2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-幂函数

专题20幕函数

【知识点梳理】

知识点一：塞函数概念

形如>=丁(。6尺)的函数，叫做暴函数，其中a为常数.

知识点诠释：

募函数必须是形如y=%a(acR)的函数，募函数底数为单一的自变量了,系数为1,指数为常数.例

如：y=3x4,y=/+i,y=(x—2)2等都不是事函数.

知识点二：幕函数的图象及性质

1、作出下列函数的图象：

-13

(l)y=x；(2)y=%2；(3)y=%2；(4)y=x；(5)y=x.

知识点诠释：

基函数随着a的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的嘉函数在(0,+8)都有定义，并且图象都过点(1,1)；

(2)a>0时，塞函数的图象通过原点，并且在区间［0,+◎上是增函数.特别地，当1>1时，塞函数的

图象下凸；当0<。<1时，幕函数的图象上凸；

(3)a<0时，幕函数的图象在区间(0,+oo)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象

在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+«)时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

2、作塞函数图象的步骤如下：

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幕函数的定义域为(0,+8)或［0,+8),作图已完成；

若在(-8,0)或(-8,0］上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3、嘉函数解析式的确定

(1)借助募函数的定义，设幕函数或确定函数中相应量的值.

(2)结合幕函数的性质，分析基函数中指数的特征.

(3)如函数/(x)=hx“是塞函数，求/(x)的表达式，就应由定义知必有左=1,即/(x)=x".

4、塞函数值大小的比较

⑴比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与。和1进行比较.常

称为“搭桥”法.

(2)比较嘉函数值的大小，一般先构造塞函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小.

(3)常用的步骤是：①构造累函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小.

【题型归纳目录】

题型一：塞函数的概念

题型二：塞函数的图象的应用

题型三：塞函数的单调性

题型四：塞函数的奇偶性

题型五：基值大小的比较

题型六：定点问题

题型七：定义域问题

题型八：值域问题

题型九：解不等式问题

题型十：塞函数综合问题

【典例例题】

题型一：塞函数的概念

例1.(2023・高一课时练习)下列函数为塞函数的是()

2

A.y=2x2B.y=2x2-1C.v=—D.y-x1

'x

【答案】D

【解析】由暴函数的定义可知：尸/是累函数，y=2x2,y=2Y_i和y=*的系数不为1,故不是幕函

X

数，

故选：D

例2.(2023•江西吉安・高一永新中学校考期中)下列函数是募函数的是()

A.y=x2-lB.y=x03C.y=TD.y=Q.3x

【答案】B

【解析】由幕函数的定义可知，B选项中的函数为幕函数，ACD选项中的函数都不是事函数.

故选：B.

例3.（2023•江西赣州•高一校考期中）在函数y='r，y=2x3,y=x2+x,y=l中，幕函数的个数为（）

x"

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】•••骞函数》=%

二y=’?=》2是幕函数，丁=2/不是幕函数，＞=/+尤不是幕函数，

x

y=i不是幕函数，比幕函数y=x°（xwo）的图象多一个点（。/），

.•.幕函数的个数为1.

故选：B.

变式1.（2023・江苏扬州•高一统考期中）已知事函数/。）=严的图像经过点（4,2）,则。的值为（）

A.——B.-C.—2D.2

【答案】B

【解析】因为稀函数/口）=/的图像经过点（4,2）,

所以2=4。，

所以a，

2

故选：B.

变式2.（2023•高一课时练习）已知幕函数l）x"的图象过点（"；），贝3+b等于（）

A.-B.0C.』D.1

22

【答案】B

【解析】因为/（力=伍-1）£是基函数，所以％-1=1,解得6=2,

又因为的图象过点（也,£|，可得若）=（若）"=g，解得a=-2,

所以a+6=-2+2=0.

故选:B.

变式3.（2023•浙江杭州•高一杭州市长河高级中学校考期末）已知幕函数“X）=W+2〃-2）•一”在（0,+动

上是减函数，则”的值为（）

A.-3B.1C.3D.1或-3

【答案】B

【解析】因为函数/（尤）是塞函数，则“2+2〃-2=1,

所以〃=一3或九=1.

