2024高考数学二轮复习：弦中点与第三定义（点差法）

专题10圆锥曲线——弦中点与第三定义（点差法）

■93：XTXftiWW

椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆工+

2点，且弦不平行》轴，M为线段

a1

AB中点，则有人.”一1

乃+

证明（点差法）：设4（%，乂），5（12，%），则MX]+x2y2

22

"+为乃,,22

kJ—必一方2

,^AB-，K/B-KOM_22

Xj

再+%2—X2

VA,B在椭圆上，代入A,B坐标得

2222

工+『o工+止=1②

/b2/b2

22222

西-x必一打2b2

两式相减得:2」+-=0,整理得

12221

ab$-x2a

..._按一

■2-i

••KAB'KOM=—一2~e

a

【思考】

①椭圆焦点在y轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？

x+x

设4(%,乂)，B(x,y),则xx2

2222

22

仍有心^花'配

y一%k-kJ—乃

^AB^OM22

xx-x2再一天

22

Xy_

L=1上，代入A,B坐标得

a2

4=i

①②

a

.22222

Xy—X,一%a

,2,Ji-y2整理得K

22222

bax1-x2b

a2

b2

可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式.也就是说，已知弦的中点，可

求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标.同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与

弦的中点时，就可以考虑“点差法诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较

为常见题型.

那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢？其实不然.其实点差法的内核还

是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也

是第三定义的体现.

第三定义：平面内与两个定点4(-a,0),43,0)的斜率乘积等于常数e?-1的点的轨迹叫做椭圆或

双曲线(不含两个顶点).其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于一1小于0时为椭圆，此

时/-1=——-；当常数大于0时为双曲线，此时e~—1=).

aa

【第三定义推广工平面内与两个关于原点对称的点A(jn,n),B(-m,-n)的斜率乘积等于常数

b2

/9—I的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.当常数大于一1小于0时为椭圆，此时71=—_当常数大

于0时为双曲线，此时/一1=不

22

【证明】48是椭圆=+4=l(a>b>0)上的一组对称点，尸为椭圆上任意点，则有

b~

证明(点差法)：设。(国,乂)，A(x2,y2),B(-x2,-y2),

VP,A在椭圆上，代入坐标得

22222272

两式相减得：—+—=0,整理得好多=-"

法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的

b2

k.k—k.k

rvrvrv=e'-1

PA、PBOMPBa2

【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？

设。（x，y）,/（X2，”），B（—%，—”），

22

__y^=i①

a2b2

22

"b2

2_22_22_2/2

两式相减得：'二工」二」整理得"，一匕，=二

abX1一％Q

・・kPA-kPB—kPB-k（

Q

商考真题•回顾

2022年全国甲卷（理）T10——第三定义

22

1,椭圆C:\+==l（a>6>0）的左顶点为/,点尸，0均在C上，且关于y轴对称.若直线/P,4。的斜

ab

率之积为!，则。的离心率为（）

4

A.—B.—C.7D.-

2223

【答案】A

2122

【分析】设尸（项,“），则。（一再,,），根据斜率公式结合题意可得—2=再根据1+4=1,将必

；

-X+a4ab

用占表示，整理，再结合离心率公式即可得解.

【详解】［方法一］:设而不求

设尸（再，姓）,则。（一再,必）

则由心得：如血°=七.七

22

一再+CL4

22

由下｝=1，得必2

“（。~一婷）/1

所以―/一_1,即勺

----2=~a4

—X]+Q4

所以椭圆C的离心率0=£=、1^=@,故选A.

a\a22

［方法二］:第三定义

设右端点为B,连接PB,由椭圆的对称性知：kPB=-kAQ

故kAP•kAQ=kPA-(-kpB)=,

由椭圆第三定义得：kPA-kPB=

a

44

所以椭圆。的离心率e=£=Jl-《=e,故选A.

a\a22

2023全国乙卷•理11•文12

2.设，，8为双曲线/-1=1上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【分析】根据点差法分析可得七/左=9,对于A、B、D:通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对

于C:结合双曲线的渐近线分析判断.

【详解】设/（王,/）,25,%）,则AB的中点”［网，必,

可得3g4七=一

xx-x2石+%2玉+X2

一2一

2

1

%-1

9一

-o

因为43在双曲线上，贝卜2

1

292-1

所以％•左=",々=9.

