2024年中考数学重难点突破：几何综合压轴题（学生版）

专题17几何综合压轴题

手拉手模型

特殊三角形性质及判定

特殊四边形性质及判定化归®想

整体思想

分类思想

勾股定理方程思想

全等和相似

三角函数

数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1,已知矩形纸片

ABCD{AD>AB),其中宽/B=8.

⑴【动手实践卜

如图1,威威同学将矩形纸片48。折叠，点A落在8c边上的点M处，折痕为BN,连接

MN,然后将纸片展平，得到四边形4BAW,则折痕3N的长度为.

（2）【探究发现】：

如图2,胜胜同学将图1中的四边形4BAW剪下，取NN边中点E,将沿3E折叠得

到“ZE,延长34交TW于点尸.点。为破边的中点，点尸是边AGV上一动点，将△M。尸

沿尸。折叠，当点M的对应点AT落在线段3尸上时，求此时tanNPQM的值；

⑶【反思提升】：

明明同学改变图2中。点的位置，即点。为四边上一动点，点?仍是边跖V上一动点，按

照（2）中方式折叠△M0P,使点落在线段8尸上，明明同学不断改变点。的位置，发

现在某一位置NQPM与（2）中的/尸0M相等，请直接写出此时8。的长度.

2.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

⑴操作判断

操作一：对折矩形纸片N3C2使/。与8c重合，得到折痕££把纸片展平;

操作二：在上选一点尸，沿折叠，使点/落在矩形内部点〃处，把纸片展平，连接

PM,BM.

根据以上操作，当点M在历上时，写出图1中一个30。的角：.

⑵迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片N8C〃按照（1）中的方式操作，并延长9交CD于点。，连接30.

①如图2,当点又在所上时，AMBQ=°,ACBQ=°；

②改变点尸在40上的位置（点P不与点4。重合），如图3,判断与/C2。的数

量关系，并说明理由.

（3）拓展应用

在（2）探究中，已知正方形纸片N8C〃的边长为8cm,当/。=1cm时，直接写出/尸的

长.

3.将正方形/BCD的边48绕点A逆时针旋转至,记旋转角为a.连接班'，过点。作

DE垂直于直线皮?，垂足为点E,连接DB',CE,

DD»

。）如图1,当a=60。时，ADE8,的形状为_________,连接BD,可求出笑的值

CE

为;

⑵当0°<a<360°且"90°时,

①⑴中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请

说明理由；

RF

②当以点夕，瓦C,。为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值.

B'

4.如图（1）,已知点G在正方形的对角线ZC上，GE1BC,垂足为点及GFVCD,

垂足为点F.

⑴证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形：

AC：

②推断：黑的值为_____________;

BE

（2）探究与证明：

将正方形CEG尸绕点C顺时针方向旋转。角（0<a<45°）,如图（2）所示，试探究线段/G

与BE之间的数量关系，并说明理由；

⑶拓展与运用：

正方形CEG尸在旋转过程中，当B,E,尸三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交

4D于点

①求证：2CHA.

②若NG=8,GH=26,贝iJ8C=.

5.如图1,在A/BC中，AACB=QO°,ZC=5C=3,点。是直线上一动点（点。不与

点43重合），以8为边作正方形CDER连接AF.

B

D

图1图2备用图

⑴观察猜想

当点。在线段上时，线段3D与/尸的数量关系是,/C4E的度数是.

(2)探究证明

当点。不在线段上时，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情

形进行证明；如果不成立，请说明理由.

⑶解决问题

当=0时，请直接写出线段NE的长.

6.已知，在AABC中，AB=AC,点。为边AC上一动点，/BDE=NA且DB=DE,连接

_,AD7

BE,EC,其中力=匕

问题发现：（1）如图1,若NA=60。，NBCE与/A怎样的数量关系？k的值为多少？直接

写出答案.

ARQ

类比探究：（2）如图2,若黑=[,点。在AC的延长线上，/8CE与NA有怎样的数量

BC2

关系？k的值为多少？请说明理由.

拓展应用：（3）如图3,在RSABC中，ZB/\C=90o,AB=AC=10,。为AC上一点，以

BD为边，在如图所示位置作正方形BDEF,点O为正方形BDEF的对称中心，且OA=2亚，

请直接写出DE的长.

7.在四边形/BCD中，点E为48边上一点，点尸为对角线8。上的一点，且"±/反

(1)若四边形NBC。为正方形；

①如图1,请直接写出4E与DF的数量关系；

②将△EAF绕点3逆时针旋转到图2所示的位置，连接/E、DF,猜想4E与。F的数量

关系并说明理由；

(2)如图3,若四边形/BCD为矩形，BC=mAB,其它条件都不变，将4动下绕点8逆

时针旋转＜90。)得到连接/£，，，请在图3中画出草图，并求出/£

与的数量关系.

8.(1)问题发现

如图1,在△OAB和403口中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=40。，连接AC,BD

交于点M.填空：

①江的值为；

BD-------

②/AMB的度数为.

(2)类比探究

如图2,在AOAB和AOCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,连接AC交

AC

BD的延长线于点M.请判断上的值及NAMB的度数，并说明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将AOCD绕点。在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,

OB=V7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

9.解答题

⑴如图1,“BC和V4DE都是等边三角形，连接5。、CE,求证，BD=CE；

A

［类比探究］

⑵如图2,和V4DE都是等腰直角三角形，ZABC=AADE=9Q°,连接AD,CE.求

BD弘在

有的值•

C七

［拓展提升］

ACAp

⑶如图3,和VADE都是直角三角形，AABC=AADE=90°,—=—=2.连接

ABAD

BD、CE,延长CE交8。于点尸，连接册.若N/FC恰好等于90。，请直接写出此时

AF,BF,C尸之间的数量关系.

4

10.如图1,已知矩形/8C。中，AB=-BC,。是矩形/BCD的中心，过点。作。£1/8

于E,作。F_L3C于尸，得矩形BEOE

⑴线段AE与CF的数量关系是,直线AE与CF的位置关系是；

⑵固定矩形48CD,将矩形/绕点3顺时针旋转到如图2的位置，连接/E、CF.那

么(1)中的结论是否依然成立？请说明理由;

(3)若23=8,当矩形8E0尸旋转至点。在CF上时(如图3),设0E与交于点P,求

尸C的长.

11.(1)如图1,正方形/BCD的中心为点O,正方形OA'B'C'与正方形4BCD的边长相等.正

方形O"-C绕点。旋转，运动过程中两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？如果变

化，重叠部分的面积如何变化；如果不变，重叠部分的面积与正方形/以力的面积有何关

系？请写出结论并证明.

结论：________________________________________________________

证明：________________________________________________________

【提出问题】“其他形状相同的两个图形，在类似上述旋转的过程中，上面发现的结论是否

依然成立？”现对正三角形进行研究.

(2)如图2,正三角形/3C的中心为点。，正三角形。4'2'与正三角形/3C的边长相等，

边04'经过点反正三角形04'夕绕点。顺时针旋转a(0°<a<120°),运动过程中两个正三

角形重叠部分的面积是否发生变化？如果变化，重叠部分的面积如何变化；如果不变，重叠

部分的面积与正三角形ABC的面积有何关系？请写出研究过程.

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