当〃=-3时，〃%）=/在（0,+向上是增函数，不合题意.

当〃=1时〃尤）二/在（0,+8）上是减函数，成立.

故选：B.

变式4.（2023•黑龙江大庆•高一大庆中学校考期中）函数=（苏一相一1）”+3是塞函数，且在（0,+s）上单

调递增，则〃2）=（）

A.1B.211

C.g或2"D.2或2f

【答案】B

^2?—^2—］一］

,c「，解得加=2，〃2）=2”.

{4/77+3>0

故选:B

题型二：塞函数的图象的应用

例4.（2023•全国•高一专题练习）如图，下列3个塞函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）

11

A.@y=x-,②y=1,③>=£B.®y=x-,®y=^,®y=^

C.①,=尤（，②y=③/二X一D.①、=尤3,®y=X-',®y=^

【答案】A

【解析】由函数>=无一=」是反比例函数，其对应图象为①；

X

函数y=%=&的定义域为（0,+8）,应为图②；

1

因为y=?的定义域为R且为奇函数，故应为图③.

故选：A.

例5.（2023.黑龙江哈尔滨.高一统考期末）若点P（4,2）在塞函数“X）的图象上，则的图象大致是（）

【答案】B

【解析】设幕函数/（x）=x。，将点P（4,2）代入，得邛=2,解得"g，

所以/（©=%,定义域为［0,+8）,且在定义域内单调递增，大致图像为B,

故选：B.

例6.（2023・高一课时练习）已知累函数、且p,4互质）的图象关于y轴对称，如图所示，贝ij（）

y

B.q为偶数，p为奇数，且/＜。

C.q为奇数，p为偶数，且“＞。

q

D.q为奇数，p为偶数，且/＜。

【答案】D

【解析】因为函数、J的定义域为（-*。＞（。，+8）,且在（。,+8）上单调递减,

所以K＜0,

q

因为函数V_3的图象关于y轴对称，

y

所以函数）=/为偶函数，即P为偶数，

又〃、夕互质，所以q为奇数，

所以选项D正确，

故选：D.

变式5.（2023.全国•高一专题练习）已知嘉函数的图象经过点（8,4）,则4％）的大致图象是（）

y-

C

OX

【答案】C

【解析】设〃H=x"，因为"X）的图象经过点（8,4）,

22_

所以8"=4,即23“=22,解得a=§,则〃x）=/=痒，

因为〃_）=而彳=狂="尤），所以为偶函数，排除B、D,

因为/'（X）的定义域为R,排除A.

2

因为/"）=/在［0，+8）内单调递增，结合偶函数可得/（X）在（-*。］内单调递减，故c满足,

故选：C.

【答案】C

【解析】设暴函数的解析式为y=x。，因为该幕函数的图象经过点尸

所以2。=；,即2"=2-2,解得&=一2,

4

即该幕函数的解析式为y=H,其定义域为{%1/0},

为偶函数，且在(0,+00)上为减函数.

故选：C.

题型三：塞函数的单调性

例7.(2023•高一课时练习)下列函数中，在区间(YO,0］上为增函数的是()

A.y=~B.y——x2C.y=\［xD.y=—x3

X

【答案】B

【解析】由于y=!在(-应0)为单调递减函数，在x=0时无意义，A错误;

X

丁=一/在(—,0］为单调递增函数，B正确；

y=«定义域为［0,+刈，在(一%0)无意义，C错误；

>在(一8,0］为单调递减函数，D错误，

故选:B

例8.(2023•重庆•高一校联考期中)下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是()

2

A.y=—B.y=x2C.y=2-xD.y=-/

x

【答案】D

【解析】对于A,>=、在(0,—),(f,0)上为单调递减函数，但不是在定义域内单调递减，故A错误，

对于B,/(x)=VJ(-x)=x?J(x)=/(-x),故y=d为偶函数,故B错误,

对于C,y=2-X的图象为不经过原点的一条直线，故为非奇非偶函数，故C错误，

对于D,/(x)=-x3,/(-%)=X3,/(x)=-f(-%),故y=-V为奇函数，且y=d为定义域内的单调递增函

数，故y=-V为单调递减函数，故D正确，

故选：D

例9.(2023•辽宁丹东•高一统考期末)已知幕函数7'("的图象经过点卜,£|,则/(X)在定义域内()

