2024年中考数学复习几何辅助线进阶训练-矩形的辅助线

初中几何辅助线进阶训练—矩形的辅助线

一'阶段一（较易）

1.如图，四边形ABCD是矩形，点E是BC延长线一点，连接DE,BF垂直平分DE,垂足为F,点G

在BE上，点H在ZB上，S.GH//DE.

(1)若BC=3,CE=2,求

(2)若GE=4D+BG,求证：GH=EF.

2.如图，在长方形ABCD中，AB=8,GC=1,AE平分/BAG交BC于点E,E是BC的中点,

则AG的长为.

3.如图，四边形4BCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若=2,AC=3,则矩形

4EFC的面积为（）

A.3B.2V5C.4V5D.6

4.如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=38，NCBD=30。，点M是射线BD上一点（不与点

B,D重合），连接AM,过点M作MN1AM交直线BC于点N,若△BMN是等腰三角形，贝U

BN=.

5.如图，已知在△OAB中AO=BO,分别延长AO,BO到点C、D,使得OC=AO,OD=BO,连

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)以AO,BO为一组邻边作平行四边形AOBE,连接CE.若CELAE,求NAOB的度数.

6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，作点B关于点E的对

(1)求证：四边形2DCF为矩形；

(2)若4。=BC,AB=2遮，求BF的长.

7.如图，△ABC中，AB=AC,AD为BC上的高线，E为AB边上一点，EFLBC于点F,交CA

的延长线于点G已知EF=2,EG=3.则AD的长为.

8.已知，在长方形ABCD中，AB=8,BC=6,点E,F分别是边AB,BC上的点，连接DE,

DF,EF.

（1）如图①，当CF=2BE=2时，试说明ADEF是直角三角形;

（2）如图②，若点E是边AB的中点，DE平分NADF,求BF的长.

9.如图，在矩形ABCD中，BC=4,AE±BD,垂足为E,ZBAE=30°,那么△ECD的面积是

（）

A.2V3B.4V3C.8V3D.

10.如图，在矩形中，AB=1,4。=2,点M在边BC上，若平分ZDMB,贝UCM的长是

A.3A/2B.2A/6C.2V5D.V3

二'阶段二（一般）

11.如图，将长方形纸片4BCD沿EF折叠后,点A,B分别落在4,B,的位置，再沿边将乙4,折叠

到NH处，已知41=54°,贝ikZEF=°,乙FEH=1

12.如图，在矩形48CD中，点E是对角线AC上一点，有/E==gBC且BC=a，点P是BE上

一动点，则点P到边ZB,4C的距离之和PM+PN的值（）

A.有最大值aB.有最小值*aC.是定值JaD.是定值坐a

N/Z

13.矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF,取AF的中点

H,连接GH.若BC=EF=3,CD=CE=1,则GH=()

A.V2B.V3C.2D.1

14.如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线0E折

叠，使点C落在对角线4C上的点F处，连接DF,EF.若MF=4B,则乙DAF=度.

15.AM/7BN,AB1BN,垂足为B,点C在直线BN上，AC1CD,AC=CD,DE1AM,垂足为

图①阴⑦图③

(1)如图①，求证：DE+BC=AB；

(2)如图②、图③，请分别写出线段DE,BC与AB之间的数量关系，不需要证明;

(3)在(1)、(2)的条件下，AC2=100,AB-BC=2,则线段DE=.

16.如图，矩形ABCD中，ZE1BD交CD于点E,点F在AD上，连接CF交AE于点G,CG=

GF=AF,若BZ)=4b，则CD的值为_________.

AB

工

D£(,

17.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,点G、H分别是

EC、FD的中点，连接GH,若AB=6,BC=10,则GH的长度为________________.

AD

BF7?

18.如图，点E为口ABCD的边AD上的一点,连接EB并延长，使BF=BE,连接EC并延长，使

CG=CE,连接FG.H为FG的中点，连接DH,AF.

F*-----------H-----------'G

(1)若NBAE=65。，ZDEC=40°,求/ECD的度数；

(2)求证：四边形AFHD为平行四边形；

(3)连接EH,交BC于点0,若OC=OH,求证：EFLEG.

