2024年中考数学必考考点总结+题型专训三角形综合（原卷版+解析）

专题07三角形的综合

知识回顾

1.角平分线的性质：

①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

2.角平分线的判定：

角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

3.角平分线的尺规作图：

具体步骤：

①以角的顶点。为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、No如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点Po如图②。

③连接OP,0P即为角的平分线。

4.垂直平分线的性质：

①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

5.垂直平分线的判定:

到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

6.垂直平分线的吃规作图:

具体步骤:

①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、

N»如图①

②连接MN,过MN的直线即为线段的垂直平分线。AB

於

如图②

图①

7.中位线的性质:

三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

8,等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两腰相等。

②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）

③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。（简称底边上三线合一）

9.等腰三角形的判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。

10.等边三角形的性质：

①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”

③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于走/（〃为等腰三角形的边长）。

4

11.等腰三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

12.直角三角形的性质：

①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。

⑤直角三角形的勾股定理。

13.勾股定理的内容：

在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边是a,b,斜边

是C,则。2=。2+庐。

14.勾股定理的逆定理:

若三角形的三条边分别是。，b,C,且满足。2=。2+62,则三角形是直角三角形，且Re是直角。

15.特殊三角形三边的比：

①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：1：V3:2„

②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：1:1:72c

16.两点间的距离公式：

若点力）与点M%2，乃），则线段AB的长度为：|=yj（X1-%2）2+（%-乃了°

专题练习

1.如图，在Rt^ACB中，ZACB=90°，点M为边48的中点，点E在线段AM上，EFLAC于点尸，连

接CM,CE.已知NA=50°,ZACE=30°.

(1)求证：CE=CM.

(2)若48=4,求线段FC的长.

2.如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”(如图2),得到

大小两个正方形.

(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.

(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少？

图1图2

3.如图，在△ABC中，90°,BC=4,点D在AC上，CD=3,连接。2,点P是边

AC上一动点(点尸不与点A,D,C重合)，过点尸作AC的垂线，与A8相交于点。,连接。。，设AP

X,XPDQ与AABD重叠部分的面积为S.

(1)求AC的长；

(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量尤的取值范围.

4.在△A8C中，AB=AC,ZBAC=90°,AD是△ABC的角平分线.

(1)如图1,点、E、尸分别是线段8。、上的点，S.DE^DF,AE与CP的延长线交于点则AE

与CF的数量关系是,位置关系是；

(2)如图2,点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.

①(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

A

②连接。M,求的度数；

③若DM=sO,ED=12,求取的长.//M\\

5.【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△A'BC中，AD,AO分别是8C和边上的高线，且AO=A7A贝UZVIBC

和△ABC是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用&ABC,SAAEO分别表示AABC和△?!'B'C的面积,

则&ABC=LUADSAA'B'C=-B,C-A'D',

22

'：AD=A'D'

••SAABC：S/\A'B'C'=BC：BC.

【性质应用】

(1)如图②，。是△ABC的边BC上的一点.若B£)=3,。。=4,则S^ABD：SAADC=;

(2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和边上的点.若BE：AB=1：2,CD：BC=1：3,SA

ABC=1,贝!JS&BEC=,SACDE=;

(3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点.若BE：AB=1：m,CD-.BC=1：n,S

△ABC=a，贝ISACDE=.

（图①）（图②）（图③）

6.在四边形ABC。中，。是边BC上的一点.若AOAB学△OCD,则点。叫做该四边形的“等形点”.

（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）;

（2）如图，在四边形ABC。中，边BC上的点。是四边形ABC。的“等形点”.已知CD=4及，0A

=5,8c=12,连接AC,求AC的长;

OF

(3)在四边形所GH中，EH//FG.若边FG上的点。是四边形跳的“等形点”，求——的值.

0G

7.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组

全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现：

如图1,若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC,分别是底边.求证：BD=CE；

(2)解决问题:

如图2,若△ACB和△OCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上，

CM为中。E边上的高，连接BE,请判断乙4班的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系并

说明理由.