A.单调递增B.单调递减C.有最大值D.有最小值

【答案】B

【解析】设〃x)=x"，则〃9)=9。=g,

I二1

所以a=—3，即/（尤）=尤2=丁,

则函数“X）的定义域为（0,+。）,

且在定义域内单调递减，没有最大值和最小值.

故选：B.

变式7.（2023•陕西咸阳•高一咸阳市实验中学校考阶段练习）下列函数中，在区间上是增函数的是

)

A.y=[x+l|+2B.>=3人『C.y=——D.y=-x+l

x

【答案】A

x+3,x>—1/、

【解析】对于A：y=|x+l|+2=_,所以满足在（-1,+8）上是增函数，故选项A正确;

JiIJi<L

%〉0

对于B：>=3国3=’3—八，因为y=/在R上是增函数，所以>在（T。）上单调递减，在

—3d,x<u

（0,+。）上单调递增，不符合题意，故选项B不正确;

对于C：v=-'在（-1,0）和（o,+8）上都是增函数，定义域为{xlxxo},不满足在上单调递增，故

X

选项C不正确;

对于D：>=-尤+1在（-1,-）上单调递减，故选项D不正确;

故选：A.

3

变式8.（2023•河南郑州•高一郑州市第七中学校考期末）函数/（幻=（6_尤一一户的单调递减区间为（）

A.[-<,2]B.[-3,-^]C.[-：,+(»)

D.

222

【答案】A

【解析】/⑺=(6-尤-£>=J(6一元—尤2丫,

由6-x-x?20得-3VxV2,5^6-x-x2=—fx+—+—,

I2j4

所以函数〃x)的单调递减区间为-；，2.

故选：A.

1

变式9.（2023・福建•高一厦门一中校考期中）已知函数/（幻=（炉_以+31的增区间为（）

A.（3,+oo）B.（2,+co）C.（-co,2）D.（-oo,l）

【答案】A

【解析】先求得函数的定义域，再令"/一4X+3,结合M的单调性，利用复合函数的单调性求解.由

y=

x~—4x+320,

解得x23或E,

因为f=/一4尤+3在（-8,1］递减，在B+8）递增，

又因为丫_1在［0,+s）递增，

所以“X）增区间为（3,+8）

故选：A

变式10.（2023•高一单元测试）累函数丫=尤八2〃-3是奇函数，且在（0,+8）是减函数，则整数。的值是（）

A.0B.0或2C.2D.0或1或2

【答案】B

【解析】由于事函数y=x"23-3是奇函数，且在（0,+8）是减函数，

故4-2。一3<0,且°2-2a-3是奇数，且。是整数，

二・一1vav3,〃£Z,

当a=0时，a2-2a-3=-3,是奇数，；

当。=1时，a2-2a-3=-4,不是奇数；

当。=2时，片-2a-3=-3,是奇数；

故a=0或2.

故答选：B

变式1L（2023・山西大同•高一统考期中）已知幕函数〃x）的图像过点g,4,则对“X）的表述正确的有

（）

A.是奇函数，在（0,+℃）上是减函数B.是奇函数，在（-8,0）上是增函数

C.是偶函数，在（。,+8）上是减函数D.是偶函数，在（-8,0）上是减函数

【答案】c

【解析】依题意可设

则g］=4,解得a=-2,所以/（x）=x-2,

故〃x）是偶函数，且在（-。,0）上是增函数，在（0,+。）上是减函数.

故选：C.

题型四：然函数的奇偶性

例10.（2023・山西吕梁•高一统考期中）累函数y=/（x）的图象过点（2,◎）,则关于该事函数的下列说法正

确的是（）

A.经过第一象限和第三象限B.经过第一象限

C.是奇函数D.是偶函数

【答案】B

【解析】因为暴函数y=/（x）=/的图象过点（2,3）,

L11

所以2。=后，解得£=5，所以/（x）=#=«，

定义域为。+8）不关于原点对称，

故/（幻既不是奇函数也不是偶函数，

由/（尤）=£=«20知，函数图象经过第一象限.