X]-x2

对于选项A:可得k=l,kAB=9,则48:歹=9x—8,

y=9x-8

联立方程Vv2,消去歹得72f—2X72X+73=0,

X2—=1I

9

此时A=（—2X72）2-4X72X73=-288<0,

所以直线与双曲线没有交点，故A错误；

995

对于选项B:可得上=_2,后科=_万，则=_QX_Q

95

片——x—

22

联立方程《2,消去y得45M+2x45x+6l=0,

X2-匕=1

9

此时A=(2x45)2-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直线与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C:可得左=3,您8=3,贝"48:歹=3x

由双曲线方程可得。=1,6=3,则Z5:歹=3x为双曲线的渐近线，

所以直线48与双曲线没有交点，故C错误；

997

对于选项D:k=4,k=-,则48:歹二二1一二，

AB444

（97

y=—x——

44

联立方程<2，消去V得63Y+126X—193=0,

丫2y-1

[9

此时A=1262+4X63X193>0,故直线48与双曲线有交两个交点，故D正确

2022•新高考II卷T16——弦中点

22

3.已知直线/与椭圆-+2=1在第一象限交于48两点,/与x轴，y轴分别交于M,N两点,

\MA^NB\,\MN^273,则/的方程为.

【答案】x+Cy-2亚=0

【分析】令的中点为£,设/（国,乂），8（%,%）,利用点差法得到七£•£«=-]设直线N8：=kx+m,

k<0,m>0,求出M、N的坐标，再根据求出左、m,即可得解；

【详解】[方法一]:弦中点问题：点差法

令48的中点为E,设/（国,%），8卜2，%）,利用点差法得到左OE•&B=-g,

设直线=H+加，k<0,m>0,求出M、N的坐标，

再根据求出左、m,即可得解；

解：令45的中点为因为|M4|=|AW|,所以|"E|=|NE|,

2222

设4（芯,必），3（入2/2）,贝+^—=1,-^―+-^―=1,

6363

2222（占一9）（再+%）।

所以工-2+里_江=0,即=0

663363

折以5+%）5一％）11一

-,即koE，kB=_、，设直线=+加，k<0,m>0,

（一一《）（国+》2）A

mI

令无=0得了=加，令y=o得了=一不，即M[一?,0,N（O，M,

所以£

m

gp^x-2-=-l解得左=_也或左=1（舍去）,

__rn_222

~2k

5L\MN\=2A/3,即|ACV|=J机2+(也"，=26，解得加=2或机=-2(舍去),

5

所以直线/3:y=-券x+2,即尤+贬了一2亚=0:

故答案为：x+岳-2后=0

［方法二］:直线与圆锥曲线相交的常规方法

解：由题意知，点E既为线段的中点又是线段MN的中点,

设/(xQi),B(x2,y2),设直线/8：>=b+"jk<0,m>0,

则"—十,(),N(0，M，E,因为|AW|=2括，所以|。同=石

y=kx+m

联立直线AB与椭圆方程得■x2y2消掉y得(1+2左2)，+4mH+2加之一6=。

—+—=1

[63

其中A=(4加左¥-4(1+2左2)(2加2一6)>0,玉+x2二一］彳；：2,

**•AB中点E的横坐标％E=-，黑2,又"I，*e*XE2mk_m

l+2kI2左2J\+2k2~~2Jc

,：k<0,m>0,：.k=-—,^\OE\=J(-—)2+(—)2=V3,解得m=2

211V2^2

所以直线=—当x+2,即尤+贬了一2亚=0

重点题型•归类精

题因O中点弦

人教A版(2019)选择性必修第一册习题3.1P14

Y2v2

I,已知椭圆二+2=1,一组平行直线的斜率是3一.

492

(1)这组直线何时与椭圆相交？

(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.

答案(1)直线与椭圆相交.(2)这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线3x+2y=0上.

3322

解析设这组平行线的方程为V=+〃7d巴V=5X+加代人椭圆方程上+匕=1,

2249

得9x2+6加x+2加2_18=0，其根的判别式A=36"，一36(2m2-18).

(1)由A>0,得-3也〈加<3a.所以当这组直线在了轴上的截距的取值范围是卜3四,3垃)时，直

线与椭圆相交.