8.在△ABC中，AC=BC,点O在线段上，连接CO并延长至点E,使Z)E=C。，过点E作E/tLAB,

交直线A8于点E

(1)如图1,若NACB=120°,请用等式表示AC与跖的数量关系：.

(2)如图2.若/ACB=90°,完成以下问题：

①当点。，点厂位于点A的异侧时，请用等式表示AC,AD,。尸之间的数量关系，并说明理由；

②当点。，点p位于点A的同侧时，若DF=1,AD=3,请直接写出AC的长.

图1E图2备用图

9.已知△ABCdOEC,AB^AC,AB>BC.

(1)如图1,C8平分/AC。，求证：四边形ABOC是菱形；

(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,的延长线相交于点

F,用等式表示NACE与NEFC之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,将(1)中的△〃)£1绕点C顺时针旋转(旋转角小于/ABC),若/BAD=NBCD,求/

ADB的度数.

10.问题提出

(1)如图是等边△A8C的中线，点尸在的延长线上，且4P=AC,则/APC的度数为.

问题探究

(2)如图2,在△ABC中，CA=CB=6,ZC=120°.过点A作A尸〃BC,S.AP=BC,过点P作直线

l±BC,分别交A3、BC于点。、E,求四边形OECA的面积.

问题解决

(3)如图3,现有一块aABC型板材，/ACB为钝角，ZBAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个

△AB尸型部件，并要求/氏4尸=15°,AP^AC.工人师傅在这块板材上的作法如下:

①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D,连接CD；

②作CD的垂直平分线I,与CD交于点E-,

③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线/于点尸，连接AP、BP,得△ABP.

请问，若按上述作法，裁得的△A2P型部件是否符合要求？请证明你的结论.

11.如图，在△ABC中，ZABC=40°,ZACB=90°,AE平分/BAC交BC于点E.P是边BC上的动点

(不与B,C重合)，连结AP,将沿AP翻折得△AP。，连结。C,记/BCZ)=a.

(1)如图，当P与E重合时，求a的度数.

(2)当尸与£不重合时，记探究a与0的数量关系.

12.综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

如图1,在△ABC中，。是上一点，ZADC=ZACB.求证

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题.

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.

“如图2,延长C4至点E,使CE=BD,BE与。的延长线相交于点尸，点G,X分别在BEBC±,

BG=CD,NBGH=NBCF.在图中找出与相等的线段，并证明

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当NBAC=90°时，若给出△

ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求.该小组提出下面的问题，请你解答.

“如图3,在(2)的条件下，若/BAC=90°,AB=4,AC=2,求的长

(图2)

13.如图1,在△ABC中，AC^BC,ZACB=90°,AB=4cm.点。从A点出发，沿线段A3向终点8运

动.过点。作的垂线，与△A8C的直角边AC(或BC)相交于点E.设线段的长为a(cm),线

段。E的长为〃(cm).

(1)为了探究变量。与/i之间的关系，对点。在运动过程中不同时刻AZ),OE的长度进行测量，得出

以下几组数据：

变量a(cm)00.511.522.533.54

变量h(cm)00.511.521.510.50

在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量//的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量场的值为

横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2.

根据探究的结果，解答下列问题:

①当a=1.5时，h=；当h=1时，a

②将图2-1,图2-2中描出的点顺次连接起来.

③下列说法正确的是.（填"A”或"B”）

A.变量〃是以a为自变量的函数

B.变量a是以介为自变量的函数

(2)如图3,记线段。E与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形(即阴影部分)的面积(的，)为s.

①分别求出当04W2和2<«<4时，s关于a的函数表达式;

②当s=，时，求。的值.

2

图3

14.已知CD是△ABC的角平分线，点E,F分别在边AC,BC±,AD=m,BD=n,△&£)£；与△8。产的

面积之和为S.

(1)填空：当NACB=90°,DE±AC,。尸_LBC时，

①如图1,若NB=45°,m—5-j2,贝Iw=,S=；

②如图2,若N3=60°,m=4V3,则〃=,S—；

(2)如图3,当尸=90°时，探究S与加，”的数量关系，并说明理由；

(3)如图4,当/ACB=60°,/以加=120°,m=6,w=4时，请直接写出S的大小.