19.如图，矩形ABCD中，M,N分别是边AB,CD的中点，BP1AN于P,CP的延

长线交4。于Q.下列结论：①PM=CN；②PM1CQ；③PQ=AQ；④OQ<2PN.其

中结论正确的有()

AMB

A.1个B.2个C.3个D.4个

20.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点，连接EC,FD,点H,G分别是

EC,FD的中点，连接GH,若AB=6,BC=8,则GH的长度为（)

A.2B.jC."D.5

幺2

三、阶段三（较难）

21.如图，在矩形中，DE14C交8C于点E,点F在CO上，连接BF交DE于点G,且BG=GF=

DF,若4c=671,贝IJBC的值是（）

A.3A/5B.4>/3C.2V15D.8

22.如图：在平面直角坐标系内有长方形04BC,点A,C分别在y轴，x轴上，点。（4,3）在AB

上，点E在。C上，沿DE折叠，使点B与点。重合，点C与点的重合.若点P在坐标轴上，且4

4PG面积是18,则点P坐标为.

23.阅读下列材料，完成相应任务.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

如图1,△ABC中，AABC=90°,BD是斜边AC上的中线.求证：BD=|AC.

分析：要证明BD等于AC的一半，可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2.延长BD到E,

使得DE=BD.

连接AE,CE.可证BE=AC,进而得到BD=4AC.

图1图2图3

(1)请你按材料中的分析写出证明过程；

(2)如图3,点C是线段AB上一点，CD±AB,点E是线段CD上一点，分别连接AD,BE,

点F,G分别是AD和BE的中点，连接FG.若AB=12,CD=8,CE=3,贝胴G=.

24.如图，在长方形中，AB=9,4。=14.点E、点尸分别在4。、BC上,且ZE=CF=1,

点G是0C边上的动点，点H是AB边上的动点.贝的是小值是.

25.在菱形ABCD中，NBCD=60。，点P是直线AB上一点，且不与点A,点B重合，连接CP,

作等边三角形PCE.

(1)如图1,若点P在线段AB上，连接DE,则线段PB,DE之间的数量关系是；

(2)如图2,若点P在线段AB的延长线上，连接AE,求证：EA=EP；

(3)如图3,若点P在线段BA的延长线上，顺次连接四边形ABCE各边的中点，则所得四边形

的形状是.

26.如图1,在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角/BAM

的平分线，BELAN,垂足为E.已知AD=4,BD=3.

(1)求证：四边形ADBE是矩形；

(2)如图2,延长AD至点F,使AF=AB,连接BF,G为BF的中点，连接EG,DG.求EG的

长.

(3)如图3,在(2)问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点

Q,连接CQ,H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长.

27.如图1,已知AABC三△EBD,AACB=^EDB=90°,点D在48上，连接CD并延长交

AE于点F,

图1图2

(1)猜想：线段AF与EF的数量关系为；

(2)探究：若将图1的XEBD绕点B顺时针方向旋转，当乙CBE小于180°时，得到图2,

连接CD并延长交AE于点F,则(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由；

(3)拓展：图1中，过点E作EG1CB,垂足为点G当乙ABC的大小发生变化，其它条件不

变时，若乙EBG=ABAE,BC=6,直接写出AB的长.

28.将一块直角三角板的直角顶点和矩形ABCD(ABVBC)的对角线的交点。重合，如图

(①一②一③)，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点.

图①图②图③

（1）图①（三角板一直角边与0D重合）中，连接DN,则BN与DN的数量关系

是，进而得到BN,CD,CN的数量关系是；

（2）写出图③（三角板一边与0C重合）中，CN,BN,CD的数量关系是；

（3）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理

由.

29.如图，平行四边形ABCD中，AELCD于E,BF平分NABC与AD交于F.AE与BF交于G.

（1）延长DC到H,使CH=DE,连接BH.求证：四边形ABHE是矩形.

（2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK=AG,当AE=AF时，求证：CK=AD.

30.如图，矩形ABCD和矩形CEFG,AB=1,BC=CG=2,CE=4,点P在边GF上，点Q在边

CE上，且PF=CQ,连结AC和PQ,N,M分别是AC,PQ的中点，则MN的长为（）

答案解析部分

L【答案】（1）解：如图，连接BD,

BC=3,CE=2,

BE-5,

v5F垂直平分DE,

.•・BE=BD=5,DF=EF,

・•・CD=y/BD2-BC2=V25-9=4，

・•・DE=VDC2+CE2=V16+4=2z，

.•・DF=EF=V5;

(2)证明：如图，在DC上截取CN=3H,在CE*上截取CM=BG,连接MN,

BH=CN

乙HBG=^NCM=9。。，

、BG=CM

：・>BHGdCNM(SAS),

・•.MN=HG,(HGB=(NMC,

・•.HG//MN,

又・・•HG//DE,

・•・MN//DE,

CMN^ACED,

CM_MN

'~CE=~DE"

•・•GE=AD+BG,BM=BC+CM,

・・・BM=GE,

・•.BG=ME,

1

・•・CM=ME=^CE,

1

・•・MN“DE,

・・・MN=EF,

・・・HG=EF.