⑵设直线V=TX+加被椭圆截得的线段的中点为M("),则X=,其中X],X2是方程

9x2+6mx+2m2-18=0的两个实数根.联立V=}+加和x=-g•，消去川，得3x+2〉=。.因此当这组

直线与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点均在直线3x+2y=0上.

2.给定双曲线X?-匕=1,过点尸。，1)能否作直线沉,使加与所给的双曲线相交于/、B两点,且尸是线

4

段的中点.这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在.说明理由。

分析：点差法解出y=2x-l.但是将代人双曲线方程得一元二次方程2——4X+3=0,此方程无实根，故

满足题设的直线不存在。

这种题型只要给出曲线方程，和一个定点坐标，利用点差法肯定能计算出以这一点为中点的直线方程。但

是如果忽视对判别式的考察.将得出错误的结果.所以解题时一定要注意点差法的不等价性，即考虑判别

式大于零。

同时由此题可看到中点弦问题中判断点尸的位置非常重要。

(1)若中点P在圆锥曲线内。则被点P平分的弦一般存在；

(2)若中点肘在圆锥曲线外.则被点尸平分的弦可能不存在.

3.已知中心在原点,焦点在x轴上,焦距为4的椭圆被直线/：y=x+3截得的弦的中点的横坐标为一2,则此椭

圆的方程为（）

%2/

——+—=1B.——+^—=1C.—+=1D+=1

426284-HT

【答案】C

22

【详解】解:由题设,若椭圆方程为5+%=1（a>6>0）,

令直线/与椭圆交点分别为4口,%）,3（9%）,

22222_22_2

则有乌+与=1①,q+与=1②，两式作差可得：五书=江声，

ababab

即%H.%+必=一勺,易知，弦的中点（―2,1）,所以必+歹2=2,再+工2=-4,

x2-X]%+再a

因为直线/：y=x+3,所以舄8=1,故左_1=一口,所以与=_1,

-2a1a22

又。=2,1-62=4,解得62=4,/=8,故石的方程为《+/_=1.

84

22

4,已知斜率为左的直线/与椭圆C:土+匕=1交于A,3两点，线段43的中点为河（1,加）（加>0）,那么左

43

的取值范围是（）

7117171

A.k<——B.——<k<—C.k>—D.k<——,或左〉一

222222

【答案】A

3

【解析】先设，（国,必），5（%2，歹2）,再由点差法求出左=--，再由点加〉0在椭圆内，求出冽的

4m

范围即可得解.

【详解】解：设/（再,%），B（x2,y2）,

22

又点A,3在椭圆C：土+幺=1上，

43

2222

则工+匕_=1,辽+红=1

4343

两式相减可得：,r）①+9+（必-%）5+%）=0

43

又上二――,玉+%=2,y+%=2nl

,3x.+x3

贝k=-----------?=---,

4yx+y24m

又点M（l,加）,加〉0在椭圆内，

1m2i

则nl一+——<1,

43

31

则0<冽<—,所以左<——

22

2023届•安徽省“江南十校”3月一模

22

5.已知直线/与椭圆£：5+5=1（。>6>0）交于两点，线段跖V中点尸在直线产-1上，且线段ACV

ab

的垂直平分线交工轴于点《,o],则椭圆E的离心率是.

【答案】q

2

【分析】利用点差法证明二级结论&W•左o尸=-勺，再结合既W•左PQ=-1,则两式相比可得管■=[■,即

a^PQa

%

/_b

%—示,代入/=T即可求出离心率.

3

xo+4

【详解】设M（X],必）,N（X2，%）,尸（%,%）,其中/=-1,显然点P在椭圆内，

记坐标原点为。，直线/，。「，尸。的斜率分别为Kw，自/>，原°,易知三条直线斜率均存在，

’一+左=1

又f’,两式相减整理可得之母小

名只a（项+%2）（再一%）2%

T+7T=1

〔ab

即左脑V,左0尸=一勺，又如N,女尸0=-1,所以两式相比可得=4,

a%a

A

/b22______

即1^=/，代入x°=T,整理可得土=L所以离心率e=£=3

------ja4a\a2

%+彳

2023•重庆巴蜀中学适应性月考（六）

22

6.已知双曲线彳-方=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为4，F2,过耳作直线/与双曲线的左、右两支分

别交于a2两点，设尸为线段的中点，若|OP|=|尸用=乎闺阊，则双曲线的离心率

为.