故选:B

例11.（2023.广东清远.高一校联考期中）已知幕函数〃x）的图像过点（2,8）,则〃尤）（）

A.是奇函数，在（0,+8）上是减函数

B.是偶函数，在（0,+<»）上是减函数

C.是奇函数，在（-8,。）上是增函数

D.是偶函数，在（-勿,。）上是减函数

【答案】C

【解析】设幕函数解析式为

因为幕函数的图像过点（2,8）,

:.”2）=2。=8,解得1=3,

则=

\“勾是奇函数，在R上单调递增，

故选：C.

例12.（2023・贵州毕节•高一统考期末）若幕函数"X）=（〃P+〃L19卜'"的图象关于y轴对称，则m=（）

A.一5或4B.-5C.4D.2

【答案】C

【解析】若幕函数〃x）=（病+加-19卜"'，贝I疗+机-19=1,解得；"=4或机=-5,

且塞函数“X）的图象关于>轴对称，则，"为偶数，故〃z=4.

故选：C.

225

变式12.（2023・广西贵港•高一统考期末）若幕函数〃同=3"+2”,+5的图象关于/轴对称，/⑺解析式的幕

的指数为整数，/（X）在（-双。）上单调递减，则机=（）

11491.7

A.—B.一或一C.——D.——或一

999333

【答案】D

【解析】由题意知/(尤)是偶函数，因为/>(X)在(-8,0)上单调递减，

所以-加+2"7+］为正偶数，

又—m2+2m+—=-(m-I)2+—<—,

999

3471

A-(m-l)2+—=2,解得加=］或—3.

故选：D.

变式13.(2023•广东珠海・高一珠海市第一中学校考期中)已知七+2(常数而。0)在(0,+司上有

最大值〃=3,若/(%)的最小值为N,则M+N=()

A.0B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】令g(x)=/(%)—2=^7aER),g(O)=/(O)-2=O,

所以g(-x)=/(-x)-2=_=所以g(x)为奇函数，

cueI-a

因为/■(X)在(o,+8)上有最大值M=3,所以g⑺在(o,+8)上有最大值1,

所以g(X)在(-8,0)上有最小值一1,即〃x)-2在(-<»,0)上有最小值-1,

所以/'(%)在(一8,0)上有最小值1，即N=l,则M+N=4.

故选：C.

题型五：然值大小的比较

例13.(2023•广东深圳•高一深圳市罗湖高级中学校考期中)已知暴函数〃%)=(加-"Li)》用，对任意的

外e(O,y)且&WK?,满足若a,Z?GR,a+l+b<0,则/(1+。)+/0)的值()

石一工2

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

【答案】B

【解析】：已知函数/(%)=(疝-是哥函数，

nf-m-\=\,m=2,或〃?=-1,f(x)=x7,或=

对任意的％,X?€(0,4<o)且无产马,满足“*)"%)>0,

故/（X）是增函数，，〃尤）=/

若〃，Z?GR,a+l+b<0,即a+lv-Z?,

（6Z+1）7<（-Z?）7,即（〃+1）7<-几即（〃+1）7+Z?7<0.

贝1JF（。）+/（8）=（。+1）7+/<。，

故选：B.

例14.（2023•吉林・高一吉林毓文中学校考阶段练习）已知则下列不等关系中一定成立的是（）

A.ab<b2B.a2>b2C.D.o）>b3

ab

【答案】D

【解析】对于A选项，取a=2,b=l,满足a>。，但是必=2>〃=i,故A错误，

对于BC选项，取〃=1,b=-2f满足，但是/=1<。2=4,—=1>y=-^-,故BC错误，

ab2

对于D选项，因为函数y=d在R上单调递增，所以由可得故D正确，

故选：D.

