.观察下列等式：

2_11

第一个等式：

“1+3x2+2