B

图1图2图3图4

15.回顾：用数学的思维思考

（1）如图1,在△ABC中，AB=AC.

①BD,CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.

②点、D,E分别是边AC,A8的中点，连接BD,CE.求证：BD=CE.

（从①②两题中选择一题加以证明）

猜想：用数学的眼光观察

经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB=AC,。为边AC上一动点（不与点A,C重合）.对

于点。在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提出

问题：若点。，E分别运动到边AC,A8的延长线上，与CE还相等吗？请解决下面的问题：

(2)如图2,在△ABC中，A8=AC,点。，E分别在边AC,AB的延长线上，请添加一个条件(不再

添加新的字母)，使得BD=CE,并证明.

探究：用数学的语言表达

(3)如图3,在△4BC中，AB=AC=2,ZA=36°,E为边AB上任意一点(不与点A,8重合)，F

为边AC延长线上一点.判断8尸与CE能否相等.若能，求CB的取值范围；若不能，说明理由.

专题07三角形的综合

知识回顾

17.角平分线的性质：

①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

18.角平分线的判定：

角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

19.角平分线的尺规作图：

具体步骤：

①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、

No如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧,两圆弧交于点Po

如图②。

③连接OP,0P即为角的平分线。

20.垂直平分线的性质:

①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

21.垂直平分线的判定:

到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

22.垂直平分线的吃规作图:

具体步骤:

①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两

侧别分交于M、No如图①

②连接MN,过MN的直线即为线段的垂直平分线。

AB

如图②於

图①图②

23.中位线的性质：

三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

24.等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两腰相等。

②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）

③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。（简称底边上三线合一）

25.等腰三角形的判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）

③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。

26.等边三角形的性质：

①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”

③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于43/（“为等腰三角形的边长）。

4

27.等腰三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

④有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

28.直角三角形的性质：

①直角三角形的两锐角互余。

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。

⑤直角三角形的勾股定理。

29.勾股定理的内容：

在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边

是a,b,斜边是c,贝

30.勾股定理的逆定理：

若三角形的三条边分别是。，b,C,且满足。2=/+必，则三角形是直角三角形，

且NC是直角。

31.特殊三角形三边的比：

①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：1：V3:2„

②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：l：l：V2o

32.两点间的距离公式：

若点A（xi，%）与点3（x2,为），则线段AB的长度为：

I=J（X1一切2+61-乃）2。

专题练习

,一，

1.如图，在RtZVICB中，ZACB=90°，点〃为边AB的中点，点E在线段AM上，EF

_LAC于点F,连接CM,CE.已知/A=50°,ZAC£=30°.

（1）求证：CE=CM.

（2）若AB=4,求线段FC的长.

【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=K4=MB,根据外角的性质可

CB

得/MEC=/A+NACE,ZEMC=ZB+ZMCB,根据等角对等边即可得证;

（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出PC的长.

【解答】（1）证明：••,/ACB=90°,点M为边A8的中点，

：.MC=MA=MB,

：.ZMCA=ZA,/MCB=NB,

VZA=50°,

：.ZMCA=50°,ZMCB^ZB=40°,

：.ZEMC=ZMCB+ZB=80°,

VZACE=30°,

ZMEC=ZA+ZACE=S0°,

：.NMEC=NEMC,

：.CE=CM；

(2)解：-：AB=4,

：.CE=CM=^-AB=2,

2

'：EF±AC,ZACE=30°,

：.FC=CE'cos30°=5/3.

2.如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图

（如图2）,得到大小两个正方形.

（1）用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.

（2）当a=3时，该小正方形的面积是多少？

【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的

图1

直角边即可；

（2）根据正方形的面积=边长的平方列出代数式，把。=3代入求值即可.

【解答】解：（1）;直角三角形较短的直角边=1X2a=a,

2

较长的直角边=2a+3,

...小正方形的边长=2a+3-a=a+3；

（2）小正方形的面积=（cz+3）2,

当a=3时，面积=（3+3）2=36.

3.如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC=4,点。在AC上，CZ）=3,连接。B,AD=

。'点P是边AC上一动点（点尸不与点A,D,C重合），过点尸作AC的垂线，与

相交于点。，连接设△PD。与△A8O重叠部分的面积为S.