42\

例15.（2023•山东聊城・高一山东聊城一中校考期中）已知°=出［6=5'=由"贝U（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a>b>cD.b<c<a

【答案】B

421

222

化简"［口,7霜。=。

2111

因为基函数y=/在（0,y）上单调递增，而

222

所以imj

故选：B.

变式14.（2023•辽宁葫芦岛•高一校联考期中）设为=1产，H=8",为=13006,则（）

A.B.C.%>%>%D.

【答案】D

【解析】由题意可知，%=112=（la）。'：］21。.6,

%=814=（23）1,4=24-2=（27）0,6=1280-6,

因为3=产在（0,+8）上是增函数,130>128>121,所以%>%>%.

故选：D.

变式15.（2023•福建南平•高一统考期中）下列比较大小中正确的是（）

A.ir<ir

33

C-(-2.1"<(-2.2)下

【答案】C

【解析】对于A选项，因为>=户在［0,供）上单调递增，所以（铲5<《严，故A错误,

对于B选项,因为y*在y,0）上单调递减，所以（、尸>（-/—,故B错误,

33

对于C选项,>=必为奇函数，且在［0,+◎上单调递增，所以、=尸在（-8,0）上单调递增,

3

333

1175,7

因为(-2.2)；又(-2.1》<

33

所以（-2,1）7<（一2.2尸,故C正确,

4

对于D选项，）户在0+8）上是递增函数,

]9

又（一9=（1］,所以（手\与，所以>(?3,故D错误.

故选：C.

题型六：定点问题

例16.（2023•上海徐汇•高一统考期末）当aeR时，函数y=尤"-2的图象恒过定点A,则点A的坐标为

【答案】（I,」）

【解析】由于对任意的aeR,>=尤。恒经过点（LI）,所以函数y=x“-2的图象恒过定点A（L-l）,

故答案为：（1,-1）

例17.（2023・上海徐汇•高一位育中学校考阶段练习）已知/（x）=（2x-l）"+l,则函数y=/（x）的图象恒过的

定点尸的坐标为

【答案】（1,2）

【解析】令=得x=l,y=2,

故函数Ax）图象过定点尸（1,2）,

故答案为：（L2）

例18.（2023・高一课时练习隔函数y=xa（aeR）的图像恒过定点

【答案】（1,1）

【解析】哥函数＞=eR）的图像恒过定点（1,1）.

故答案为：（1,1）

变式16.（2023・高一课时练习）有关塞函数的下列叙述中，错误的序号是.

①塞函数的图像关于原点对称或者关于,轴对称；

②两个募函数的图像至多有两个交点；

③图像不经过点（-1,1）的嘉函数，一定不关于y轴对称；

④如果两个幕函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同.

【答案】①②④

【解析】①，＞=不关于原点对称，也不关于，轴对称，所以①错误.

fx=0

②④，由[y=x3解得[x=l1或[x=-l1或1八，

[y=X[y=l[y=-l[y=o

即基函数＞与y=/有3个交点，所以②④错误.

③，由于塞函数过点。,1）,所以图像不经过点（-M）的幕函数，一定不关于y轴对称，③正确.

故答案为：①②④

变式17.（2023•陕西渭南•高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知函数/（x）=2+£（。为不等于0的常数）的

图象恒过定点P,则P点的坐标为.

【答案】（1,3）

【解析】因为y=x"的图象恒过（1,1）,

所以〃x）=2+x。的图象恒过定点P（l,3）.

故答案为：（1,3）

变式18.（2023•河南濮阳•高一濮阳一高校考期中）不论实数。取何值，函数y=（x-l）"+2恒过的定点坐标

是.

【答案】（2,3）

【解析】因为1。=1,故当X-l=l,即无=2时，＞=3,

即函数丫=（尤-1）"+2恒过定点（2,3）.

故答案为：（2,3）.

题型七：定义域问题

例19.（2023•浙江•高一校联考期末）已知募函数y=-3ax。，则此函数的定义域为.

【答案】（―8,o）u（o,y）.

1-i1

【解析】由幕函数y=-3'，可得-3q=1,解得4=q，即y=/=我，

则满足XHO,即幕函数、=的定义域为0）U（0,+«）.