【答案】28/2立

33

【分析】由|0尸|=|%=。耳周可得点,求得岫,心，由点差法得以。=0=e?一1,可求得离心

率.

【详解】

如图:耳（-c,O）,&（c,O）,由|0尸闫明=乎闺用=圣,|四=c,可得点尸的坐标为

则直线0P斜率为七?=1,直线45斜率为k=kpF、=—^-

AB3

-+c

2

另一方面，设，（再/J,*%，%），则，

两式相减得亡反

a

b62*5痂b21

即F故Fb=—

k^kpo=2

/a3

22

7.已知椭圆3+斗=1（。＞6＞0）的右焦点和上顶点分别为点尸（。,0）仅＞。）和点A,直线/:6x-5y-28=0

ab

交椭圆于尸，。两点，若尸恰好为△4P0的重心，则椭圆的离心率为（）

A.—B.—

23

c由n2石

55

【答案】C

【分析】由题设P（c,0）,/（0,b）,利用尸为△/尸。的重心，求出线段尸0的中点为将3代入直

线方程得％-28=0,再利用点差法可得2/=5bc,结合力=从+02,可求出“，仇c,进而求出离心率.

【详解】由题设尸（c,O）,/（O,6）,尸（玉，必）,。（马,了2）,则线段尸0的中点为,

3c

由三角形重心的性质知N=2屈，即©-6）=2（%-c,%）,解得：/=万,%=-/b

即代入直线/:6x-5y-28=0,得9c+日一28=0①.

又8为线段尸。的中点，则Xj+x2=3c,必+y2=-b,

又尸，。为椭圆上两点，4+小信+专一

以上两式相减得（为+%）瓜一龙2）+（乂+%）"一%）=0,

ab

b1x+xb23c6

_*x____9—___x__—_

所以kPQ=-"一%化简得2/=56c②

2

xx-x2%+%«-b5

2023•福建厦门二模

22

8.不与x轴重合的直线/过点N（/,0）（WO）,双曲线C：三-4=1（。＞0,6＞0）上存在两点4B

ab

关于/对称，中点M的横坐标为功.若为=4均，则C的离心率为.

【答案】2

【分析】由点差法得左0M,结合k1kAB=_\得k0M=Q_。2）匕,代入斜率公式化简并利用=4x”可

求得离心率.

【详解】设/（石,必）,3（工2，%）也（如,加）,

22

再必

=1222

/b2,两式相减得父-%一%

则＜y2

22222

%2歹2aabb'

（X「X2）（X|+X2）（乂+%）（乂一%）

即

a2b2

（%一%）5+为）：："

即

（X1_%2）（玉+12）q2，

b2

所以kOMkAB=

a

2

因为/是ZB垂直平分线，有桃二-1,所以k°M=（l~e）klf

a=2y[5

即名£=（1一e?）.9化间得=故e=2①②及/=廿+^,解得：＜6=4,即离心率

XX

M，N

c=2

湖北省八市2023届高三下学期3月联考

9.已知抛物线/=2pxS>0)的焦点为尸，过点尸的直线与该抛物线交于42两点，以4=5及，”的中点

纵坐标为血，则夕=.

【答案】20或立

2

【分析】由题可设直线48的方程为x=+,/(国,%),8仁,为)，与抛物线联立可得交点坐标关系，根

据相交弦长公式及中点坐标公式即可求得P的值.

【详解】抛物线/=2.(〃>0)的焦点尸。,0)设直线ZB的方程为苫=叼+日，/(不,必),8(和%),

所以七匹=收，则%+%=2&,

_p_

联立<x叼+2,消去X得：y2_2pmy_p2=0,A=(—2p加J—4x(—p2)=4p?加2+彳夕？〉0,恒成立，

y2=2px

所以必+%=2p九%%二一)?，所以2pm=2也，则加=——

P

又\AB\=J1+加之®_%|=J1+加2

整理得：222+：-17=0,所以12夕一，［］夕一%［=0,解得夕=2a或

题园昌第三定义

课本习题

10.设4,B两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线/M,8W相交于点〃.

4

(1)若直线与5M的斜率之积是-可，求点〃的轨迹方程.

(2)若直线与5M的斜率之积是求点〃的轨迹方程

9

【答案】(D点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆石十画=l(x*±5)

~9~

【分析】

分析：设点M的坐标为(x,y),那么直线/血f,5M的斜率就可用含x,V的关系式分别表示.由直线

4

AM,9的斜率之积是可得出工,)之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程.