（1）求AC的长；

(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量尤的取值范围.

【分析】(1)根据勾股定理可求出8D,根据AO=B。进而求出AC,

(2)分两种情况进行解答，即点P在点。的左侧或右侧，分别画出相应的图形，根据

相似三角形的判定和性质分别用含有x的代数式表示P。、PE、PQ,由三角形面积之间

的关系可得答案.

【解答】解：(1)在中，BC=4,8=3,

又,：AD=BD,

；.AC=AO+CQ=5+3=8；

(2)当点P在点。的左侧时，即0<x<5,如图1,此时重叠部分的面积就是△P。。的

面积，

'：PQ±AC,BC-LAC,

C.PQ//BC,

：.△ABCsA4QP,

•.•-A-P-_-A-C-_-8-乙,

PQBC4

设则PD=AD-AP=5-x,

S重叠部=(5-x)X—

22

--x2+—X；

44

当点尸在点。的右侧时，即5Vx<8,如图2,

由(1)得，AP=x,PQ=^x,贝iJPZ)=x-5,

2

,CPQ//BC,

:.△DPEsdDCB,

.DP=DC__3

"EPBCT

：.PE=-^(x-5),

3

QE=PQ-PE=^x-A(x-5)=-空，

2363

•'•S重叠部分=Sz\OEQ

=1(x-5)X(-§x+皎)

263

答：S关于x的函数解析式为：当0Vx<5时，S=-—^+―x；当5<x<8时，S=-—

4.在△ABC中，AB^AC,/A4C=90°,AO是△ABC的角平分线.

（1）如图1,点E、E分别是线段8。、上的点，MDE=DF,AE与CT的延长线交

于点则AE与CT的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2,点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE=DF,EA的延长线交CF

于点M.

①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

②连接DM,求/EM。的度数；

③若。M=6后，£D=12,求的长.

【分析】（1）证明△AOE名尸（SAS）,由全等三角形的性质得出AE=CF,ZDAE

=/DCF,由直角三角形的性质证出/EMC=90°,则可得出结论；

（2）①同（1）可证△ADK丝尸（SAS）,由全等三角形的性质得出AE=CF,ZE=

NF,则可得出结论；

②过点。作£）G_LAE于点G,£>8_LC产于点X,证明△DEG2△DM（A4S）,由全等三

角形的性质得出DG=DH,由角平分线的性质可得出答案；

③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案.

【解答】解：(1)'：AB=AC,ZBAC=9Q°,A。是△ABC的角平分线,

:.AD=BD=CD,AD±BC,

：.ZADE=ZCDF=90°,

又■:DE=DF,

：.AADE^ACDF(SAS),

：.AE=CF,ZDAE=ZDCF,

'：ZDAE+ZDEA^9Q°,

：.ZDCF+ZDEA=90°,

：.ZEMC^90°,

：.AE±CF.

故答案为：AE=CF,AE1CF；

(2)①(1)中的结论还成立，

理由：同(1)可证△ADE0(SAS),

：.AE=CF,ZE=ZF,

'：ZF+ZECF=90°,

：.ZE+ZECF=90°,

：.ZEMC=90°,

：.AELCF-,

.,.△DEG^ADFH(A4S),

：.DG=DH,

XVDG1AE,DH±CF,

■平分/EMC,

又：/EMC=90°,

:./EMD=L/EMC=45。；

2

③：NEA")=45°,ZDGM=90°,

；./DMG=NGDM,

：.DG=GM,

又,:DM=6版,

：.DG=GM=6,

\'DE=12,

£G=VED2-DG2=V122-62=6M，

EM=GM+EG=6+673.

5.【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△ABC中，AD,分别是BC和边上的高线，且

=AO、则△ABC和△A'B'C是等高三角形.

【性质探究】

如图①，用S"BC,S/BO分别表示△ABC和△?!'B1C的面积，

则S"BC=1BC・A。，SAA'B'C=-B'C"A'D',

22

\"AD=A'D'

SAABC：SAA'B,C'=BC：B'C.