故答案为:（-x,o）u（o,y）.

3

例20.（2023,JWJ一*课时练习）幕函数y=冗5的定义域是.

【答案】［0,+。）

3

【解析】由于>=虹="，

3

所以募函数y=#的定义域是［。,+e）.

故答案为：［。,+8）

例21.（2023•全国•高一专题练习）已知幕函数〃尤）=|3-2处,的定义域为［°，+8），则实数〃，=

【答案】1

【解析】由题意得到|3-2叫=1,解得：m=1或机=2,

当机=1时，/（x）=G,定义域为［0,+。），符合题意；

当〃z=2时，f（x）=x,定义域为R,不符合题意.

故m=1.

故答案为：1

变式19.（2023・上海青浦•高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）函数y=的定义域是—

【答案】［1,田）

【解析】；y==Jx-1，.,.X-l>0,解得：X>1,

y=（x-l）；的定义域为［1,+OO）.

故答案为：［1,+8）.

变式20.（2023・高一课时练习）若（3x+J有意义，则实数x的取值范围是

【答案】［-§,+8）

【解析】直接根据负数不能开偶次方根求解.若（3x+i）；有意义，

则3x+l>0,

解得

所以实数X的取值范围是,+8）,

故答案为：,+8）

*

变式2L（2023•山东荷泽高一阶段练习）已知/（%）=万；+（3x+l）°,则/（九）的定义域为.

【答案】（-00,--）^（--,2）

【解析】要使函数有意义，则需解得x<2且xw-：,所以其定义域为

[3x+lw03<3JV3J

故答案为：（一ga]

题型八：值域问题

例22.（2023•黑龙江鸡西•高一鸡西市第四中学校考期中）函数y=/在区间[—%—2]上的最小值是.

【答案】-1/-0.125

8

【解析】解析：因为函数>在（-8,0）上单调递减，

X

11

所以当x=-2时，％，加=（-2）一=存歹=一§.

故答案为：

O

x,0<x<1,

例23.（2023・高一课时练习涵数〃无）=11的值域为________.

一,x之L

【答案】[0,1]

【解析】0<尤<1时，/（X）=XG[0,1）,

时，/（x）=^e（O,l],

所以〃x）的值域为[0,1].

故答案为：[0』

例24.（2023•河北石家庄•高一石家庄市第九中学校考期中）若幕函数Ax）的图象过点（4,2）,则/（x）的值

域为.

【答案】（0,+8）

【解析】设〃x）=/,因为幕函数“X）的图象过点（4,所以4“=±=4-2

\lo/io

所以。=一2,所以/（%）=%-2=/_£（0,+co）

故答案为：（。,+00）

（ba<b

变式22.（2023.全国•高一专题练习）已知max{a,6}=厂一设函数〃x）=max{N，/},其定义域为

Itz,a>b

{x|x<0或x>0},则函数〃尤）的最小值为.

【答案】1

fIY|x<—1nl/v>1

【解析】根据定义得到/（》）=I2二〜1，然后利用分段函数的性质求解.由题意得：

［X1<x<1

“加4:T或产，

当了<-1或时，/（x）>1,

当一1V%V1时，/（%）>1,

综上：函数“X）的最小值为1,

故答案为：1

21

变式23.（2023•高一课时练习）己知暴函数y=该函数的值域为.

【答案】

［0,+<»）

【解析】根据募函数的定义，得。=1,函数为>=尤5,由图象得函数的值域为［0,+e）,

故答案为：［。,+8）.

变式24.（2023•高一课时练习）已知幕函数/（X）的图象过（2,4）,那么/⑴在。e］上的最大值为

【答案】/

【解析】设/（尤）=/,因为〃尤）的图象过（2,4）,

:.T=4,解得a=2,

/（x）=x2

/（X）在［0,e］上是单调递增的

/（无）在［0,e］上的最大值为F（e）=",

故答案为:e?

题型九：解不等式问题

例25.（2023・重庆•高一校联考期末）已知函数=若〃a+l）<〃3-2a）,则实数〃的取值范围

是（）

C.（4,+00）

【答案】B

【解析】/（X）=|+g为偶函数，且在（。,+8）上递减.