【解析】

设点V的坐标为(xJ),因为点力的坐标是(-5,0),所以直线4〃的斜率3放二-J(xw-5)同理，直线BM

x+5

的斜率演〃=­J(%w5)

X-J

由已知，有歹x一一=—(xw±5)

x+5x-59

22

二+2_=1行工+5)

化简，得点M的轨迹方程为25世1

.♦.点M的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的椭圆.

(2)同理可得」LX=_=3(XW±5)

x+5x-59

22

二—―=

l(xw+5)；

化简，得点〃的轨迹方程为25100~1

~9~

・•・点〃的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点的双曲线.

22

11.已知双曲线G：二-匕=1的左、右顶点分别为48,抛物线C2：「=4x与双曲线q交于C,D两点，记

直线NC,8。的斜率分别为左,内，则左人为.

【答案】二

2

【分析】利用对称性可得的C•心0=-3c&c,再设C(x0,九)结合双曲线的标准方程计算.

【详解】由题意4-2道,0）,3（2退,0）,由于双曲线与G：/=4无都关于X轴对称，因此它们的交点C,。

关于X轴对称，所以左一心C,

丫2v21

设C（%o，y（））,K'J—=1,yl=~XQ—10,

ZXJ1u/

kAC.kBD=-kAckBC=-=-1.

故答案为：-L.

2

22

12.已知椭圆C:云+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为E（-2,0）,F2（2,0）,A为椭圆C的左顶点，以电

为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M,N,若直线/M,/N的斜率之积为g,则椭圆C

的标准方程为（）

X22122

AB.二+匕=1cK

6295<4-

【答案】B

【分析】设出",N两点的坐标，根据已知条件列方程组，求得。'2,b2,从而求得椭圆C的标准方程.

【详解】设例（x0,%）,则N（-x。,外）,

22

迎+迎=1

a2b2

依题意,

%%就_1

XQ+a—XQ+aa~—xj3

a2-b2+c2-b2+4

解得/=6万=2,

22

所以椭圆C的标准方程为—+^-=1.

62

2024届•湖北省腾云联盟高三联考（10月）

2222

13.已知A,B是椭圆1+[=1（.>6>0）的左右顶点，P是双曲线「-5=1在第一象限上的一点，直线

ab"ab

PA,尸8分别交椭圆于另外的点M,N.若直线MN过椭圆的右焦点尸，且tan//MN=3,则椭圆的

离心率为.

2

【答案】f

【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得与《=-算8=-左斯，从而求得|吹|,进而结合正切的定义即可

求解.

【详解】由题意可知8(。,o),

设尸(%,%),可得直线的斜率分别为怎4=」^,即B=」^,

XQ+tZXQ—Q

因为点尸在双曲线上，则雪磐=1,整理得』———=:，所以kpA-kpB=l，

221PAps2

abx0-ax0+aaa

设点XU，M),可得直线M4,MB的斜率心=3^,kMB=^^t

/+Qxx-a

2272

因为点"(XQj在椭圆上，则与+咚=1,整理得工———=一二，

abxx-ax{+aa

k，k=

所以MAMB~~T,即kpA'kMB=-<,

aa

贝U既《=IPB=-kBN,所以直线A/S与NS关于x轴对称，

又因为椭圆也关于x轴对称，且M,N过焦点尸，则MV_Lx轴，

又尸(c,0),^\\MF\=\NF\=—,

/八…/八，厂a+ca2+aca7+ac

..tanZAMN=tanZ.AMF=-z—==-----=3

所以Qb2a2-c2,

a

整理得3c2+4c-2q2=o,即3/+e—2=(3e-2/e+l)=0,解得e=g,或e=-l(舍去)，

7

所以椭圆的离心率为

2

故答案为：j.

y।

2023届宁波二模T7——2条焦点弦平行

14.设椭圆「：二+与=1伍〉6〉0）的右焦点为6（C,O）,点/（3c,0）在椭圆外，P,0在椭圆上，且P

ab

是线段N。的中点.若直线P。，P尸的斜率之积为-；，则椭圆的离心率为（）

1V2

A.-B.D.

223

【答案】B

A21

【分析】利用中点弦问题结合点差法可得—=—即可求离心率.

a22

【详解】

如图，取尸，。的中点为连