【性质应用】

（1）如图②，。是△ABC的边BC上的一点.若BO=3,OC=4,则S^ABD：S&ADC=

（2）如图③，在△ABC中，D,E分别是2C和AB边上的点.若BE：A3=l：2,CD：

BC=1：3,SAABC=1,贝!JSABEC=,S^CDE=；

（3）如图③，在△ABC中，D,£分别是8c和A8边上的点.若BE：AB^l：m,CD：

BC—1：n,S^ABC—a,则SACDE=.

（图①）（图②）（图③）

【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案；

（2）同（1）的方法即可求出答案；

（3）同（1）的方法即可求出答案.

【解答】解：（1）,:BD=3,£>C=4,

SAABD：S^ADC=BD：DC=3：4,

故答案为：3：4；

(2)•；BE：AB=1：2,

:•S/\BEC：SAABC=BE：A,B=1：2,

,•S^ABC~1,

**•SAB£C=—；

2

VCD：BC=1：3,

AS^CDE：SABEC=CDzBC=1：3,

SACDE=—S^BEC=—X—=—；

3326

故答案为：—,—；

26

(3),；BE：AB=1：m,

**•S/\BEC*S/\ABC=BE：AB=1：m,

,**S/\ABC=a,

.14

•・S/\BEC=—S/\ABC=—；

mm

VCD：BC=1：n,

・•SACDE：S/\BEC~CDZB(J—1：ri,

.'.S^CDE=—S^BEC=—,—=—,

nnminn

故答案为：卫.

inn

6.在四边形ABC。中，。是边BC上的一点.若AOAB四△OCD,则点。叫做该四边形的

”等形点”.

(1)正方形“等形点”(填“存在”或“不存在”)；

(2)如图，在四边形ABCZ)中，边8C上的点。是四边形ABC。的“等形点已知CD

=472,OA=5,BC=U,连接AC,求AC的长；

(3)在四边形EFGH中,EH//FG.若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，

求二的值.

0G

【分析】(1)根据“等形点”的定义可知△。42名/\。。，则NOAB=NC=90°,而。

是边3c上的一点.从而得出正方形不存在“等形点”；

(2)作A8_LBO于由△042丝△0C。，得AB=CD=4如,0A=0C=5,设08=

x,则BH=7-尤，由勾股定理得，(招历了-(7-%)2=52-?,求出x的值，再利用

勾股定理求出AC的长即可；

(3)根据“等形点”的定义可得△(?所出△0G8,则/E0P=/H0G,0E=0G,ZOGH

=ZOEF,再由平行线性质得OE=OH,从而推出OE=OH=OG,从而解决问题.

【解答】解：(1)•四边形ABC。是正方形，

；./C=90°,

"：/\OAB^/\OCD,

：.ZOAB=ZC=90°,

：。是边2C上的一点.

正方形不存在“等形点”，

故答案为：不存在；

(2)作A//_L20于X,

•.•边BC上的点。是四边形ABCZ)的“等形点”,

.".AOAB^AOCD,

.•.A2=CD=4&,OA=OC=5,

VBC=12,

：.BO=7,

设0/7=x,贝i]BH=7-x,

由勾股定理得，(472)2-。-无)2=52-/,

解得，尤=3,

：.0H=3,

AAH=4,

；・CH=8,

在RtZXCHA中，AC=JAH2yH2==4病;

(3)如图，:边bG上的点。是四边形EbGH的“等形点”,

:•△OEF咨AOGH,

：.ZEOF=ZHOG,OE=OG,/OGH=/OEF,

・：EH〃FG,

：.ZHEO=ZEOF,NEHO=NHOG,

：.ZHEO=ZEHO,

：.OE=OH,

：.OH=OG,

：.OE=OF,

・OF—[

OG

7.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起

来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现：

如图1,若△A8C和△AOE是顶角相等的等腰三角形，BC,分别是底边.求证：BD

=CE；

(2)解决问题：

如图2,若△AC8和△OCE均为等腰直角三角形，ZACB=ZDCE^9Q°,点A,D,E

在同一条直线上，CM为△OCE中边上的高，连接8E,请判断NAEB的度数及线段

CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.