Vf（«+l）＜/（3-2fl）,

+1|＞13—2al+＞（3-2a），

a+1^0,3—2aH0,；.aH—1且a力：，ae,

故选：B

例26.（2023・甘肃张掖•高一统考期末）已知基函数〃x）的图象过点（2,32）,若〃。+1）+〃-1）＞0,贝的

取值范围为（）

A.（2,+8）B.（L+°°）C.（0,+oo）D.（-l,+oo）

【答案】C

【解析】设基函数y=/（x）=j,其图象过点（2,32）,所以2。=32,解得£=5,

所以/。）=4.

因为〃_x）=（r）5=_〃x）,所以/（力=/为奇函数，且在R上单调递增，

所以/（。+1）+/（-1）＞0可化为/（a+l）＞_/（-l）=/（l）,

可得a+l＞l,解得＜7＞0,所以。的取值范围为（。,+8）.

故选:C.

例27.（2023•河南洛阳・高一统考期中）已知累函数y=〃x）过点（2,0）,则/（x+l）＜2的解集为（）

A.[—1,4）B.[—1,1）C.[—1,3）D.（―cc,3）

【答案】C

【解析】设〃x）=x"，贝1」〃2）=2。=逝，则。=（.."（力=£=五,

由〃7+1）=4+1＜2可得℃+1＜4,解得-lVx＜3,

因此，不等式〃x+l）＜2的解集为

故选：C.

变式25.（2023•江苏苏州・高一星海实验中学校考期中）不等式（%+i产<（3-2%产的解为（）

2

A.（。,+8）B.——,+00

3

【答案】D

【解析】尸；3定义域为（-8,0）1；（0,口），且在（-8,。）与（0,+8）上均为减函数,

且当了£（-co,0）上，,=/<（）恒成立，当X«0,+co）上，,=/>0恒成立,

x+1<0x+l>0

x+l<0

故①或3—2%<0②或<3-2无>。③,

3-2x>0

3-2x<x+13-2x<x+1

解①得：x<—1,

解②得：0,

23

解③得：-<x<-,

综上:不等式的解为（-s，T）U

故选：D

11

变式26.（2023•浙江温州•高一温州中学校考期中）若（2m+l）d>（加_机-3>,则实数机的取值范围是（）

（1-V131

B.一品

122」

1+巫j

C.（-1,4）D.

丁’1

【答案】D

1

【解析】解:由题知构造/（%）=/,（工>0）,

由幕函数性质可知/（%）单调递增，

（2m+1）6>（〃，一〃?一3尸,

2m+1>0

<m2-m-3>0

2m+l>m2-m-3

m>

2

1+V13,1-而

m>--------,m<----------

22

-1<m<4

…,FI+A/13八

综上:Mie---,4.

,2J

故选:D

变式27.(2023•福建三明•高一校联考期中)若伍+1屋(3-21，则实数。的取值范围是()

222323

A.[§,+co)B.(—co,-]C.(-,—]D.[-,—]

【答案】D

11

【解析】不等式(4+1)52(3-2a)5可化为:

a+l>0

23

3-2^>0,解得：

32

〃+123—2〃

故选：D

变式28.(2023・高一课时练习)己知嘉函数^f(a+l)<f(10-2a),则。的取值范围为()

A.(—3,5)B.(一5,3)C.(—5,—3)D.(3,5)

【答案】D

【解析】因为幕函数=的定义域为(0,+“)，且〃尤)是定义域上的减函数，

Q+1>0,

所以若/(a+l)<〃10-2a),则10-2a>0,解得3<。<5.

〃+1>10-2a,

故选：D.