2.【答案】名

3.【答案】B

4.【答案】V3

5.【答案】(1)证明：♦；OC=AO,OD=BO

二四边形ABCD是平行四边形

；.AC=2AO,BD=2BO

XVAO=BO

AAC=BD

二四边形ABCD是矩形

(2)解：如图：连接0E与BD交于F

V四边形AOBE是平行四边形

AAE=BO

XVAO=BO

；.AO=AE

VCEXAE

.\ZAEC=90°

VOC=OA

.,.OE=1AC=AO

・・・OE=AO=AE

△AOE是等边二角形，

.\ZOAE=60°

•・・ZOAE+ZAOB=180°,

.\ZAOB=120°.

・・・AE=DE,BE=FE,

・•・四边形ABDF为平行四边形，

・・・BD=AF,BC||AF,

vAB=AC,

・•△ABC是等腰三角形，

又・.•AD为BC边上的中线，

・・・BD=CD,ADIBC,/-ADC=90°

・•・CD=AF,

・・.四边形ADCF为平行四边形，

・•・四边形ADCF为矩形

(2)解：设AD=BC=x,贝BD=1x,

在RtAABD中，AB2=AD2+BD2,

?12

得(2V5)—x2+(2x)，

解得久=4或久=一4(舍去)，

AD=BC=4,

四边形ADCF为矩形，

CF=AD=4,

在Rt△BCF中，BF=VBC2+CF2=V42+42=4V2.

7.【答案】3.5

8.【答案】（1）证明：・・・CF=2BE=2，

・・・BE=1f

AE=AB-BE=7.

•・•四边形ABCD是矩形，

••・Z-A=Z-B=Z-C=90°,CD=AB=8,AD=BC=6,

在RtAADE中，DE2=AE2+AD2=62+72=85,

在RtADCF中，DF2=DC2+CF2=82+22=68,

在RtABEF中，EF2=BE2+EF2=I2+42=17,

DF2+EF2=DE2,

ADEF是直角三角形，且^DFE=90°；

(2)解：作EH1DF于H,

图②

则乙4=4DHE=90°.

...DE平分^ADF,

•••^ADE=乙HDE,

在AAED和4HED中，

•”=ADHE

乙ADE=乙HDE，

.DE=DE

AAED=AHED(AAS),

DA=DH=6,EA=EH=4,

EH=EB=4,

在RtAEHF和RtAEBF中，

(EF=EF

[EH=EB'

；.RtAEHF三RtAEBF(HL),

BF=HF.

设BF=久，贝！]HF=久，CF=6-x,

・•・DF—DH+HF=6+%,

在RtACDF中，DC2+CF2=DF2,

•••82+(6-%)2=(6+%)2,

8

X—，

即BF=I.

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】117；9

12.【答案】D

13.【答案】A

14.【答案】18

15.【答案】(1)证明：延长ED交BN于点F,如图所示:

BCFN

VDE1AM,AB1BN

.\ZAED=90°,ZABC=90°

・・・ZBAC+ZACB=90°

•・・AM〃BN

・・・NDFC=180°-NAED=90°

VAC1CD

・・・NACB+NDCF=90°

:.NBAONDCF

VAC=CD

.*.△ABC^ACFD(AAS)

・・・BC=DF

ZABC=ZDFC=ZAED=90°

・•・四边形ABFE是矩形

二•AB=EF

VDE+DF=EF

・・・DE+BC=AB.

(2)解：图②结论：BC-DE=AB；理由如下:

延长ED交BN于点F,如图所示：

・,.NAED=NAEF=90°,ZABC=90°

ZBAC+ZACB=90°

VAMZ/BN

JNDFC二NAED=90°

VAC1CD

ZACB+ZDCF=90°

.\ZBAC=ZDCF

VAC=CD

.*.△ABC^ACFD(AAS)

・・・BC=DF

•・•ZABC=ZDFC=ZAEF=90°

・・・四边形ABFE是矩形

二•AB=EF

VDE+EF=DF

.\BC-DE=AB；

图③结论：DE-BGAB；理由如下:

设DE交CN于点F,如图所示：

VDEIAM,AB1BN

・・・NAED=90°,NABC=90°,

.・・ZBAC+ZACB=90°

VAM/7BN

・,.ZDFC=ZAED=90°,即ZBFE=90°,

VAC1CD

.\ZACB+ZDCF=90°

AZBAC=ZDCF

,.・AC=CD

ABC^ACFD(AAS)

・・・BC=DF

NABC=NBFE=NAEF=90°

・・・四边形ABFE是矩形

二•AB=EF

VDE=DF+EF

・・・DE-BC=AB.