【分析】(1)根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形,证明△A3£>名△ACE(SAS),

即可得BZ)=CE；

(2)根据△AC8和均为等腰直角三角形，可得△ACO也△BCE(SAS),即有AQ

=BE,NADC=NBEC,从而可得NBEC=/A£>C=135°,即知/AE8=N8EC-ZCED

=90°,由CO=CE,CMLDE,ZDCE=90°,o\^DM=ME=CM,AE=AD+DE

=BE+2cM.

【解答】(1)证明：•••△ABC和△AOE是顶角相等的等腰三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC-/DAC=ZDAE-ZDAC,即NBAD=ZCAE,

：.AABD^AACE(SAS),

:.BD=CE；

(2)解：ZAEB=90°,AE=BE+2CM,理由如下：

如图：

AACB和△QCE均为等腰直角三角形，

：.AC=BC,DC=EC,ZACB=90°=ZDCE,

：.ZACD=ZBCE,

.,.△ACDmABCE(SAS),

：.AD=BE,NADC=NBEC,

：AC£>£是等腰直角三角形，

；.NCDE=NCED=45°,

AZA£)C=180°-ZCD£=135°,

AZB£C=ZA£)C=135°,

:./AEB=NBEC-NCED=135°-45°=90°,

,:CD=CE,CM1.DE,

：.DM=ME,

:NDCE=90°,

：.DM=ME=CM,

：.DE=2CM,

：.AE=AD+DE=BE+2.CM.

8.在△ABC中，AC^BC,点D在线段AB上，连接CD并延长至点E,使DE=CD,过点

E作EF_L4B,交直线A8于点?

(1)如图1,若NACB=120°,请用等式表示AC与跖的数量关系：.

(2)如图2.若/AC8=90°,完成以下问题：

①当点点/位于点A的异侧时，请用等式表示AC,AD,。尸之间的数量关系，并说

明理由；

②当点。，点尸位于点A的同侧时，若DF=1,AD=3,请直接写出AC的长.

cc

c

图1E图2备用图

【分析】（1）过点C作CGLA2于G,先证明△EDP0Z\CDG,得到E/=CG,然后等

腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；

（2）①过点C作C//LA2于X,与（1）同理，证明△即尸名^。以，然后证明△AC"

是等腰直角三角形，即可得到结论；

②过点C作CGJ_4B于G,与（1）同理，得/XEDF咨ACDG,然后得到AACG是等腰

直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案.

【解答】解：（1）过点C作CGJ_AB于G,如图1,

：.ZEFD=ZCGD=90°,

'：ZEDF=ZCDG,DE=CD,

:.△EDFQXCDG(AAS),

：.EF=CG；

在△ABC中，AC=BC,ZACS=120°,

•'-ZA=ZB=yX(180°-120°)=30°，

CG蒋AC，

；•EF=yAC；

故答案为：EF卷AC；

（2）①过点C作CH_LAB于77,如图2,

B

/DH

E图2

与（1）同理，可证△£!加丝△C£>8,

：.DF=DH,

:.AD+DF=AD+DH=AH,

在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,

AABC是等腰直角三角形，

；./CAH=45°,

•••△ACH是等腰直角三角形，

,V2

••AD+DF=^AC：

②如图3,过点C作CGLAB于G,

与（1）同理可证，AEDF2ACDG,

:.DF=DG=\,

'：AD=3,

当点尸在点A、。之间时，有

；.AG=l+3=4,

与①同理，可证AACG是等腰直角三角形,

•••AC=V2AG=4V2；

当点。在点A、歹之间时，如图4：

：.AG=AD-DG=3-1=2,

与①同理，可证AACG是等腰直角三角形,

综合上述，线段AC的长为4点或

9.已知△ABC四△DEC,AB^AC,AB>BC.

(1)如图1,CB平分NACO,求证：四边形ABAC是菱形；

(2)如图2,将(1)中的绕点C逆时针旋转(旋转角小于NA4C),BC,的

延长线相交于点凡用等式表示/ACE与NE尸C之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,将(1)中的△(?£)£绕点C顺时针旋转(旋转角小于NA2C),若NBAD=

ZBCD,求乙4。2的度数.