变式29.(2023•山东泰安・高一山东省泰安第二中学校考阶段练习)已知幕函数/(%)=(6-2°-2卜(eR)

在(0,+8)上单调递增，不等式/口+5)</(/_3q的解集为()

A.(-8,-5)一(1,也)B.(5,包)C.(-1,5)D.(-5,1)

【答案】B

【解析】因为函数/(元)=(〃—2a-2)x"(aeH)为暴函数，所以/_2a-2=1,解得。=3或a=T,

又塞函数〃x)=侬-2a-2卜"(aeR)在(0,+8)上单调递增，

所以a=3,此时/(%)=%3在R上单调递增，

因为/(尤+5)</(尤2-3何，所以尤+5</一3》，解得X>5或X<—1,

所以不等式/(x+5)<f(^-3x)的解集为(一8,-1)(5,+8),

故选：B.

题型十：幕函数综合问题

例28.(2023・四川广安•高一校考阶段练习)已知募函数=(一+%-5卜(〃zwR)在(O,+s)上单调递

增.

⑴求m的值及函数〃x)的解析式；

(2)若函数g(无)=电(x)T+2依+1-a在［0,2］上的最大值为3,求实数0的值.

【解析】⑴嘉函数“X)=(一+%-5卜(小eR)在(0,+“)上单调递增,

故『十:一：一1，解得％=2,故/(x)=x)

［m+l>0

(2)由(1)知：/(x)=%3,

所以g(x)=—，［/(力］2+2ax+l-a=-x2+2ax+l-a,

所以函数g(x)的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线1=〃；

由于g⑺在［。，2］上的最大值为3,

①当〃22时，g(x)在［0,2］上单调递增，故g(x)a=g(2)=3a-3=3,解得〃=2；

②当时，g(x)在［0,2］上单调递减，故g(x)皿=g(0)=l—a=3,解得〃=一2；

③当0<a<2时，g(x)在［0,。］上单调递增，在2］上单调递减，故8⑺回=g(a)=Q2+i_Q=3,解得

a=-1(舍去)或a=2(舍去).

综上所述，a=±2.

例29.(2023•高一单元测试)已知事函数〃x)=(1-5根+7卜g(meR)为奇函数.

⑴求的值；

(2)若/(2°+l)>/(a),求实数。的取值范围.

【解析】(1)由m2—5相+7=1,得根=2或机=3,

当“=2时，/(x)=x-3是奇函数，满足题意，

当机=3时，/(x)=xT是偶函数，不满足题意，

所以小)=二，=

(2)因为/("=二的定义域为(—8,0)U(0,+a)),单调减区间为(-00),(0,+功,

由/(2«+1)>/(«),可得2Q+1<〃<0或0<2〃+1<〃或2a+l>0>〃，

解得av—l或-;<QV0,

所以实数〃的取值范围为或-g〈Q<0.

例30.(2023•辽宁辽阳•高一校联考期末)已知事函数〃刈=("+a-5卜。为奇函数.

⑴求〃x)的解析式；

91

⑵若正数根/满足3帆+12〃+5a=0,若不等式一+―源恒成立.求8的最大值.

mn

【解析】⑴./(X)为幕函数，，a2+a_5=l,解得：。=2或a=-3；

当a=2时，"x)=f,贝iJ/(—x)=f=/(x),即〃尤)为偶函数，不合题意，舍去；

当a=-3时，/(x)=x-3,贝厅(―x)=-x—3=—〃x),即为奇函数，符合题意；

综上所述：f(x)=x\

(2)由(1)得：3%+12〃=—5a=15,BPm+4n=5,又相>0,n>0,

911/4\191m36nyif。36〃11__,m36n

.,.一十―加+4〃)—+—=-13+—+>-13+2J------=：x(l3Z1+]21)=5(当且仅n当t_z=-----，

mnjnJ5nmJ51Vnm]5nm

即加=3,〃时取等号)，

…超ax=5.

变式30.(2023•辽宁葫芦岛•高一统考期末)已知暴函数〃尤)=(苏-3加+3)”-后是偶函数.

⑴求函数的解析式;

⑵若〃2X—1)</(2T),求x的取值范围.

【解析】⑴己知事函数〃元)=(病一3机+3)/“扇，贝1|加-3m+3=1,解得机=1或m=2,

所以或/⑺=/，又函数为偶函数，所以/⑺=_/；

⑵由于募函数”司=/在[0,+e)上单调递增，又函数