(3)2或14

16.【答案】V30

17•【答案】苧或;例

18.【答案】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形，NBAE=65。,

・・・NBAE=NBCD=65。，

•:AD]IBC,NDEC=40。，

・•・乙ECB=40°,

・・・乙ECD=乙BCD-LECB=65°-40°=25°；

(2)证明：・・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AD=BC,AD〃BC,

VBF=BE,CG=CE,

・・・BC是AEFG的中位线，

・・・BC〃FG,BC=»G,

TH为FG的中点，

AFH=IFG,

；.BC〃FH,BC=FH,

；.AD〃FH,AD=FH,

四边形AFHD是平行四边形;

(3)证明：连接EH,CH,

：CE=CG,FH=HG,

ACH=JEF,CH〃EF,

VEB=BF=1EF,

ABE=CH,

四边形EBHC是平行四边形，

AOB=OC=1BC,OE=OH=4EH,

：OC=OH,

；.BC=EH,

平行四边形EBHC是矩形，

...NFEG=90°,

AEFXEG.

19.【答案】D

20.【答案】B

21.【答案】A

22.【答案】（—步0）或用,0）或（0,-17）或（0,23）

23.【答案】(1)证明：如图2,延长BD到E,使得DE=BD.连接ZE,CE，

AE

图2

r,1

贝丽“BE,

BQ是斜边力C上的中线，

CD—AD,

CD=AD

在△BCD和△£*力。中，\^BDC=/LEDA,

、BD=ED

BCD公△£*力D(S4S),

••・BC=AE,Z-BCD=Z-EADy

・・・BC||AE,

••・四边形ABCE是平行四边形，

又•••AABC=90°,

・•.平行四边形ABCE是矩形，

・•.BE=AC,

1

:・BD=^AC.

(2)竽

24.【答案】41

25.【答案】(1)PB=DE

(2)证明：如图，连接DE.

♦.•四边形ABCD是菱形，

；.BC=CD=DA,ZADC=120°,CD||AB.

.•.ZCBP=ZBCD=60°.

VAPCE是等边三角形，

・・・EC=EP=CP,ZECP=60°.

・・・NECD=NBCP.

・・・△DCE^ABCP.

・・・NCDE=NCBP=60。.

.•.ZADE=120o-60°=60o,

・・・NADE=NCDE.

,.・DE=DE,AD二CD,

.*.△ADE^ACDE,

・・・EA=EC,

・・・EA=EP.

(3)矩形

26.【答案】(1)证明：\・AB=AC,AD是角平分线,

AADXBC,NABONC,

VAN为4ABC的外角NBAM的平分线，

AZMAN=ZBAN,

VZBAM=ZABC+ZC,

・・・NMAN=NC,

・・・AN〃:BC,

JNDAE=NADC=NADB=90°,

VBEXAN,

JZAEB=ZDAE=ZADB=90°,

・・・四边形ADBE是矩形；

(2)解：如图，连接AG,

•・•矩形ADBE中,AD=4,BD=3,

・・・BE=AD=4,AE=BD=3,NADB=NDBE=NBDF=90。,

•-AB=ylAD2+BD2=V42+32=5，

ADF=1,

=y/DF2+BD2=Vl2+32=V10

•・・G是BF的中点，

・・・DG=BG==①,

2nr2

・・・NBDG=NDBG,

.\ZADG=ZEBG,

.*.△AGD^ABEG,

二•EG二AG,

7AG=7AB2—BG2=J52—(孚)2=3^2

*=吸

(3)解：由题意知点H运动的轨迹是一条线段，当P与E重合时，Q的位置在Qi,当P与B重

合时，Q的位置在F,此时H分别在%、H2的位置，

：BE〃AD,

AZBEG=ZDQiG,

?.△EBG^AQiFG,

；.QiF=BE=4,

由题意知HiH2是ACQiF的中位线,

%H2=/QIF=2.

27.【答案】(1)AF=EF

(2)解：仍旧成立，理由如下：

延长DF到G点，并使FG=DC,连接GE,如下图所示

设BD延长线DM交AE于M点，

•.FABCz^EBD,

ADE=AC,BD=BC,

・・・NCDB二NDCB,且NCDB=NMDF,

.\ZMDF=ZDCB,

VZACB=90°,

.\ZACD+ZDCB=90°,

VZEDB=90°,

・・・ZMDF+ZFDE=90°,

・・・NACD=NFDE,

又延长DF使得FG=DC,

二•FG+DF=DC+DF,

・・・DG=CF,

在a