【分析】(1)根据全等三角形的性质得到AC=DC,根据角平分线的定义得到NDCB=

ZACB,证明四边形ABC。为平行四边形，根据菱形的判定定理证明结论；

(2)根据全等三角形的性质得到/ABC=NZ)EC,根据三角形内角和定理证明即可；

(3)在AO上取点使AM=BC,连接证明△AMBgZkCBD,得到

NA8M=NC£>2,根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案.

【解答】(1)证明：:AABC咨ADEC,

：.AC=DC,

\"AB=AC,

：.ZABC^ZACB,AB^DC,

•.•(78平分/4。，

；.NDCB=NACB,

・•・NABC=/DCB,

：.AB//CD,

・・・四边形ABDC为平行四边形，

*：AB=AC,

・•・平行四边形A5DC为菱形；

(2)解：ZACE+ZEFC=180°,

理由如下：,:△XB8XDEC,

：.ZABC=/DEC,

：.ZACB=ZDEC,

VZACB+ZACF=ZDEC+ZCEF=180°,

:・/CEF=ZACF,

VZCEF+ZECF+ZEFC=180°,

AZACF+ZECF+ZEFC=180°,

AZACE+ZEFC=180°；

(3)解：如图3,在AO上取点M,使连接

在△AMB和△C5O中，

.♦.△AMB咨LCBD(SAS),

:・BM=BD,NABM=/CDB,

・•・ZBMD=NBDM,

ZBMD=ZBAD+ZMBA.

・•・/ADB=/BCD+/BDC,

设N3CD=N3AO=a,ZBDC=p,则NAOB=a+0,

,:CA=CD,

：.ZCAD=ZCDA=a+2p,

：.ZBAC=ZCAD-ZBAD=2^,

：.ZACB=AX(180°-20)=90°-p,

ZAC£>=90°-p+a,

ZACD+ZCAD+ZCDA=180°,

A90°-B+a+a+20+a+2B=18O°,

・・・a+0=3O°,即NADB=30°.

cE

图3

10.问题提出

(1)如图1,A。是等边△ABC的中线，点尸在的延长线上，且AP=AC,则NAPC

的度数为.

问题探究

(2)如图2,在△ABC中，CA=CB=6,ZC=120°.过点A作A尸〃BC,SLAP=BC,

过点尸作直线分别交AB、8C于点O、E,求四边形OECA的面积.

问题解决

(3)如图3,现有一块△A8C型板材，/AC8为钝角，ZBAC=45°.工人师傅想用这

块板材裁出一个AAB尸型部件，并要求NBAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上

的作法如下：

①以点C为圆心，以C4长为半径画弧，交AB于点。，连接C。；

②作CD的垂直平分线I,与CD交于点E；

③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线/于点P,连接AP、BP,得AABP.

请问，若按上述作法，裁得的型部件是否符合要求？请证明你的结论.

【分析】(1)根据等边三角形的性质得到A2=AC，/BAC=60。，根据等腰三角形的三

线合一得到/B1C=3O°,根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算，得到答案；

(2)连接尸2,证明四边形PBC4为菱形，求出尸2,解直角三角形求出BE、PE、OE,

根据三角形的面积公式计算即可；

(3)过点A作。的平行线，过点。作AC的平行线，两条平行线交于点孔根据线段

垂直平分线的性质得到根据等边三角形的性质得到NB4F=60°,进而求出/

氏4尸=15°,根据要求判断即可.

【解答】解：(1);△ABC为等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=6Q°,

,：AD是等边△ABC的中线，

AZPAC=—ZBAC=30a，

2

"JAP^AC,

：.ZAPC=—X(180°-30°)=75°,

2

故答案为：75°；

(2)如图2,连接P8,

'：AP//BC,AP=BC,

...四边形PBCA为平行四边形，

,:CA=CB,

平行四边形PBCA为菱形，

：.PB=AC=6,ZPBC=180°-ZC=60°,

:.BE=PB0sNPBC=3,PE=PB*sin/PBC=3M,

：CA=CB,NC=120°,

AZABC=3Q°,

：.OE=BE-tan/ABC=